| dbo:abstract
|
- المنطق هو العلم الذي يبحث في القواعد التي تتبع في التفكير وطرق الاستدلال الصحيح. وهو بذلك أداة للتفكير لأنه يعنى بتحليل طرق التفكير وصيانته من الخطأ. والعملية المنطقية تهتم بفئة من الصيغ أو القضايا. القضية: جملة تقوم على علاقة بين عدد من الكلمات المفهومة، وتنقسم إلى قسمين: 1.
* القضية الإخبارية: وهي تخبر عن شيء ما وتحتمل الصدق أو الكذب مثل (المثلثات المتطابقة متكافئة)، (كل ما في الكون يجذب بعضه بعضا). 2.
* القضية الإنشائية: وهي التي لا يمكن أن توصف بالصدق أو الكذب مثل لا تمش في الأرض مرحا وهي ليست قضايا منطقية. والقضية المنطقية جملة خبرية تحتمل الصدق أو الكذب ويمكن التحقق منها فالجملة المعادن تتمدد بالحرارة جملة خبرية يمكن التحقق من صحتها بإجراء التجارب وإقرار صحة العبارة من عدمه.والقضية مفهوم أساسي في المنطق نتعلم تصنيفها كما ورد سابقا عن طريق الخبرة مثل: 1.
* ابن تيمية صاحب كتاب رفع الملام عن الأئمة الأعلام. (خبرية) 2.
* ينزل المطر في الخريف. (خبرية) 3.
* لا تنه عن خلق وتأتي بمثله. (إنشائية) 4.
* كيف حالك؟ (إنشائية) وما دمنا سنتحدث كثيرا عن الصدق والخطأ سنرمز لهما بالحرفين (ص) (خ).ومن ذلك كله نقول أن القضية المنطقية تحتمل الصدق أو الكذب. (ar)
- نظرية المجموعة (الجمع: نظرية المجموعات) (بالإنجليزية: Set theory) هو فرع من علم المنطق الرياضي. تهتم تلك النظرية بدراسة المجموعات والتي هي تجميع لكائنات رياضية مجردة والعمليات المطبقة عليها، وتشكل إحدى أهم ركائز الرياضيات الحديثة. كانت بداية الاهتمام بهذا العلم والعمل على دراسته بالقرن التاسع عشر عندما بداه جورج كانتور وريتشارد ديدكايند. وعلى اثر اكتشاف تناقضات عديدة في نظرية المجموعات الأساسية، اقتُرحت العديد من الانظمة البديهية لتجاوز هذه التناقضات ومن هذه كان نظام زيرملو-فرانكلن مع بديهية الاختيار افضلها على الإطلاق. (ar)
- La teoria de conjunts és la branca de les matemàtiques que estudia els conjunts. El primer estudi formal sobre el tema va ser realitzat pel matemàtic alemany Georg Cantor al segle xix. (ca)
- Matematická logika je vědní disciplína nacházející se na rozhraní mezi logikou a matematikou. Zabývá se zkoumáním, formalizováním a matematizováním zejména těch oblastí logiky, na jejichž základech je postavena matematika. V centru jejího zájmu jsou pojmy jako důkaz, teorie, axiomatizace, model, bezespornost, úplnost, rozhodnutelnost. (cs)
- Teorie množin je matematická teorie, která se zabývá studiem množin. Množina je buď souhrn nějakých prvků (přičemž nezáleží na jejich pořadí), anebo nějaká matematická formalizace tohoto konceptu. Teorie množin, která vychází z intuice a zachází s množinami jako se soubory nějakých objektů, se nazývá naivní teorie množin. Kromě ní existují axiomatické teorie množin, které přesně formulují vlastnosti množin několika axiomy a z nich (bez využití intuice či dalších předpokladů) odvozují další vlastnosti množin pomocí matematické logiky. Ve většině těchto teorií je možné zkonstruovat všechny běžně používané matematické objekty (tj. reálná čísla, funkce, uspořádané dvojice atd.) jako množiny. (cs)
- La lògica matemàtica és la disciplina inclosa en la matemàtica que estudia els sistemes formals en relació amb la manera en què aquests codifiquen els conceptes intuïtius de demostració matemàtica i computació com una part dels fonaments de la matemàtica. S'ha format com a resultat d'aplicar, en el terreny de la lògica, els de la matemàtica basats en l'ocupació d'un llenguatge especial de símbols i fórmules. En la lògica matemàtica, el pensament lògic de contingut (processos del judici i de la demostració) s'estudia representant per mitjà de sistemes lògics formals o càlculs. Resulta, doncs, que la lògica matemàtica, pel seu objecte és lògica, i pel seu mètode és matemàtica. Es pot entendre com la matemàtica de la lògica, ja que comprèn aquelles parts de la lògica que poden ser modelades matemàticament. Anteriorment la lògica matemàtica es coneixia com a lògica simbòlica i metamatemàtica que ara són termes restringits a determinats aspectes de la teoria de la prova. Aquesta conté generalitzacions de llarg abast, i el desenvolupament de les idees i mètodes de la lògica formal tradicional constitueix precisament l'etapa present d'el desenvolupament de la lògica formal. La lògica matemàtica contemporània inclou en si una sèrie de càlculs lògics que constitueixen una teoria sobre aquests càlculs, sobre les seves premisses, propietats i aplicacions. Al costat de l'estudi de l'estructura formal dels càlculs lògics, en la lògica matemàtica sorgeix també la necessitat d'examinar les relacions entre els càlculs i les esferes de contingut que serveixen per a les interpretacions i models d'aquestes relacions. En aquesta qüestió es esbossa la problemàtica de la semàntica lògica. La sintaxi lògica i la semàntica s'inclouen en la metalògica, teoria sobre els recursos per a descriure les premisses i les propietats dels càlculs lògics. Van ser George Boole i Augustus De Morgan, durant el segle xix, els que van sistematitzar matemàticament la lògica, per això van haver de reformar i completar la lògica tradicional aristotèlica. La lògica matemàtica inclou la teoria de models i la teoria de la demostració i recursió o altrament computabilitat, branca aquesta compatida amb la ciència informàtica. Gran part de la lògica matemàtica moderna s'ocupa de . (ca)
- Die mathematische Logik, auch symbolische Logik oder veraltet Logistik, ist ein Teilgebiet der Mathematik, insbesondere als Methode der Metamathematik und eine Anwendung der modernen formalen Logik. Oft wird sie wiederum in die Teilgebiete Modelltheorie, Beweistheorie, Mengenlehre und Rekursionstheorie aufgeteilt. Forschung im Bereich der mathematischen Logik hat zum Studium der Grundlagen der Mathematik beigetragen und wurde auch durch dieses motiviert. Infolgedessen wurde sie auch unter dem Begriff Metamathematik bekannt. Ein Aspekt der Untersuchungen der mathematischen Logik ist das Studium der Ausdrucksstärke von formalen Logiken und formalen Beweissystemen. Eine Möglichkeit, die Komplexität solcher Systeme zu messen, besteht darin, festzustellen, was damit bewiesen oder definiert werden kann. (de)
- Die Mengenlehre ist ein grundlegendes Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Untersuchung von Mengen, also von Zusammenfassungen von Objekten, beschäftigt. Die gesamte Mathematik, wie sie üblicherweise gelehrt wird, ist in der Sprache der Mengenlehre formuliert und baut auf den Axiomen der Mengenlehre auf. Die meisten mathematischen Objekte, die in Teilbereichen wie Algebra, Analysis, Geometrie, Stochastik oder Topologie behandelt werden, können als Mengen definiert werden. Gemessen daran ist die Mengenlehre eine recht junge Wissenschaft; erst nach der Überwindung der Grundlagenkrise der Mathematik im frühen 20. Jahrhundert konnte die Mengenlehre ihren heutigen, zentralen und grundlegenden Platz in der Mathematik einnehmen. (de)
- Η μαθηματική λογική είναι ένας κλάδος των μαθηματικών και της επιστήμης υπολογιστών, με στενή σχέση και με τη φιλοσοφική λογική. Το πεδίο περιλαμβάνει τη μαθηματική μελέτη της λογικής και τις εφαρμογές της τυπικής λογικής σε άλλες περιοχές των μαθηματικών. Οι βασικότερες ιδέες στη μαθηματική λογική περιλαμβάνουν τη μελέτη της εκφραστικής ισχύος των τυπικών συστημάτων και της συμπερασματικής ισχύος των συστημάτων τυπικών αποδείξεων. Η μαθηματική λογική διαιρείται συχνά στα υποπεδία θεωρία συνόλων, θεωρία μοντέλων, θεωρία αναδρομής και και . Οι περιοχές αυτές μοιράζονται βασικά αποτελέσματα πάνω στη λογική, και ειδικά στην λογική πρώτου βαθμού και την . Από τη γέννησή της, η μαθηματική λογική έχει συμβάλλει αλλά και ωθείται από τη μελέτη των θεμελίων των μαθηματικών. Η μελέτη αυτή ξεκίνησε στο τέλος του 19ου αιώνα με την ανάπτυξη των πλαισίων για τη γεωμετρία, την αριθμητική και την ανάλυση. Στην αρχή του 20ού αιώνα διαμορφώθηκε από το του Ντάβιντ Χίλμπερτ για την απόδειξη της συνέπειας των θεμελιακών θεωριών. Η εργασία πάνω στη θεωρία συνόλων έδειξε ότι σχεδόν όλα τα συνηθισμένα μαθηματικά μπορούν να διατυπωθούν με βάση τα σύνολα, αν και υπάρχουν κάποια θεωρήματα που δεν μπορούν να αποδειχθούν στα συνήθη αξιωματικά συστήματα για τη θεωρία συνόλων. Η σύγχρονη μελέτη στα θεμέλια των μαθηματικών συχνά εστιάζει στο να θεσπίσει ποια κομμάτια των μαθηματικών μπορούν να διατυπωθούν σε συγκεκριμένα τυπικά συστήματα, και όχι στο να αναπτύξει θεωρίες από όπου αναπτύσσονται όλα τα μαθηματικά. (el)
- Στα μαθηματικά, θεωρία συνόλων ή συνολοθεωρία είναι η θεωρία που μελετάει τα σύνολα και είναι κλάδος της Μαθηματικής Λογικής. Σε αντίθεση με τις υπόλοιπες μαθηματικές θεωρίες που εξετάζουν δομές, δηλαδή σύνολα εφοδιασμένα με συναρτήσεις και σχέσεις (π.χ. ομάδες, τοπολογικοί χώροι) η θεωρία συνόλων μελετά τα ίδια τα σύνολα και τις μεταξύ τους σχέσεις. Άτυπα μπορούμε να πούμε ότι οποιοδήποτε συλλογή αντικείμενων του φυσικού κόσμου ή της νόησης είναι ένα σύνολο. Η θεωρία συνόλων χρησιμοποιεί σαν θεμελιώδη πρωταρχική σχέση την σχέση του "ανήκειν" (ή "είναι μέλος"), συμβολίζεται με є. Αν και ένα σύνολο μπορεί να περιέχει οποιοδήποτε τύπο αντικειμένου, η θεωρία συνόλων ασχολείται συνήθως με σύνολα που τα αντικείμενά τους σχετίζονται με τα μαθηματικά. Η σύγχρονη μελέτη της θεωρίας συνόλων ξεκίνησε από τον Γκέοργκ Κάντορ (Georg Cantor) και τον (Dedekind) τη δεκαετία του 1870. Αρχικά η έννοια του συνόλου οριζόταν μέσω των κατηγορικών ιδιοτήτων. Κατηγορική είναι μια ιδιότητα για την οποία μπορούμε να απαντήσουμε, τουλάχιστον θεωρητικά, με ένα ναί ή με ένα όχι για το αν ένα αντικείμενο έχει (ικανοποιεί) αυτή την ιδιότητα. Έτσι για κάθε κατηγορική ιδιότητα Φ δέχονταν αξιωματικά ότι υπήρχε ένα σύνολο (δηλαδή μια συλλογή αντικειμένων) του οποίου τα μέλη ήταν ακριβώς εκείνα τα αντικείμενα για τα οποία η Φ ήταν αληθής (Αυτή η παραδοχή ονομάζεται γενική αρχή συμπερίληψης). Αυτή η αρχική μορφή της θεωρίας συνόλων ονομάζεται άτυπη (ή διαισθητική) θεωρία συνόλων. Μετά την ανακάλυψη παραδόξων (αντινομιών) στην άτυπη θεωρία συνόλων, όπως το παράδοξο του Ράσελ (Russell), έγινε φανερό ότι η Γενική Αρχή Συμπερίληψης είναι λάθος και ότι επομένως η έννοια του συνόλου έπρεπε να αποδοθεί πιο αυστηρά μέσα από ένα σύνολο αξιωμάτων. Μια πληθώρα από συστήματα αξιωμάτων προτάθηκαν την αρχή του εικοστού αιώνα, το πιο γνωστό από τα οποία είναι αυτό των (Zermelo–Fraenkel), μαζί με το , γνωστό και ως ZFC. Αν δεχθούμε όλα τα αξιώματα των Ζερμέλο-Φράνκελ, αλλά όχι το Αξίωμα της Επιλογής τότε λέμε ότι έχουμε (ακολουθούμε) το σύστημα ZF. Η θεωρία συνόλων, ειδικά το σύστημα ZFC, είναι το πιο διαδεδομένο σύστημα για την θεμελίωση των μαθηματικών. Η γλώσσα της Θεωρίας Συνόλων χρησιμοποιείται στους ορισμούς σχεδόν όλων των μαθηματικών αντικειμένων, όπως οι συναρτήσεις, και έννοιες της Συνολοθεωρίας υπάρχουν σε όλα τα διδακτέα προγράμματα των τμημάτων των μαθηματικών στα πανεπιστήμια. Στοιχειώδη δεδομένα για τα σύνολα και για την ιδιότητα "μέλους συνόλου" μπορούν να εισαχθούν στο δημοτικό σχολείο, με την χρήση των διαγράμματων Βεν, για τη μελέτη συλλογών από κοινά φυσικά αντικείμενα. Βασικές πράξεις όπως η ένωση και η τομή συνόλων μπορούν να μελετηθούν σ'αυτό το πλαίσιο. Πιο προχωρημένες έννοιες όπως η πληθικότητα είναι βασικό κομμάτι του προπτυχιακού διδακτικού προγράμματος των Μαθηματικών Σχολών. Πέρα από τη χρήση της ως θεμέλιο των ίδιων των μαθηματικών, η Θεωρία Συνόλων είναι ένας κλάδος των μαθηματικών από μόνη της, με ενεργή ερευνητική κοινότητα. Η σύχρονη έρευνα στη συνολοθεωρία περιλαμβάνει μια ποικίλη συλλογή από θέματα, από τη δομή της ευθείας των πραγματικών αριθμών ως τη μελέτη της συνέπειας για μεγάλους πληθάριθμους. (el)
- Matematika logiko estas fako de matematiko, kiu studas el la vidpunkto bazita sur la konceptoj de pruvo kaj kaj parenca kun la temaro pri . Kvankam la nomo sugestas, ke matematika logiko estas la logiko de matematiko, vere ĝi estas iom pli proksime al matematiko de logiko. Ĝi enhavas tiujn partojn de logiko, kiuj povas esti modelitaj matematike. Pli fruaj nomoj de la afero estis "simbola logiko" (en kontrasto al "filozofia logiko"), kaj " de matematiko", kiu estas nun limigita kiel termino por iuj aspektoj de pruva teorio. (eo)
- Aro-teorio aŭ aroteorio (aŭ arteorio) estas branĉo de matematiko kaj komputiko kreita ĉefe de la germana matematikisto Georg Cantor fine de la 19-a jarcento. Ĝi komence estis disputata, sed nuntempe iĝis grava en la por difini bazajn konceptojn kiel nombro. Komence oni evoluigis la naivan aŭ intuician arteorion, kiun oni povas difini jene: La bazaj konceptoj de arteorio estas aroj kaj membreco. Aro estas kolekto de objektoj, nomitaj membroj (aŭ elementoj) de la aro. La membroj povas esti ekzemple nombroj, funkcioj, aŭ aroj mem. Oni skribas la arojn per la ondkrampoj { kaj }. Do {1,2} estas aro, kaj ankaŭ {1,2,3,4,...} (la infinita aro de la naturaj nombroj, nomata N), kaj eĉ {2,3,N}, do la membroj ne devas esti de la sama klaso. Ankaŭ la malplena aro {} estas konsiderata aro. Al tiaj aroj oni povas apliki diversajn operaciojn, kiel la kunaĵon kaj la komunaĵon. Tamen montriĝis ke, se oni aplikas ĉiujn operaciojn senlime, aperas paradoksoj kiel la Rusela paradokso. Por solvi tiujn problemojn, oni rekonstruis la arteorion uzante aksioman metodon. (eo)
- La lógica matemática, también llamada lógica simbólica, lógica teorética, lógica formal o logística, es el estudio formal y simbólico de la lógica, y su aplicación a algunas áreas de la matemática y la ciencia. Comprende la aplicación de las técnicas de la lógica formal a la construcción y el desarrollo de las matemáticas y el razonamiento matemático, y conversamente la aplicación de técnicas matemáticas a la representación y el análisis de la lógica formal. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel crucial en el estudio de los fundamentos de las matemáticas. La lógica matemática estudia la inferencia mediante la construcción de sistemas formales como la lógica proposicional, la lógica de primer orden o la lógica modal. Estos sistemas capturan las características esenciales de las inferencias válidas en los lenguajes naturales, pero al ser estructuras formales susceptibles de análisis matemático, permiten realizar demostraciones rigurosas sobre ellas. La lógica matemática se suele dividir en cuatro áreas: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la computabilidad. La teoría de la demostración y la teoría de modelos fueron el fundamento de la lógica matemática. La teoría de conjuntos se originó en el estudio del infinito por Georg Cantor y ha sido la fuente de muchos de los temas más desafiantes e importantes de la lógica matemática, desde el teorema de Cantor, el axioma de elección y la cuestión de la independencia de la hipótesis del continuo, al debate moderno sobre grandes axiomas cardinales. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación. La teoría de la computabilidad captura la idea de la computación en términos lógicos y aritméticos. Sus logros más clásicos son la indecidibilidad del Entscheidungsproblem de Alan Turing y su presentación de la tesis de Church-Turing. Hoy en día, la teoría de la computabilidad se ocupa principalmente del problema más refinado de las clases de complejidad (¿cuándo es un problema eficientemente solucionable?) y de la clasificación de los grados de insolubilidad. La lógica matemática también estudia las definiciones de nociones y objetos matemáticos básicos como conjuntos, números, demostraciones y algoritmos. La lógica matemática estudia las reglas de deducción formales, las capacidades expresivas de los diferentes lenguajes formales y las propiedades metalógicas de los mismos. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento dado dentro de un determinado sistema formal. En un nivel avanzado, la lógica matemática se ocupa de la posibilidad de axiomatizar las teorías matemáticas, de clasificar su capacidad expresiva, y desarrollar métodos computacionales útiles en sistemas formales. La teoría de la demostración y la son dos de los razonamientos más recientes de la lógica matemática abstracta. Debe señalarse que la lógica matemática se ocupa de sistemas formales que pueden no ser equivalentes en todos sus aspectos, por lo que la lógica matemática no es un método para descubrir verdades del mundo físico real, sino solo una fuente posible de modelos lógicos aplicables a teorías científicas, muy especialmente a la matemática convencional. Por otra parte, la lógica matemática no estudia el concepto de razonamiento humano general o el proceso creativo de construcción de demostraciones matemáticas mediante argumentos rigurosos pero con lenguaje informal con algunos signos o diagramas, sino solo de demostraciones y razonamientos que se pueden formalizar por completo. (es)
- La teoría de conjuntos es una rama de la lógica matemática que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica que permite formular de cualquier otra teoría matemática. La teoría de los conjuntos es lo suficientemente flexible y general como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, etc; gracias a las herramientas de la lógica, permite estudiar los fundamentos. Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no solo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de algún cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica matemática. El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas (puras) del infinito en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influido por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana de conjuntos, formalizada por Gottlob Frege, propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo y Abraham Fraenkel. La teoría de conjuntos se emplea habitualmente como sistema fundacional de toda la matemática, en particular en la forma de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección. Además de su papel fundacional, la teoría de conjuntos también proporciona el marco para desarrollar una teoría matemática del infinito, y tiene varias aplicaciones en informática, filosofía y semántica formal. Su atractivo fundacional, junto con sus paradojas, sus implicaciones para el concepto de infinito y sus múltiples aplicaciones han hecho de la teoría de conjuntos un área de gran interés para lógicos y filósofos de la matemática. La investigación contemporánea sobre la teoría de conjuntos abarca una amplia gama de temas, que van desde la estructura de la línea de números reales hasta el estudio de la consistencia del cardinal grande. (es)
- Logika matematikoa, logika sinbolikoa, logika teoretikoa, logika formala edo logistika ere deitua, logikaren azterketa formal eta sinbolikoa da, eta matematikaren eta zientziaren arlo batzuetan duen aplikazioa. Logika formalaren teknikak matematikaren eta arrazoiketa matematikoaren eraikuntzan eta garapenean aplikatzea ulertzen du, eta, elkarrekin, logika formalaren irudikapenean eta analisian teknika matematikoak aplikatzea. Logika matematikoaren ikerketak berebiziko garrantzia izan du aztertzean. Logika matematikoak inferentziaz aztertzen du logika proposizionala, lehen mailako logika edo logika modala bezalako eraikiz. Sistema hauek, lengoaia naturaletan balio duten inferentzien funtsezko ezaugarriak harrapatzen dituzte, baina, analisi matematikoa izan dezaketen egitura formalak direnez, hauei buruzko demostrazio zorrotzak egitea ahalbidetzen dute. Logika matematikoa lau arlotan banatu ohi da: , , multzoen teoria eta konputagarritasunaren teoria. Frogapenaren teoria eta ereduen teoria logika matematikoaren oinarria izan ziren. Multzoen teoria Georg Cantorek infinituaren azterketan sortu zen, eta logika matematikoaren gai desafiatzaile eta garrantzitsuenetako askoren iturria izan da, , eta independentziatik abiatuta, handiei buruzko eztabaida modernora. Logika matematikoak lotura estuak ditu konputazio zientziekin. Konputagarritasunaren teoriak konputazioaren ideia termino logiko eta aritmetikoetan harrapatzen du. Bere lorpenik klasikoenak Alan Turingen delakoaren adierazezintasuna eta aurkezpena dira. Gaur egun, konputagarritasunaren teoria konplexutasun-moten arazo finenaz (noiz da eraginkortasunez konpon daitekeen arazoa?) eta sailkapenaz arduratzen da nagusiki. Logika matematikoak oinarrizko nozio eta objektu matematikoen definizioak ere aztertzen ditu, hala nola, multzoak, zenbakiak, demostrazioak eta algoritmoak. Logika matematikoak dedukzio-arau formalak, hizkuntza formalen adierazpen-gaitasunak eta horien propietate metalogikoak aztertzen ditu. Oinarrizko maila batean, logikak arauak eta teknikak ematen ditu sistema formal jakin baten barruan emandako argudio bat baliozkoa den ala ez erabakitzeko. Maila aurreratu batean, logika matematikoa teoria matematikoak axiomatizatzeko aukeraz arduratzen da, haien adierazpen-gaitasuna sailkatzeaz eta sistema formaletan baliagarriak diren metodo konputazionalak garatzeaz. Frogapenaren teoria eta logika matematiko abstraktuaren azken arrazoibideetako bi dira. Aipatu behar da logika matematikoa bere alderdi guztietan baliokideak ez diren sistema formalez arduratzen dela, eta, beraz, logika matematikoa ez da mundu fisiko errealeko egiak aurkitzeko metodo bat, baizik eta teoria zientifikoei, bereziki matematika konbentzionalari, aplika dakizkiekeen eredu logikoen iturri posible bat. Bestalde, logika matematikoak ez du giza arrazonamendu orokorraren kontzeptua edo argumentu zorrotzen bidez baina zenbait zeinu edo diagramarekin lengoaia informala erabiliz demostrazio matematikoak eraikitzeko prozesu sortzailea aztertzen, baizik eta erabat formaliza daitezkeen demostrazio eta arrazonamenduena. (eu)
- Multzo-teoria multzoen propietateak eta erlazioak aztertzen dituen logika matematikoaren adar bat da. Objektuen bilduma abstraktuak objektu moduan hartzen ditu. Multzoak eta haien arteko eragiketak edozein teoria matematikoren oinarrizko tresna dira. Multzo-teoria aberatsa da matematikaren gainerako objektuak eta egiturak eraikitzeko: zenbakiak, funtzioak, irudi geometrikoak... Logikaren tresnei esker, haien oinarriak aztertzea ahalbidetzen du. Gaur egun, Zermelo-Fraenkelen teoriaren axioma multzoa matematika osoa garatzeko nahikoa dela onartua dago. Multzo-teoriaren lehenengo ikerketa formala Georg Cantor matematikariak egin zuen XIX. mendean. Egun, multzo-teoria eskolako matematiketan irakasten den gaia da, zenbaketa irakasteko adibidez, baina ebatzi gabeko problema eta paradoxa anitz aztertzeko tresna ere bada. Horrela, ohikoa da multzo teoria naive edo sinplea (eskolan irakasten dena) eta multzo-teoria axiomatikoa (matematika puruaren arloan, formalki konplexutasun handikoa eta paradoxak ebazteko sortu zena) bereiztea. (eu)
- La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle. La théorie des ensembles se donne comme primitives les notions d'ensemble et d'appartenance, à partir desquelles elle reconstruit les objets usuels des mathématiques : fonctions, relations, entiers naturels, relatifs, rationnels, nombres réels, complexes… C'est pourquoi la théorie des ensembles est considérée comme une théorie fondamentale dont Hilbert a pu dire qu'elle était un « paradis » créé par Cantor pour les mathématiciens. En plus de proposer un fondement aux mathématiques, Cantor introduisit avec la théorie des ensembles des concepts radicalement nouveaux, et notamment l'idée qu'il existe plusieurs types d'infini que l'on peut mesurer et comparer au moyen de nouveaux nombres (ordinaux et cardinaux). À cause de sa modernité, la théorie des ensembles fut âprement controversée, notamment parce qu'elle postulait l'existence d'ensembles infinis, en contradiction avec certains principes des mathématiques constructives ou intuitionnistes. Au début du XXe siècle, plusieurs facteurs ont poussé les mathématiciens à développer une axiomatique pour la théorie des ensembles : la découverte de paradoxes tels que le paradoxe de Russell, mais surtout le questionnement autour de l'hypothèse du continu qui nécessitait une définition précise de la notion d'ensemble. Cette approche formelle conduisit à plusieurs systèmes axiomatiques, le plus connu étant les , mais également la théorie des classes de von Neumann ou la théorie des types de Russell. (fr)
- La logique mathématique ou métamathématique est une discipline des mathématiques introduite à la fin du XIXe siècle, qui s'est donné comme objet l'étude des mathématiques en tant que langage. Les objets fondamentaux de la logique mathématique sont les formules représentant les énoncés mathématiques, les dérivations ou démonstrations formelles représentant les raisonnements mathématiques et les sémantiques ou modèles ou interprétations dans des structures qui donnent un « sens » mathématique générique aux formules (et parfois même aux démonstrations) comme certains invariants : par exemple l'interprétation des formules du calcul des prédicats permet de leur affecter une valeur de vérité. (fr)
- Mathematical logic is the study of formal logic within mathematics. Major subareas include model theory, proof theory, set theory, and recursion theory. Research in mathematical logic commonly addresses the mathematical properties of formal systems of logic such as their expressive or deductive power. However, it can also include uses of logic to characterize correct mathematical reasoning or to establish foundations of mathematics. Since its inception, mathematical logic has both contributed to and been motivated by the study of foundations of mathematics. This study began in the late 19th century with the development of axiomatic frameworks for geometry, arithmetic, and analysis. In the early 20th century it was shaped by David Hilbert's program to prove the consistency of foundational theories. Results of Kurt Gödel, Gerhard Gentzen, and others provided partial resolution to the program, and clarified the issues involved in proving consistency. Work in set theory showed that almost all ordinary mathematics can be formalized in terms of sets, although there are some theorems that cannot be proven in common axiom systems for set theory. Contemporary work in the foundations of mathematics often focuses on establishing which parts of mathematics can be formalized in particular formal systems (as in reverse mathematics) rather than trying to find theories in which all of mathematics can be developed. (en)
- Cur i bhfeidhm an chruinnis mhatamaiticiúil is teicníochtaí siombalacha i staidéar na loighce. Mar shampla, forbairt na dteangacha foirmiúla is na gcóras aicsímí chun cruthuithe loighciúla a thógáil. Tugtar loighic shiombalach uirthi freisin. Bunaíodh an t-ábhar ar shaothar Boole, agus ina dhiaidh sin saothar Frege, Whitehead is Russell, Gödel, is Tarski. Tagairtí (ga)
- Brainse de loighic mhatamaiticiúil is ea tacartheoiric (nó teoiric na dtacar), a dhéanann staidéar ar thacair; go neamhfhoirmiúi is bailiúcháin de réada iad. Cé gur féidir le réad ar bith a bhailiú i dtacar, is minic a úsáidtear tacartheoiric ar rudaí a bhaineann leis an matamaitic. Is féidir leas a bhaint as teanga na tacartheoirice chun beagnach gach réad matamaitice a shainiú. Chuir Georg Cantor agus Richard Dedekind staidéar nua-aimseartha na tacartheoirice ar bun sna 1870í. Tar éis gur aimsíodh paradacsaí i dtacartheoiric shoineanta, cosúil le paradacsa Russell, moladh go leor córas aicsíme go luath san fhichiú haois, agus is iad na haicsímí Zermelo-Fraenkel, le no gan an rogha aicsím, an ceann is mó clú. Is iondúil go n-úsáidtear teoiric socraithe mar chóras bunaithe don mhatamaitic, go háirithe i bhfoirm na teoirice Zermelo-Fraenkel leis an rogha aicsím. Taobh amuigh dá ról bunaidh, is brainse matamaitice ann féin í an tacartheoiric, le pobal taighde gníomhach. Cuimsíonn taighde comhaimseartha ar thacartheoiric bailiúchán éagsúil topaicí, a chuimsíon idir struchtúr na réaduimhreach agus go staidéar ar chomhsheasmhacht na mbuanuimhreacha móra. (ga)
- Teori Himpunan adalah teori mengenai kumpulan objek-objek abstrak. Teori himpunan biasanya dipelajari sebagai salah satu bentuk:
* , dan
* , yang mendasarkan teori himpunan pada istilah-istilah dan relasi yang tak terdefinisikan, serta aksioma-aksioma yang nantinya akan membangun keseluruhan teori himpunan. Studi modern tentang teori himpunan diprakarsai oleh Georg Cantor dan Richard Dedekind pada tahun 1870. Setelah penemuan di , seperti , banyak sistem aksioma diusulkan pada awal abad ke-20, di mana , dengan atau tanpa aksioma pilihan, adalah yang paling terkenal. Teori himpunan umumnya digunakan sebagai , khususnya dalam bentuk teori himpunan Zermelo-Fraenkel dengan aksioma pilihan. Di luar peran dasarnya, teori himpunan adalah cabang matematika dalam dirinya sendiri, dengan komunitas riset yang aktif. Penelitian kontemporer ke dalam teori himpunan mencakup beragam koleksi topik, mulai dari struktur garis bilangan real hingga studi tentang konsistensi . (in)
- Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian logika matematis dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal. Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan, teori model, , , serta . Bidang-bidang ini memiliki hasil dasar logika yang serupa. (in)
- La teoria degli insiemi è una teoria matematica posta ai fondamenti della matematica stessa, collocandosi nell'ambito della logica matematica. Prima della prima metà del XIX secolo la nozione di insieme veniva considerata solo come qualcosa di intuitivo e generico. La nozione è stata sviluppata nella seconda metà del XIX secolo dal matematico tedesco Georg Cantor, è stata al centro dei dibattiti sui fondamenti dal 1890 al 1930 ed ha ricevuto le prime sistemazioni assiomatiche per merito di Ernst Zermelo, Adolf Fraenkel, Paul Bernays, Kurt Gödel, John von Neumann e Thoralf Skolem, Gottlob Frege (le convenzioni linguistico-formali, come il quantificatore universale ed esistenziale) e Giuseppe Peano (notazione e sintassi). In questo periodo si sono assestati due sistemi di assiomi chiamati sistema assiomatico di Zermelo-Fraenkel e sistema assiomatico di Von Neumann-Bernays-Gödel. Successivamente si sono affrontate le tematiche riguardanti il problema della completezza dei sistemi di assiomi (v. teorema di incompletezza di Gödel), i rapporti con la teoria della calcolabilità (vedasi anche macchina di Turing) e la compatibilità dei sistemi di assiomi con l'assioma della scelta e con assiomi equivalenti o simili. Accanto a differenti consolidate teorie formali degli insiemi (vedi anche teoria assiomatica degli insiemi) esistono esposizioni più intuitive che costituiscono la cosiddetta teoria ingenua degli insiemi. Elenchiamo le entità principali della teoria degli insiemi. (it)
- La logica matematica è il settore della matematica che studiai sistemi formali dal punto di vista del modo di codificarei concetti intuitivi della dimostrazione e di computazionecome parte dei fondamenti della matematica. Essa si occupa delle parti della logica che possono essere modellate matematicamente. Altri termini utilizzati spesso nel passato sono logica simbolica (termine contrapposto a logica filosofica) e metamatematica, termine che ora si applica più specificamente a taluni aspetti della teoria della dimostrazione. (it)
- 集合論（しゅうごうろん、英：Set theory）は、集合とよばれる数学的対象をあつかう数学理論である。 通常、「集合」はいろいろな数学的対象の集まりを表していると見なされる。これは日常的な意味でのものの集まりやその要素、特定のものが入っているかいないか、という概念を包摂している。現代数学の定式化においては集合論がさまざまな数学的対象を描写する言葉をあたえている。集合論は数学の公理的な基礎付けをあたえ、数学的な対象を形式的に「集合」と「帰属関係」によって構成することが可能になる。また、集合論の公理として何を仮定するとどんな体系が得られるか、といった集合それ自体の研究も活発に行われている。 集合論における基本的な操作には、あたえられた集合のべき集合や直積集合をとる、などがある。また二つの集合の元同士の関係を通じて定義される順序関係や写像などの概念が集合の分類に重要な役割を果たす。集合論では、二つの集合の間に全単射が存在するとき濃度が等しいという。そこで集合を濃度の等しさによって類別した各々の同値類のことを濃度という。この定義では濃度は真のクラスになってしまうので、濃度そのものを集合論的な対象として取り扱い難い。選択公理を仮定すると任意の集合は整列可能であることが導かれる。整列集合の順序型を順序同型で類別した各々の同値類と定義してしまうと、それは真のクラスとなってしまう。幸いなことに任意の整列集合は順序数と呼ばれる特別な集合と順序同型となる。そのためそれら順序数を整列集合の順序型と定義することができる。また順序数全体 もまた整列順序付けられている。集合の濃度を と定義することができる。すなわち濃度というのを特別な順序数として定義するわけである。このようにすることで濃度の定義から真のクラスを追放することができる。ただし選択公理を仮定することなく濃度を定義し取り扱うことはできる。基本的なアイデアは濃度で類別した各々同値類から累積階層の意味で階数が最小なものだけを分出するというものである。詳細はを参照。 (ja)
- 数理論理学（すうりろんりがく、英 : mathematical logic）または現代論理学、記号論理学、数学基礎論、超数学は、数学の分野の一つであり、「数学の理論を展開する際にその骨格となる論理の構造を研究する分野」を指す。数理論理学（数学基礎論）と密接に関連している分野としてはコンピュータ科学（計算機科学）や理論コンピュータ科学（理論計算機科学）などがある。 前現代の論理学については「伝統的論理学」を参照 数理論理学の主な目的は形式論理の数学への応用の探求や数学的な解析などであり、共通課題としてはの表現力や形式証明系の演繹の能力の研究が含まれる。 数理論理学はしばしば集合論、モデル理論、再帰理論、証明論の4つの領域に分類される。これらの領域はロジックのとくに一階述語論理やに関する結果を共有している。計算機科学（とくにに現れるもの）における数理論理学の役割の詳細はこの記事には含まれていない。詳細はを参照。 この分野が始まって以来、数理論理学は数学基礎論の研究に貢献し、また逆に動機付けられてきた。数学基礎論は幾何学、代数学、解析学に対する公理的枠組みの開発とともに19世紀末に始まった。20世紀初頭、数学基礎論は、ヒルベルトのプログラムによって、数学の基礎理論の無矛盾性を証明するものとして形成された。クルト・ゲーデルとゲルハルト・ゲンツェンによる結果やその他は、プログラムの部分的な解決を提供しつつ、無矛盾性の証明に伴う問題点を明らかにした。集合論における仕事は殆ど全ての通常の数学を集合の言葉で形式化できることを示した。しかしながら、集合論に共通の公理からは証明することができない幾つかの命題が存在することも知られた。むしろ現代の数学基礎論では、全ての数学を展開できる公理系を見つけるよりも、数学の一部がどのような特定の形式的体系で形式化することが可能であるか（逆数学のように）ということに焦点を当てている。 (ja)
- 집합론(集合論, 영어: set theory)은 추상적 대상들의 모임인 집합을 연구하는 수학 이론이다. 집합론은 술어논리학과 함께 대부분의 수학기초론 체계의 근본으로, 현대 수학을 논리적으로 지탱하는 밑바탕이 된다. 소박한 집합론에서는 집합을 단순히 대상들을 모아서 만들어지는 자명한 개념으로 이해한다. 중학교 및 고등학교 등의 교육과정에서 다루는 집합의 개념은 이에 해당한다. 소박한 집합론의 모순을 해결하기 위해 등장한 공리적 집합론은 집합들과 그 포함관계가 만족하는 공리들을 규정하는 방법으로 집합을 간접적으로 정의한다. 여기에서 집합과 그 포함관계는 유클리드 기하에서의 점이나 선과 같은 무정의 용어로 볼 수 있다. 공리적 집합론은 대부분의 경우 대학에서 수학을 전공하지 않는 이상 배우지 않는다. (ko)
- 수리논리학(數理論理學, 영어: mathematical logic) 또는 기호논리학은 논리학에서 사용하는 명제들을 수학적인 기호로 표시하는 학문이다. 고틀로프 프레게, 버트런드 러셀, 폴 조지프 코언 등이 개척한 분야로서 일상 언어와 같은 자연언어의 사용에서 올수있는 복잡성과 오류의 용이성을 제거하고 명제를 효과적으로 쉽게 다룰 수 있도록 하기 위해 도입한 현대 논리학 이론으로서, 기호를 많이 사용하여 '기호 논리학'(symbolic logic)이라고도 한다. 컴퓨터 과학 및 철학논리와 밀접하게 연관되어 있다. 이 분야는 논리학 및 형식논리의 타 분야로의 응용에 관한 수학적 연구를 포함하고 있으며, 통합적으로는 형식 체계의 표현력과 형식 증명 체계의 연역 가능성에 관한 연구를 포함한다. 수리논리학은 종종 집합론, 모형 이론, 재귀 이론, 증명 이론, 구성적 수학 등의 하위 분야로 나뉜다. 이 분야들은 공통적으로 1차 논리와 정의가능성 등의 기본적인 논리학적 결과들을 바탕으로 하고 있다. 수리논리학은 처음 출현한 이후 줄곧 수학기초론의 연구와 영향을 주고 받았다. 이 연구는 19세기 말 기하학, 대수학, 해석학의 공리적 구조의 개발과 함께 시작되었다. 20세기 초에는 수학기초론의 무모순성을 증명하려는 다비트 힐베르트의 연구에 의해 다듬어졌다. 쿠르트 괴델과 게르하르트 겐첸 등은 그 연구에 일부 해결 방법을 제시하였고 무모순성 증명과 관련한 문제들을 명확히 하였다. 비록 몇몇 정리들이 집합 이론의 공리 체계에서 증명 불가능하지만, 집합 이론에서의 연구는 거의 모든 일반적인 수학은 집합의 형태로 형식화할 수 있다는 것을 보여주었다. 수학기초론에서 최근의 연구는 종종 모든 수학을 전개할 수 있는 이론을 찾기보다는 수학의 어느 부분이 특정 형식 체계에서 형식화할 수 있는지 찾는 데 중점을 두고 있다. (ko)
- De wiskundige logica is een deelgebied van de wiskunde. De wiskundige logica wordt onderverdeeld in de vier deelgebieden verzamelingenleer, bewijstheorie, modeltheorie en berekenbaarheid. Zo is in de wiskunde de groepentheorie verbonden met de verzamelingenleer, de getaltheorie met de bewijstheorie en is de berekenbaarheid een onderdeel van de computationele complexiteitstheorie. Onderzoek op het gebied van de wiskundige logica heeft bijgedragen aan de grondslagen van de wiskunde, die weer de logica in het algemeen ondersteunden. Maar er zijn ook onderdelen van de wiskundige logica die zich niet met grondslag van de wiskunde bezighouden.De wiskundige logica geeft de voorwaarden aan, waaraan een wiskundig bewijs moet voldoen. Vroeger werd de wiskundige logica ook wel symbolische logica genoemd en op één lijn getrokken met disciplines waar qua onderzoeksgebied enige overlap mee is, met name met de en de metawiskunde. De eerste discipline betreft vooral de algemene logica, maar wordt soms ook nog gebruikt voor de wiskundige logica. Metawiskunde heeft vooral betrekking op bepaalde aspecten van de bewijstheorie. In de vorige eeuw was het programma van Hilbert, genoemd naar David Hilbert en het onderzoek van de consistentie binnen de wiskunde door onder meer Kurt Gödel van belang. (nl)
- De verzamelingenleer vormt sinds het begin van de twintigste eeuw een van de grondslagen van de wiskunde. De verzamelingenleer betreft de bestudering en formalisering van het begrip verzameling, en ondersteunt daarmee de axiomatische onderbouwing van andere deelgebieden van de wiskunde. (nl)
- Logika matematyczna – dział matematyki, który wyodrębnił się jako samodzielna dziedzina na przełomie XIX i XX wieku, wraz z dążeniem do dogłębnego zbadania podstaw matematyki. Koncentruje się ona na analizowaniu zasad rozumowania oraz pojęć z nim związanych z wykorzystaniem sformalizowanych oraz uściślonych metod i narzędzi matematyki. W początkowym okresie rozwoju tego działu używano też nazwy logika symboliczna (w celu odróżnienia od logiki filozoficznej). Nazwa logika matematyczna została użyta po raz pierwszy przez włoskiego matematyka Giuseppe Peana. (pl)
- Teoria mnogości, teoria zbiorów – dział matematyki, a zarazem logiki matematycznej, zapoczątkowany przez niemieckiego matematyka Georga Cantora pod koniec XIX wieku. Teoria początkowo wzbudzała wiele kontrowersji, jednak wraz z postępem matematyki zaczęła pełnić rolę fundamentu, na którym opiera się większość matematycznych rozważań. Na przestrzeni lat język i metody teorii mnogości przeniknęły do wielu innych działów matematyki (na przykład w algebrze rozważa się obiekty teoriomnogościowe zwane ultrafiltrami). Teoria mnogości rozwijana jest także jako samodzielna dyscyplina. (pl)
- Teoria dos conjuntos ou de conjuntos é o ramo da lógica matemática que estuda conjuntos, que (informalmente) são coleções de elementos. Embora qualquer tipo de elemento possa ser reunido em um conjunto, a teoria dos conjuntos é, em geral, investigada com elementos que são relevantes para os fundamentos da matemática. O estudo moderno da teoria dos conjuntos foi iniciado por Georg Cantor e Richard Dedekind em 1870. Após a descoberta de paradoxos na teoria ingênua dos conjuntos (i.e. sem formalização precisa), numerosos sistemas axiomáticos foram propostos no início do século XX, dos quais a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel, com ou sem o axioma da escolha, são os mais conhecidos e estudados. A teoria dos conjuntos é comumente empregada como um sistema precursor da matemática, particularmente na forma de teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha. Além de seu papel fundamental, a teoria dos conjuntos é um ramo da matemática em si própria, com uma comunidade de pesquisa ativa. Pesquisas contemporâneas em teoria dos conjuntos incluem uma diversa coleção de temas, variando da estrutura da reta dos números reais ao estudo da consistência de grandes cardinais. (pt)
- Математи́ческая ло́гика (теоретическая логика, символическая логика) — раздел математики, изучающий математические обозначения, формальные системы, доказуемость математических суждений, природу математического доказательства в целом, вычислимость и прочие аспекты оснований математики. В более широком смысле рассматривается как математизированная ветвь формальной логики — «логика по предмету, математика по методу», «логика, развиваемая с помощью математических методов». (ru)
- Тео́рия мно́жеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств — совокупностей элементов произвольной природы, обладающих каким-либо общим свойством. Создана во второй половине XIX века Георгом Кантором при значительном участии Рихарда Дедекинда, привнесла в математику новое понимание природы бесконечности, была обнаружена глубокая связь теории с формальной логикой, однако уже в конце XIX — начале XX века теория столкнулась со значительными сложностями в виде возникающих парадоксов, поэтому изначальная форма теории известна как наивная теория множеств. В XX веке теория получила существенное методологическое развитие, были созданы несколько вариантов аксиоматической теории множеств, обеспечивающие универсальный математический инструментарий, в связи с вопросами измеримости множеств тщательно разработана дескриптивная теория множеств. Теория множеств стала основой многих разделов математики — общей топологии, общей алгебры, функционального анализа и оказала существенное влияние на современное понимание предмета математики. В первой половине XX века теоретико-множественный подход был привнесён и во многие традиционные разделы математики, в связи с чем стал широко использоваться в преподавании математики, в том числе в школах. Однако использование теории множеств для логически безупречного построения математических теорий осложняется тем, что она сама нуждается в обосновании своих методов рассуждения. Более того, все логические трудности, связанные с обоснованием математического учения о бесконечности, при переходе на точку зрения общей теории множеств приобретают лишь бо́льшую остроту. Начиная со второй половины XX века представление о значении теории и её влияние на развитие математики заметно снизились за счёт осознания возможности получения достаточно общих результатов во многих областях математики и без явного использования её аппарата, в частности, с использованием теоретико-категорного инструментария (средствами которого в теории топосов обобщены практически все варианты теории множеств). Тем не менее нотация теории множеств стала общепринятой во всех разделах математики вне зависимости от использования теоретико-множественного подхода. На идейной основе теории множеств в конце XX века создано несколько обобщений, в том числе теория нечётких множеств, теория мультимножеств (используемые в основном в приложениях), (развиваемая в основном чешскими математиками). Ключевые понятия теории: множество (совокупность объектов произвольной природы), отношение принадлежности элементов множествам, подмножество, операции над множествами, отображение множеств, взаимно-однозначное соответствие, мощность (конечная, счётная, несчётная), трансфинитная индукция. (ru)
- Matematisk logik har generellt två betydelser. Det kan betyda logik studerad med matematiska metoder eller matematikens logik. Ofta avser man båda dessa tolkningar: man studerar matematikens logik med matematiska metoder. Begreppet ska förstås ses som kontrast till filosofisk logik. (sv)
- A lógica matemática é uma subárea da matemática que explora as aplicações da lógica formal para a matemática. Basicamente, tem ligações fortes com matemática, os fundamentos da matemática e ciência da computação teórica. Os temas unificadores na lógica matemática incluem o estudo do poder expressivo de sistemas formais e o poder dedutivo de sistemas de prova matemática formal. A lógica matemática é muitas vezes dividida em campos da teoria dos conjuntos, teoria de modelos, teoria da recursão e teoria da prova. Estas áreas compartilham resultados básicos sobre lógica, particularmente lógica de primeira ordem, e definibilidade. Na ciência da computação, especialmente na classificação ACM, onde ACM vem do inglês (Association for Computing Machinery), lógica matemática engloba tópicos adicionais não descritos neste artigo; ver lógica em ciência da computação para este tópico anterior. Desde o seu surgimento, a lógica matemática tem contribuído e motivado pelo estudo dos fundamentos da matemática. Este estudo foi iniciado no final do século XIX, com o desenvolvimento de arcabouço axiomático para geometria, aritmética e análise. No início do século XX a lógica matemática foi moldada pelo programa de David Hilbert para provar a consistência das teorias fundamentais. Os resultados de Kurt Godel, Gerhard Gentzen, e outros, desde resolução parcial do programa, e esclareceu as questões envolvidas em provar a consistência. O trabalho na teoria dos conjuntos mostrou que quase toda a matemática ordinária pode ser formalizada em termos de conjuntos, embora existam alguns teoremas que não podem ser demonstrados em sistemas axiomáticos comuns para a teoria dos conjuntos. O trabalho contemporâneo nos fundamentos da matemática, muitas vezes se concentra em estabelecer quais as partes da matemática que podem ser formalizadas, em particular, sistemas formais (como em matemática reversa) ao invés de tentar encontrar as teorias em que toda a matemática pode ser desenvolvida. Subáreas e escopo O manual de lógica matemática divide a matemática contemporânea em quatro áreas: 1.
* Teoria dos conjuntos; 2.
* teoria dos modelos; 3.
* teoria da recursão; 4.
* teoria da prova e da matemática construtiva consideradas partes de uma única área. Cada área tem um foco distinto, apesar de ter várias técnicas e resultados comuns entre si. A divisão das referidas áreas e os limites que separam a lógica matemática de outros campos de estudo não são bem definidas. A teoria da incompletude de Gödel representa não só um marco na teoria da recursão e teoria da prova, mas também contribuiu para o teorema de Löb da teoria dos modelos. O método do forçamento ("forcing") é aplicada na teoria dos conjuntos, na teoria dos modelos, na teoria da recursão, assim como no estudos da matemática intuiticionística. O campo matemático conhecido como o da teoria das categorias usa muitos métodos axiomáticos formais nos quais se inclui o estudo da lógica categórica, mas essa teoria não é comumente considerada um sub-ramo da lógica. Por causa da sua aplicabilidade em diversos campos da lógica, matemáticos como Saunders Mac Lane propuseram usar a teoria das categorias como fundamentos da matemática, independentemente da teoria dos conjuntos. Essas fundamentações usam tópicos que em muito se parecem com modelos generalizados das teorias dos conjuntos, e empregam lógica clássica ou não-clássica. (pt)
- Mängdteori är del inom matematisk logik som syftar till att studera samlingar av element som kallas för mängder. Det finns flera olika varianter på mängdteori beroende på vilka mängdteoretiska axiom man använder, och man kan därför ibland även tala om "en mängdteori", i betydelsen en variant uppbyggd på ett visst sätt. (sv)
- Математи́чна ло́гіка — розділ математики, що вивчає мислення за допомогою числень, застосовуючи математичні методи та спеціальний апарат символів.Предметом математичної логіки є математичні теорії в цілому, які вивчаються за допомогою логіко-математичних мов. При цьому в першу чергу цікавляться питаннями несуперечливості математичних теорій, їх розв'язності та повноти. (uk)
- Тео́рія множи́н — розділ математики, в якому вивчаються загальні властивості множин (переважно нескінченних). Виділення теорії множин в самостійний розділ математики відбулося на рубежі XIX і XX століть. Теорія множин зробила дуже великий вплив на розвиток сучасної математики — вона є фундаментом низки нових розділів математики, дозволила по-новому поглянути на класичні розділи математики і глибше зрозуміти сам предмет математики. Сучасні дослідження теорії множин були започатковані Георгом Кантором і Ріхардом Дедекіндом в 1870-х роках. Після відкриття парадоксів наївної теорії множин, на початку XX століття були запропоновані численні системи аксіом, серед яких найвідомішою є система Цермело-Френкеля з аксіомою вибору. (uk)
- 数理逻辑（英語：Mathematical logic）是数学的一个分支，其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。 数理逻辑的研究范围是逻辑中可被数学模式化的部分。以前称为符号逻辑（相对于哲学逻辑），又称元数学，后者的使用现已局限于证明论的某些方面。 (zh)
- 集合論（英語：Set theory）或稱集論，是研究集合（由一堆抽象对象構成的整體）的數學理論，包含集合和元素（或稱為成員）、關係等最基本數學概念。在大多數現代數學的公式化中，都是在集合論的語言下談論各種数学对象。集合論、命題邏輯與謂詞邏輯共同構成了數學的公理化基礎，以未定義的「集合」與「集合成員」等術語來形式化地建構數學物件。 現代集合論的研究是在1870年代由俄国数学家康托爾及德國数学家理察·戴德金的樸素集合論開始。在樸素集合論中，集合是當做一堆物件構成的整體之類的自證概念，沒有有關集合的形式化定義。在發現樸素集合論會產生一些後，二十世紀初期提出了許多公理化集合論，其中最著名的是包括選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論，簡稱ZFC。公理化集合論不直接定義集合和集合成員，而是先規範可以描述其性質的一些公理。 集合論常被視為數學基礎之一，特別是 ZFC 集合論。除了其基礎的作用外，集合論也是數學理論中的一部份，當代的集合論研究有許多離散的主題，從實數線的結構到大基数的一致性等。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- نظرية المجموعة (الجمع: نظرية المجموعات) (بالإنجليزية: Set theory) هو فرع من علم المنطق الرياضي. تهتم تلك النظرية بدراسة المجموعات والتي هي تجميع لكائنات رياضية مجردة والعمليات المطبقة عليها، وتشكل إحدى أهم ركائز الرياضيات الحديثة. كانت بداية الاهتمام بهذا العلم والعمل على دراسته بالقرن التاسع عشر عندما بداه جورج كانتور وريتشارد ديدكايند. وعلى اثر اكتشاف تناقضات عديدة في نظرية المجموعات الأساسية، اقتُرحت العديد من الانظمة البديهية لتجاوز هذه التناقضات ومن هذه كان نظام زيرملو-فرانكلن مع بديهية الاختيار افضلها على الإطلاق. (ar)
- La teoria de conjunts és la branca de les matemàtiques que estudia els conjunts. El primer estudi formal sobre el tema va ser realitzat pel matemàtic alemany Georg Cantor al segle xix. (ca)
- Matematická logika je vědní disciplína nacházející se na rozhraní mezi logikou a matematikou. Zabývá se zkoumáním, formalizováním a matematizováním zejména těch oblastí logiky, na jejichž základech je postavena matematika. V centru jejího zájmu jsou pojmy jako důkaz, teorie, axiomatizace, model, bezespornost, úplnost, rozhodnutelnost. (cs)
- Teorie množin je matematická teorie, která se zabývá studiem množin. Množina je buď souhrn nějakých prvků (přičemž nezáleží na jejich pořadí), anebo nějaká matematická formalizace tohoto konceptu. Teorie množin, která vychází z intuice a zachází s množinami jako se soubory nějakých objektů, se nazývá naivní teorie množin. Kromě ní existují axiomatické teorie množin, které přesně formulují vlastnosti množin několika axiomy a z nich (bez využití intuice či dalších předpokladů) odvozují další vlastnosti množin pomocí matematické logiky. Ve většině těchto teorií je možné zkonstruovat všechny běžně používané matematické objekty (tj. reálná čísla, funkce, uspořádané dvojice atd.) jako množiny. (cs)
- Die Mengenlehre ist ein grundlegendes Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Untersuchung von Mengen, also von Zusammenfassungen von Objekten, beschäftigt. Die gesamte Mathematik, wie sie üblicherweise gelehrt wird, ist in der Sprache der Mengenlehre formuliert und baut auf den Axiomen der Mengenlehre auf. Die meisten mathematischen Objekte, die in Teilbereichen wie Algebra, Analysis, Geometrie, Stochastik oder Topologie behandelt werden, können als Mengen definiert werden. Gemessen daran ist die Mengenlehre eine recht junge Wissenschaft; erst nach der Überwindung der Grundlagenkrise der Mathematik im frühen 20. Jahrhundert konnte die Mengenlehre ihren heutigen, zentralen und grundlegenden Platz in der Mathematik einnehmen. (de)
- Matematika logiko estas fako de matematiko, kiu studas el la vidpunkto bazita sur la konceptoj de pruvo kaj kaj parenca kun la temaro pri . Kvankam la nomo sugestas, ke matematika logiko estas la logiko de matematiko, vere ĝi estas iom pli proksime al matematiko de logiko. Ĝi enhavas tiujn partojn de logiko, kiuj povas esti modelitaj matematike. Pli fruaj nomoj de la afero estis "simbola logiko" (en kontrasto al "filozofia logiko"), kaj " de matematiko", kiu estas nun limigita kiel termino por iuj aspektoj de pruva teorio. (eo)
- La logique mathématique ou métamathématique est une discipline des mathématiques introduite à la fin du XIXe siècle, qui s'est donné comme objet l'étude des mathématiques en tant que langage. Les objets fondamentaux de la logique mathématique sont les formules représentant les énoncés mathématiques, les dérivations ou démonstrations formelles représentant les raisonnements mathématiques et les sémantiques ou modèles ou interprétations dans des structures qui donnent un « sens » mathématique générique aux formules (et parfois même aux démonstrations) comme certains invariants : par exemple l'interprétation des formules du calcul des prédicats permet de leur affecter une valeur de vérité. (fr)
- Cur i bhfeidhm an chruinnis mhatamaiticiúil is teicníochtaí siombalacha i staidéar na loighce. Mar shampla, forbairt na dteangacha foirmiúla is na gcóras aicsímí chun cruthuithe loighciúla a thógáil. Tugtar loighic shiombalach uirthi freisin. Bunaíodh an t-ábhar ar shaothar Boole, agus ina dhiaidh sin saothar Frege, Whitehead is Russell, Gödel, is Tarski. Tagairtí (ga)
- Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian logika matematis dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal. Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan, teori model, , , serta . Bidang-bidang ini memiliki hasil dasar logika yang serupa. (in)
- La logica matematica è il settore della matematica che studiai sistemi formali dal punto di vista del modo di codificarei concetti intuitivi della dimostrazione e di computazionecome parte dei fondamenti della matematica. Essa si occupa delle parti della logica che possono essere modellate matematicamente. Altri termini utilizzati spesso nel passato sono logica simbolica (termine contrapposto a logica filosofica) e metamatematica, termine che ora si applica più specificamente a taluni aspetti della teoria della dimostrazione. (it)
- 집합론(集合論, 영어: set theory)은 추상적 대상들의 모임인 집합을 연구하는 수학 이론이다. 집합론은 술어논리학과 함께 대부분의 수학기초론 체계의 근본으로, 현대 수학을 논리적으로 지탱하는 밑바탕이 된다. 소박한 집합론에서는 집합을 단순히 대상들을 모아서 만들어지는 자명한 개념으로 이해한다. 중학교 및 고등학교 등의 교육과정에서 다루는 집합의 개념은 이에 해당한다. 소박한 집합론의 모순을 해결하기 위해 등장한 공리적 집합론은 집합들과 그 포함관계가 만족하는 공리들을 규정하는 방법으로 집합을 간접적으로 정의한다. 여기에서 집합과 그 포함관계는 유클리드 기하에서의 점이나 선과 같은 무정의 용어로 볼 수 있다. 공리적 집합론은 대부분의 경우 대학에서 수학을 전공하지 않는 이상 배우지 않는다. (ko)
- De verzamelingenleer vormt sinds het begin van de twintigste eeuw een van de grondslagen van de wiskunde. De verzamelingenleer betreft de bestudering en formalisering van het begrip verzameling, en ondersteunt daarmee de axiomatische onderbouwing van andere deelgebieden van de wiskunde. (nl)
- Logika matematyczna – dział matematyki, który wyodrębnił się jako samodzielna dziedzina na przełomie XIX i XX wieku, wraz z dążeniem do dogłębnego zbadania podstaw matematyki. Koncentruje się ona na analizowaniu zasad rozumowania oraz pojęć z nim związanych z wykorzystaniem sformalizowanych oraz uściślonych metod i narzędzi matematyki. W początkowym okresie rozwoju tego działu używano też nazwy logika symboliczna (w celu odróżnienia od logiki filozoficznej). Nazwa logika matematyczna została użyta po raz pierwszy przez włoskiego matematyka Giuseppe Peana. (pl)
- Teoria mnogości, teoria zbiorów – dział matematyki, a zarazem logiki matematycznej, zapoczątkowany przez niemieckiego matematyka Georga Cantora pod koniec XIX wieku. Teoria początkowo wzbudzała wiele kontrowersji, jednak wraz z postępem matematyki zaczęła pełnić rolę fundamentu, na którym opiera się większość matematycznych rozważań. Na przestrzeni lat język i metody teorii mnogości przeniknęły do wielu innych działów matematyki (na przykład w algebrze rozważa się obiekty teoriomnogościowe zwane ultrafiltrami). Teoria mnogości rozwijana jest także jako samodzielna dyscyplina. (pl)
- Математи́ческая ло́гика (теоретическая логика, символическая логика) — раздел математики, изучающий математические обозначения, формальные системы, доказуемость математических суждений, природу математического доказательства в целом, вычислимость и прочие аспекты оснований математики. В более широком смысле рассматривается как математизированная ветвь формальной логики — «логика по предмету, математика по методу», «логика, развиваемая с помощью математических методов». (ru)
- Matematisk logik har generellt två betydelser. Det kan betyda logik studerad med matematiska metoder eller matematikens logik. Ofta avser man båda dessa tolkningar: man studerar matematikens logik med matematiska metoder. Begreppet ska förstås ses som kontrast till filosofisk logik. (sv)
- Mängdteori är del inom matematisk logik som syftar till att studera samlingar av element som kallas för mängder. Det finns flera olika varianter på mängdteori beroende på vilka mängdteoretiska axiom man använder, och man kan därför ibland även tala om "en mängdteori", i betydelsen en variant uppbyggd på ett visst sätt. (sv)
- Математи́чна ло́гіка — розділ математики, що вивчає мислення за допомогою числень, застосовуючи математичні методи та спеціальний апарат символів.Предметом математичної логіки є математичні теорії в цілому, які вивчаються за допомогою логіко-математичних мов. При цьому в першу чергу цікавляться питаннями несуперечливості математичних теорій, їх розв'язності та повноти. (uk)
- 数理逻辑（英語：Mathematical logic）是数学的一个分支，其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。 数理逻辑的研究范围是逻辑中可被数学模式化的部分。以前称为符号逻辑（相对于哲学逻辑），又称元数学，后者的使用现已局限于证明论的某些方面。 (zh)
- 集合論（英語：Set theory）或稱集論，是研究集合（由一堆抽象对象構成的整體）的數學理論，包含集合和元素（或稱為成員）、關係等最基本數學概念。在大多數現代數學的公式化中，都是在集合論的語言下談論各種数学对象。集合論、命題邏輯與謂詞邏輯共同構成了數學的公理化基礎，以未定義的「集合」與「集合成員」等術語來形式化地建構數學物件。 現代集合論的研究是在1870年代由俄国数学家康托爾及德國数学家理察·戴德金的樸素集合論開始。在樸素集合論中，集合是當做一堆物件構成的整體之類的自證概念，沒有有關集合的形式化定義。在發現樸素集合論會產生一些後，二十世紀初期提出了許多公理化集合論，其中最著名的是包括選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論，簡稱ZFC。公理化集合論不直接定義集合和集合成員，而是先規範可以描述其性質的一些公理。 集合論常被視為數學基礎之一，特別是 ZFC 集合論。除了其基礎的作用外，集合論也是數學理論中的一部份，當代的集合論研究有許多離散的主題，從實數線的結構到大基数的一致性等。 (zh)
- المنطق هو العلم الذي يبحث في القواعد التي تتبع في التفكير وطرق الاستدلال الصحيح. وهو بذلك أداة للتفكير لأنه يعنى بتحليل طرق التفكير وصيانته من الخطأ. والعملية المنطقية تهتم بفئة من الصيغ أو القضايا. القضية: جملة تقوم على علاقة بين عدد من الكلمات المفهومة، وتنقسم إلى قسمين: 1.
* القضية الإخبارية: وهي تخبر عن شيء ما وتحتمل الصدق أو الكذب مثل (المثلثات المتطابقة متكافئة)، (كل ما في الكون يجذب بعضه بعضا). 2.
* القضية الإنشائية: وهي التي لا يمكن أن توصف بالصدق أو الكذب مثل لا تمش في الأرض مرحا وهي ليست قضايا منطقية. (ar)
- La lògica matemàtica és la disciplina inclosa en la matemàtica que estudia els sistemes formals en relació amb la manera en què aquests codifiquen els conceptes intuïtius de demostració matemàtica i computació com una part dels fonaments de la matemàtica. S'ha format com a resultat d'aplicar, en el terreny de la lògica, els de la matemàtica basats en l'ocupació d'un llenguatge especial de símbols i fórmules. En la lògica matemàtica, el pensament lògic de contingut (processos del judici i de la demostració) s'estudia representant per mitjà de sistemes lògics formals o càlculs. Resulta, doncs, que la lògica matemàtica, pel seu objecte és lògica, i pel seu mètode és matemàtica. (ca)
- Η μαθηματική λογική είναι ένας κλάδος των μαθηματικών και της επιστήμης υπολογιστών, με στενή σχέση και με τη φιλοσοφική λογική. Το πεδίο περιλαμβάνει τη μαθηματική μελέτη της λογικής και τις εφαρμογές της τυπικής λογικής σε άλλες περιοχές των μαθηματικών. Οι βασικότερες ιδέες στη μαθηματική λογική περιλαμβάνουν τη μελέτη της εκφραστικής ισχύος των τυπικών συστημάτων και της συμπερασματικής ισχύος των συστημάτων τυπικών αποδείξεων. (el)
- Στα μαθηματικά, θεωρία συνόλων ή συνολοθεωρία είναι η θεωρία που μελετάει τα σύνολα και είναι κλάδος της Μαθηματικής Λογικής. Σε αντίθεση με τις υπόλοιπες μαθηματικές θεωρίες που εξετάζουν δομές, δηλαδή σύνολα εφοδιασμένα με συναρτήσεις και σχέσεις (π.χ. ομάδες, τοπολογικοί χώροι) η θεωρία συνόλων μελετά τα ίδια τα σύνολα και τις μεταξύ τους σχέσεις. Άτυπα μπορούμε να πούμε ότι οποιοδήποτε συλλογή αντικείμενων του φυσικού κόσμου ή της νόησης είναι ένα σύνολο. Η θεωρία συνόλων χρησιμοποιεί σαν θεμελιώδη πρωταρχική σχέση την σχέση του "ανήκειν" (ή "είναι μέλος"), συμβολίζεται με є. Αν και ένα σύνολο μπορεί να περιέχει οποιοδήποτε τύπο αντικειμένου, η θεωρία συνόλων ασχολείται συνήθως με σύνολα που τα αντικείμενά τους σχετίζονται με τα μαθηματικά. (el)
- Aro-teorio aŭ aroteorio (aŭ arteorio) estas branĉo de matematiko kaj komputiko kreita ĉefe de la germana matematikisto Georg Cantor fine de la 19-a jarcento. Ĝi komence estis disputata, sed nuntempe iĝis grava en la por difini bazajn konceptojn kiel nombro. Komence oni evoluigis la naivan aŭ intuician arteorion, kiun oni povas difini jene: Al tiaj aroj oni povas apliki diversajn operaciojn, kiel la kunaĵon kaj la komunaĵon. (eo)
- Die mathematische Logik, auch symbolische Logik oder veraltet Logistik, ist ein Teilgebiet der Mathematik, insbesondere als Methode der Metamathematik und eine Anwendung der modernen formalen Logik. Oft wird sie wiederum in die Teilgebiete Modelltheorie, Beweistheorie, Mengenlehre und Rekursionstheorie aufgeteilt. Forschung im Bereich der mathematischen Logik hat zum Studium der Grundlagen der Mathematik beigetragen und wurde auch durch dieses motiviert. Infolgedessen wurde sie auch unter dem Begriff Metamathematik bekannt. (de)
- La teoría de conjuntos es una rama de la lógica matemática que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica que permite formular de cualquier otra teoría matemática. La teoría de los conjuntos es lo suficientemente flexible y general como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, etc; gracias a las herramientas de la lógica, permite estudiar los fundamentos. (es)
- La lógica matemática, también llamada lógica simbólica, lógica teorética, lógica formal o logística, es el estudio formal y simbólico de la lógica, y su aplicación a algunas áreas de la matemática y la ciencia. Comprende la aplicación de las técnicas de la lógica formal a la construcción y el desarrollo de las matemáticas y el razonamiento matemático, y conversamente la aplicación de técnicas matemáticas a la representación y el análisis de la lógica formal. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel crucial en el estudio de los fundamentos de las matemáticas. (es)
- Multzo-teoria multzoen propietateak eta erlazioak aztertzen dituen logika matematikoaren adar bat da. Objektuen bilduma abstraktuak objektu moduan hartzen ditu. Multzoak eta haien arteko eragiketak edozein teoria matematikoren oinarrizko tresna dira. Multzo-teoria aberatsa da matematikaren gainerako objektuak eta egiturak eraikitzeko: zenbakiak, funtzioak, irudi geometrikoak... Logikaren tresnei esker, haien oinarriak aztertzea ahalbidetzen du. Gaur egun, Zermelo-Fraenkelen teoriaren axioma multzoa matematika osoa garatzeko nahikoa dela onartua dago. (eu)
- Logika matematikoa, logika sinbolikoa, logika teoretikoa, logika formala edo logistika ere deitua, logikaren azterketa formal eta sinbolikoa da, eta matematikaren eta zientziaren arlo batzuetan duen aplikazioa. Logika formalaren teknikak matematikaren eta arrazoiketa matematikoaren eraikuntzan eta garapenean aplikatzea ulertzen du, eta, elkarrekin, logika formalaren irudikapenean eta analisian teknika matematikoak aplikatzea. Logika matematikoaren ikerketak berebiziko garrantzia izan du aztertzean. (eu)
- Mathematical logic is the study of formal logic within mathematics. Major subareas include model theory, proof theory, set theory, and recursion theory. Research in mathematical logic commonly addresses the mathematical properties of formal systems of logic such as their expressive or deductive power. However, it can also include uses of logic to characterize correct mathematical reasoning or to establish foundations of mathematics. (en)
- Brainse de loighic mhatamaiticiúil is ea tacartheoiric (nó teoiric na dtacar), a dhéanann staidéar ar thacair; go neamhfhoirmiúi is bailiúcháin de réada iad. Cé gur féidir le réad ar bith a bhailiú i dtacar, is minic a úsáidtear tacartheoiric ar rudaí a bhaineann leis an matamaitic. Is féidir leas a bhaint as teanga na tacartheoirice chun beagnach gach réad matamaitice a shainiú. (ga)
- La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle. La théorie des ensembles se donne comme primitives les notions d'ensemble et d'appartenance, à partir desquelles elle reconstruit les objets usuels des mathématiques : fonctions, relations, entiers naturels, relatifs, rationnels, nombres réels, complexes… C'est pourquoi la théorie des ensembles est considérée comme une théorie fondamentale dont Hilbert a pu dire qu'elle était un « paradis » créé par Cantor pour les mathématiciens. (fr)
- Teori Himpunan adalah teori mengenai kumpulan objek-objek abstrak. Teori himpunan biasanya dipelajari sebagai salah satu bentuk:
* , dan
* , yang mendasarkan teori himpunan pada istilah-istilah dan relasi yang tak terdefinisikan, serta aksioma-aksioma yang nantinya akan membangun keseluruhan teori himpunan. Studi modern tentang teori himpunan diprakarsai oleh Georg Cantor dan Richard Dedekind pada tahun 1870. Setelah penemuan di , seperti , banyak sistem aksioma diusulkan pada awal abad ke-20, di mana , dengan atau tanpa aksioma pilihan, adalah yang paling terkenal. (in)
- 集合論（しゅうごうろん、英：Set theory）は、集合とよばれる数学的対象をあつかう数学理論である。 通常、「集合」はいろいろな数学的対象の集まりを表していると見なされる。これは日常的な意味でのものの集まりやその要素、特定のものが入っているかいないか、という概念を包摂している。現代数学の定式化においては集合論がさまざまな数学的対象を描写する言葉をあたえている。集合論は数学の公理的な基礎付けをあたえ、数学的な対象を形式的に「集合」と「帰属関係」によって構成することが可能になる。また、集合論の公理として何を仮定するとどんな体系が得られるか、といった集合それ自体の研究も活発に行われている。 と定義することができる。すなわち濃度というのを特別な順序数として定義するわけである。このようにすることで濃度の定義から真のクラスを追放することができる。ただし選択公理を仮定することなく濃度を定義し取り扱うことはできる。基本的なアイデアは濃度で類別した各々同値類から累積階層の意味で階数が最小なものだけを分出するというものである。詳細はを参照。 (ja)
- La teoria degli insiemi è una teoria matematica posta ai fondamenti della matematica stessa, collocandosi nell'ambito della logica matematica. Prima della prima metà del XIX secolo la nozione di insieme veniva considerata solo come qualcosa di intuitivo e generico. La nozione è stata sviluppata nella seconda metà del XIX secolo dal matematico tedesco Georg Cantor, è stata al centro dei dibattiti sui fondamenti dal 1890 al 1930 ed ha ricevuto le prime sistemazioni assiomatiche per merito di Ernst Zermelo, Adolf Fraenkel, Paul Bernays, Kurt Gödel, John von Neumann e Thoralf Skolem, Gottlob Frege (le convenzioni linguistico-formali, come il quantificatore universale ed esistenziale) e Giuseppe Peano (notazione e sintassi). In questo periodo si sono assestati due sistemi di assiomi chiamati si (it)
- 수리논리학(數理論理學, 영어: mathematical logic) 또는 기호논리학은 논리학에서 사용하는 명제들을 수학적인 기호로 표시하는 학문이다. 고틀로프 프레게, 버트런드 러셀, 폴 조지프 코언 등이 개척한 분야로서 일상 언어와 같은 자연언어의 사용에서 올수있는 복잡성과 오류의 용이성을 제거하고 명제를 효과적으로 쉽게 다룰 수 있도록 하기 위해 도입한 현대 논리학 이론으로서, 기호를 많이 사용하여 '기호 논리학'(symbolic logic)이라고도 한다. 컴퓨터 과학 및 철학논리와 밀접하게 연관되어 있다. 이 분야는 논리학 및 형식논리의 타 분야로의 응용에 관한 수학적 연구를 포함하고 있으며, 통합적으로는 형식 체계의 표현력과 형식 증명 체계의 연역 가능성에 관한 연구를 포함한다. 수리논리학은 종종 집합론, 모형 이론, 재귀 이론, 증명 이론, 구성적 수학 등의 하위 분야로 나뉜다. 이 분야들은 공통적으로 1차 논리와 정의가능성 등의 기본적인 논리학적 결과들을 바탕으로 하고 있다. (ko)
- 数理論理学（すうりろんりがく、英 : mathematical logic）または現代論理学、記号論理学、数学基礎論、超数学は、数学の分野の一つであり、「数学の理論を展開する際にその骨格となる論理の構造を研究する分野」を指す。数理論理学（数学基礎論）と密接に関連している分野としてはコンピュータ科学（計算機科学）や理論コンピュータ科学（理論計算機科学）などがある。 前現代の論理学については「伝統的論理学」を参照 数理論理学の主な目的は形式論理の数学への応用の探求や数学的な解析などであり、共通課題としてはの表現力や形式証明系の演繹の能力の研究が含まれる。 数理論理学はしばしば集合論、モデル理論、再帰理論、証明論の4つの領域に分類される。これらの領域はロジックのとくに一階述語論理やに関する結果を共有している。計算機科学（とくにに現れるもの）における数理論理学の役割の詳細はこの記事には含まれていない。詳細はを参照。 (ja)
- De wiskundige logica is een deelgebied van de wiskunde. De wiskundige logica wordt onderverdeeld in de vier deelgebieden verzamelingenleer, bewijstheorie, modeltheorie en berekenbaarheid. Zo is in de wiskunde de groepentheorie verbonden met de verzamelingenleer, de getaltheorie met de bewijstheorie en is de berekenbaarheid een onderdeel van de computationele complexiteitstheorie. Onderzoek op het gebied van de wiskundige logica heeft bijgedragen aan de grondslagen van de wiskunde, die weer de logica in het algemeen ondersteunden. Maar er zijn ook onderdelen van de wiskundige logica die zich niet met grondslag van de wiskunde bezighouden.De wiskundige logica geeft de voorwaarden aan, waaraan een wiskundig bewijs moet voldoen. (nl)
- Teoria dos conjuntos ou de conjuntos é o ramo da lógica matemática que estuda conjuntos, que (informalmente) são coleções de elementos. Embora qualquer tipo de elemento possa ser reunido em um conjunto, a teoria dos conjuntos é, em geral, investigada com elementos que são relevantes para os fundamentos da matemática. (pt)
- A lógica matemática é uma subárea da matemática que explora as aplicações da lógica formal para a matemática. Basicamente, tem ligações fortes com matemática, os fundamentos da matemática e ciência da computação teórica. Os temas unificadores na lógica matemática incluem o estudo do poder expressivo de sistemas formais e o poder dedutivo de sistemas de prova matemática formal. Subáreas e escopo O manual de lógica matemática divide a matemática contemporânea em quatro áreas: (pt)
- Тео́рия мно́жеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств — совокупностей элементов произвольной природы, обладающих каким-либо общим свойством. Создана во второй половине XIX века Георгом Кантором при значительном участии Рихарда Дедекинда, привнесла в математику новое понимание природы бесконечности, была обнаружена глубокая связь теории с формальной логикой, однако уже в конце XIX — начале XX века теория столкнулась со значительными сложностями в виде возникающих парадоксов, поэтому изначальная форма теории известна как наивная теория множеств. В XX веке теория получила существенное методологическое развитие, были созданы несколько вариантов аксиоматической теории множеств, обеспечивающие универсальный математический инструментарий, в связи с вопросами измеримос (ru)
- Тео́рія множи́н — розділ математики, в якому вивчаються загальні властивості множин (переважно нескінченних). Виділення теорії множин в самостійний розділ математики відбулося на рубежі XIX і XX століть. Теорія множин зробила дуже великий вплив на розвиток сучасної математики — вона є фундаментом низки нових розділів математики, дозволила по-новому поглянути на класичні розділи математики і глибше зрозуміти сам предмет математики. (uk)
|
