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- 数学において、フォン・ノイマン正則環（英: von Neumann regular ring）とは、環 R であって、任意の a ∈ R に対してある x ∈ R が存在し、a = axa となるようなものである。可換環論における正則環や正則局所環との混乱を避けるため、フォン・ノイマン正則環は絶対平坦環 (absolutely flat ring) とも呼ばれる。なぜならば、フォン・ノイマン正則環は任意の左加群が平坦であるような環として特徴づけられるからである。 x を a の"" (weak inverse) と考えることができる。一般に x は a によって一意には決まらない。 フォン・ノイマン正則環は von Neumann によって"正則環"という名前でフォン・ノイマン多元環や連続幾何の研究中に導入された。 環の元 a は a = axa となるような x が存在するときにフォン・ノイマン正則元と呼ばれる。イデアル はフォン・ノイマン正則な非単位的環であるとき、すなわち の任意の元 a に対し の元 x が存在し a = axa となるとき（フォン・ノイマン）正則イデアルと呼ばれる。 (ja)
- In mathematics, a von Neumann regular ring is a ring R (associative, with 1, not necessarily commutative) such that for every element a in R there exists an x in R with a = axa. One may think of x as a "weak inverse" of the element a; in general x is not uniquely determined by a. Von Neumann regular rings are also called absolutely flat rings, because these rings are characterized by the fact that every left R-module is flat. Von Neumann regular rings were introduced by von Neumann under the name of "regular rings", in the course of his study of von Neumann algebras and continuous geometry. Von Neumann regular rings should not be confused with the unrelated regular rings and regular local rings of commutative algebra. An element a of a ring is called a von Neumann regular element if there exists an x such that a = axa. An ideal is called a (von Neumann) regular ideal if for every element a in there exists an element x in such that a = axa. (en)
- 환론에서 절대평탄환(絶對平坦環, 영어: absolutely flat ring) 또는 폰 노이만 정칙환(正則環, 영어: von Neumann regular ring, 약자 VNR환)은 모든 원소가 ‘가역원에 근접하여’ 모든 가군이 평탄 가군이 되는 환이다. (ko)
- Pierścień regularny w sensie von Neumanna – pojęcie teorii pierścieni wprowadzone przez Johna von Neumanna w pracy On Regular Rings z 1936 roku: pierścień, w którym dla dowolnego jego elementu istnieje element spełniający . (pl)
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- 数学において、フォン・ノイマン正則環（英: von Neumann regular ring）とは、環 R であって、任意の a ∈ R に対してある x ∈ R が存在し、a = axa となるようなものである。可換環論における正則環や正則局所環との混乱を避けるため、フォン・ノイマン正則環は絶対平坦環 (absolutely flat ring) とも呼ばれる。なぜならば、フォン・ノイマン正則環は任意の左加群が平坦であるような環として特徴づけられるからである。 x を a の"" (weak inverse) と考えることができる。一般に x は a によって一意には決まらない。 フォン・ノイマン正則環は von Neumann によって"正則環"という名前でフォン・ノイマン多元環や連続幾何の研究中に導入された。 環の元 a は a = axa となるような x が存在するときにフォン・ノイマン正則元と呼ばれる。イデアル はフォン・ノイマン正則な非単位的環であるとき、すなわち の任意の元 a に対し の元 x が存在し a = axa となるとき（フォン・ノイマン）正則イデアルと呼ばれる。 (ja)
- 환론에서 절대평탄환(絶對平坦環, 영어: absolutely flat ring) 또는 폰 노이만 정칙환(正則環, 영어: von Neumann regular ring, 약자 VNR환)은 모든 원소가 ‘가역원에 근접하여’ 모든 가군이 평탄 가군이 되는 환이다. (ko)
- Pierścień regularny w sensie von Neumanna – pojęcie teorii pierścieni wprowadzone przez Johna von Neumanna w pracy On Regular Rings z 1936 roku: pierścień, w którym dla dowolnego jego elementu istnieje element spełniający . (pl)
- In mathematics, a von Neumann regular ring is a ring R (associative, with 1, not necessarily commutative) such that for every element a in R there exists an x in R with a = axa. One may think of x as a "weak inverse" of the element a; in general x is not uniquely determined by a. Von Neumann regular rings are also called absolutely flat rings, because these rings are characterized by the fact that every left R-module is flat. (en)
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- フォン・ノイマン正則環 (ja)
- 절대평탄환 (ko)
- Pierścień regularny w sensie von Neumanna (pl)
- Von Neumann regular ring (en)
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