| dbo:abstract
|
- Nichtstandardanalysis ist ein Gebiet der Mathematik, das sich mit nichtarchimedisch geordneten Körpern beschäftigt. Der wichtigste Unterschied zur normalen Analysis besteht darin, dass in der Nichtstandardanalysis auch unendlich große und unendlich kleine Zahlen vorkommen, die hyperreellen Zahlen. (de)
- La está repleta de debates filosóficos sobre el significado y la validez lógica de los números denominados fluxiones o infinitesimales. La forma estándar de resolver estos debates es definir las operaciones de cálculo utilizando procedimientos en lugar de infinitesimales. El análisis no estándar reformula el cálculo utilizando una noción lógicamente rigurosa de los números infinitesimales. La técnica del análisis no estándar se originó a principios de la década de 1960, siendo impulsada por el matemático Abraham Robinson, quien escribió: ... la idea de cantidades infinitamente pequeñas o "infinitesimales" parece apelar naturalmente a nuestra intuición. De todos modos, el uso de infinitesimales estuvo muy extendido durante las etapas formativas del Cálculo Diferencial e Integral. En cuanto a la objeción ... de que la distancia entre dos números reales distintos no puede ser infinitamente pequeña, Gottfried Leibniz argumentó que la teoría de los infinitesimales implica la introducción de números ideales que podrían ser infinitamente pequeños o infinitamente grandes en comparación con los números reales, pero que debían "poseer las mismas propiedades que estos últimos". Robinson argumentó que esta de Leibniz es un precursor del , y continuó afirmando que: Sin embargo, ni él ni sus discípulos y sucesores pudieron dar un desarrollo racional que condujera a un sistema de este tipo. Como resultado, la teoría de los infinitesimales cayó gradualmente en descrédito y finalmente fue reemplazada por la teoría clásica de los límites. y por último, argumentó que: ... Las ideas de Leibniz pueden ser plenamente reivindicadas y ... conducen a un enfoque novedoso y fructífero del Análisis clásico y de muchas otras ramas de las matemáticas. La clave de nuestro método la proporciona el análisis detallado de la relación entre los lenguajes matemáticos y las estructuras matemáticas que se encuentra en la base de la literatura contemporánea de la teoría de modelos. En 1973, el intuicionista Arend Heyting elogió curiosamente el análisis no estándar como "un importante modelo estándar de investigación matemática". (es)
- En mathématiques, et plus précisément en analyse, l'analyse non standard est un ensemble d'outils développés depuis 1960 afin de traiter la notion d'infiniment petit de manière rigoureuse. Pour cela, une nouvelle notion est introduite, celle d'objet standard (s'opposant à celle d'objet non standard), ou plus généralement de modèle standard ou de modèle non standard. Cela permet de présenter les principaux résultats de l'analyse sous une forme plus intuitive que celle exposée traditionnellement depuis le XIXe siècle. (fr)
- The history of calculus is fraught with philosophical debates about the meaning and logical validity of fluxions or infinitesimal numbers. The standard way to resolve these debates is to define the operations of calculus using epsilon–delta procedures rather than infinitesimals. Nonstandard analysis instead reformulates the calculus using a logically rigorous notion of infinitesimal numbers. Nonstandard analysis originated in the early 1960s by the mathematician Abraham Robinson. He wrote: ... the idea of infinitely small or infinitesimal quantities seems to appeal naturally to our intuition. At any rate, the use of infinitesimals was widespread during the formative stages of the Differential and Integral Calculus. As for the objection ... that the distance between two distinct real numbers cannot be infinitely small, Gottfried Wilhelm Leibniz argued that the theory of infinitesimals implies the introduction of ideal numbers which might be infinitely small or infinitely large compared with the real numbers but which were to possess the same properties as the latter. Robinson argued that this law of continuity of Leibniz's is a precursor of the transfer principle. Robinson continued: However, neither he nor his disciples and successors were able to give a rational development leading up to a system of this sort. As a result, the theory of infinitesimals gradually fell into disrepute and was replaced eventually by the classical theory of limits. Robinson continues: ... Leibniz's ideas can be fully vindicated and ... they lead to a novel and fruitful approach to classical Analysis and to many other branches of mathematics. The key to our method is provided by the detailed analysis of the relation between mathematical languages and mathematical structures which lies at the bottom of contemporary model theory. In 1973, intuitionist Arend Heyting praised nonstandard analysis as "a standard model of important mathematical research". (en)
- 비표준 해석학(非標準解析學, 영어: nonstandard analysis)은 초실수와 그 위의 함수에 대하여 연구하는 해석학의 한 분야이다. (ko)
- L'analisi non standard è una rifondazione dell'analisi matematica che recupera in parte l'impostazione (originale) di Leibniz e il concetto di infinitesimo. Fu introdotta nei primi anni '60 da Abraham Robinson, che nel 1966 pubblicò il fondamentale Non-standard Analysis. L'analisi non standard è stata oggetto di critiche da parte di vari autori, in particolare Errett Bishop, Paul Halmos e Alain Connes. (it)
- は、流率法あるいは無限小数の意味および論理的妥当性に関する哲学的論争を孕んでいる。これらの論争の標準的な解決策は、微分積分学における操作を無限小ではなくイプシロン-デルタ論法によって定義することである。超準解析（英: nonstandard analysis）は代わりに論理的に厳格な無限小数の概念を用いて微分積分学を定式化する。Nonstandard Analysisは直訳すれば非標準解析学となるが、齋藤正彦が超準解析という訳語を使い始めたため、そのように呼ばれるようになった。無限小解析（infinitesimal analysis）という言葉で超準解析を意味することもある。 超準解析は1960年代に数学者アブラハム・ロビンソンによって創始せられた。 彼は次のように記述している： [...] 無限に小さいあるいは無限小の量という概念は我々の直観に自然に訴えかけるように見える。何れにせよ、無限小の使用は、微分学・積分学の黎明期において、広く普及した。相異なる2つの実数の差が無限に小さくなることはないという [...] 異論に対して、ゴットフリート・ライプニッツは、無限小の理論は理想的数――それは実数と比較して無限に小さかったり無限に大きかったりするものであるが、後者（訳注：実数）と同じ性質を有する――の導入を含意するものであると主張した。 ロビンソンはこのライプニッツのはの先駆けであるとしている。ロビンソンは次のように続ける： しかしながら、彼も、彼の弟子たちや後継者たちも、このようなシステムに繋がる合理的な進展（訳注：そのような原理を合理化するもの）を得なかった。その結果、無限小の理論は徐々に評判を落としてゆき、最終的には古典的な極限の理論に取って代わられた。 ロビンソンはさらに次のように続ける： 本書では、ライプニッツのアイデアが完全に正当なものであり、古典解析やその他の多くの数学の分科に対する新奇で実りあるアプローチに繋がることを示す。我々の方法の鍵は、現代モデル理論の基盤にある、数学の言語と数学的構造との間の関係の詳細な分析によって齎される。 1973年、直観主義者アレン・ハイティングは超準解析を「重要な数学的研究の標準モデル」だと賞賛した。 (ja)
- Icke-standardanalys (ISA) är en metod att med hjälp av det hyperreella talsystemet, som tillåter oändligt små (infinitesimaler) och oändligt stora tal (infinita tal), behandla de problem som inom den klassiska analysen behandlas genom gränsvärden. Resonemang kring oändliga tal låg till grund för framväxten av den matematiska analysen under slutet av 1600-talet, men eftersom man saknade ett rigoröst ramverk för att hantera oändliga tal så ådrog sig resonemangen kritik, och så småningom ersattes de helt av de definitioner baserade på gränsvärden utgör grunden för dagens analys. Under 1960-talet utarbetade dock Abraham Robinson en metod för att rigoröst utvidga det reella talsystemet till ett så kallat hyperreellt talsystem som utöver de reella talen innehöll vad han kallade för icke-standardtal. Med hjälp av detta system och dess grundläggande egenskap att allt som var sant för reella tal också var sant för hyperreella tal, kan man behandla och explicit beräkna många problem som i det reella talsystemet skulle kräva implicita uttryck. Till exempel blir definitionen av derivata inte den klassiska utan helt enkelt där ε är en infinitesimal. Exempel: Eftersom talet 2x + ε bara skiljer sig oändligt lite från 2x säger man att de är ekvivalenta: Och att standarddelen av 2x + ε är lika med 2x: På så sätt kan man alltså i icke-standardanalysen aritmetiskt räkna fram derivatan, och andra komplicerade objekt, exempelvis integraler, utan att använda sig av gränsvärdesdefinitioner. (sv)
- Нестандартный анализ — альтернативный подход к обоснованию математического анализа, в котором бесконечно малые — не переменные величины, а особый вид чисел. В нестандартном анализе на современной основе реализуется восходящая к Лейбницу и его последователям идея о существовании бесконечно малых величин, отличных от нуля, — идея, которая в историческом развитии математического анализа была заменена понятием предела переменной величины. Недоверие к актуальным бесконечным величинам в математике объяснялось трудностями их формального обоснования. Любопытно, что представления об актуальных бесконечно больших и бесконечно малых величинах сохранялись в учебниках физики и других естественных наук, где часто встречаются фразы вроде «пусть — (бесконечно малый) элемент объёма…». Концепция Лейбница была реабилитирована, когда появилось первое современное изложение инфинитезимальных методов, которое дал Абрахам Робинсон в 1961 году. В отличие от традиционного анализа, опирающегося на вещественные и комплексные числа, нестандартный анализ имеет дело с более широким полем гипервещественных чисел, в котором не выполняется аксиома Архимеда. Нестандартный анализ возник как раздел математической логики, посвящённый приложению теории нестандартных моделей к исследованиям в традиционных областях математики: математическом анализе, теории функций, теории дифференциальных уравнений, топологии и др. Курт Гёдель писал в 1973 году: «Есть веские основания считать, что нестандартный анализ, в той или иной форме, станет анализом будущего». (ru)
- Análise não padronizada é um ramo da matemática desenvolvido desde 1960 para abordar o conceito de infinitesimal de maneira rigorosa. Para isso, um novo conceito é introduzido, o objeto padrão (ou padronizado) e objeto não padrão (ou não padronizado), ou mais precisamente modelo padrão ou teoria dos modelos. Pode-se, então, apresentar os principais resultados de análise matemática de uma forma mais intuitiva que a análise usual. (pt)
- 非標準分析（英語：Non-standard analysis），又可稱為實無限分析或超标准分析，是一個數學分析的一个分支，它用嚴格定義的无穷小量的概念來構建分析學。1973年，直觉主义者阿兰德·海廷称赞非标准分析是“重要数学研究的标准模型”。 (zh)
- Нестандартний аналіз — виник як розділ математичної логіки, присвячений додатком теорії нестандартних моделей до досліджень в традиційних галузях математики: математичному аналізі, теорії функцій, топології та ін. (uk)
|
| rdfs:comment
|
- Nichtstandardanalysis ist ein Gebiet der Mathematik, das sich mit nichtarchimedisch geordneten Körpern beschäftigt. Der wichtigste Unterschied zur normalen Analysis besteht darin, dass in der Nichtstandardanalysis auch unendlich große und unendlich kleine Zahlen vorkommen, die hyperreellen Zahlen. (de)
- En mathématiques, et plus précisément en analyse, l'analyse non standard est un ensemble d'outils développés depuis 1960 afin de traiter la notion d'infiniment petit de manière rigoureuse. Pour cela, une nouvelle notion est introduite, celle d'objet standard (s'opposant à celle d'objet non standard), ou plus généralement de modèle standard ou de modèle non standard. Cela permet de présenter les principaux résultats de l'analyse sous une forme plus intuitive que celle exposée traditionnellement depuis le XIXe siècle. (fr)
- 비표준 해석학(非標準解析學, 영어: nonstandard analysis)은 초실수와 그 위의 함수에 대하여 연구하는 해석학의 한 분야이다. (ko)
- L'analisi non standard è una rifondazione dell'analisi matematica che recupera in parte l'impostazione (originale) di Leibniz e il concetto di infinitesimo. Fu introdotta nei primi anni '60 da Abraham Robinson, che nel 1966 pubblicò il fondamentale Non-standard Analysis. L'analisi non standard è stata oggetto di critiche da parte di vari autori, in particolare Errett Bishop, Paul Halmos e Alain Connes. (it)
- Análise não padronizada é um ramo da matemática desenvolvido desde 1960 para abordar o conceito de infinitesimal de maneira rigorosa. Para isso, um novo conceito é introduzido, o objeto padrão (ou padronizado) e objeto não padrão (ou não padronizado), ou mais precisamente modelo padrão ou teoria dos modelos. Pode-se, então, apresentar os principais resultados de análise matemática de uma forma mais intuitiva que a análise usual. (pt)
- 非標準分析（英語：Non-standard analysis），又可稱為實無限分析或超标准分析，是一個數學分析的一个分支，它用嚴格定義的无穷小量的概念來構建分析學。1973年，直觉主义者阿兰德·海廷称赞非标准分析是“重要数学研究的标准模型”。 (zh)
- Нестандартний аналіз — виник як розділ математичної логіки, присвячений додатком теорії нестандартних моделей до досліджень в традиційних галузях математики: математичному аналізі, теорії функцій, топології та ін. (uk)
- La está repleta de debates filosóficos sobre el significado y la validez lógica de los números denominados fluxiones o infinitesimales. La forma estándar de resolver estos debates es definir las operaciones de cálculo utilizando procedimientos en lugar de infinitesimales. El análisis no estándar reformula el cálculo utilizando una noción lógicamente rigurosa de los números infinitesimales. La técnica del análisis no estándar se originó a principios de la década de 1960, siendo impulsada por el matemático Abraham Robinson, quien escribió: y por último, argumentó que: (es)
- The history of calculus is fraught with philosophical debates about the meaning and logical validity of fluxions or infinitesimal numbers. The standard way to resolve these debates is to define the operations of calculus using epsilon–delta procedures rather than infinitesimals. Nonstandard analysis instead reformulates the calculus using a logically rigorous notion of infinitesimal numbers. Nonstandard analysis originated in the early 1960s by the mathematician Abraham Robinson. He wrote: Robinson continues: (en)
- は、流率法あるいは無限小数の意味および論理的妥当性に関する哲学的論争を孕んでいる。これらの論争の標準的な解決策は、微分積分学における操作を無限小ではなくイプシロン-デルタ論法によって定義することである。超準解析（英: nonstandard analysis）は代わりに論理的に厳格な無限小数の概念を用いて微分積分学を定式化する。Nonstandard Analysisは直訳すれば非標準解析学となるが、齋藤正彦が超準解析という訳語を使い始めたため、そのように呼ばれるようになった。無限小解析（infinitesimal analysis）という言葉で超準解析を意味することもある。 超準解析は1960年代に数学者アブラハム・ロビンソンによって創始せられた。 彼は次のように記述している： [...] 無限に小さいあるいは無限小の量という概念は我々の直観に自然に訴えかけるように見える。何れにせよ、無限小の使用は、微分学・積分学の黎明期において、広く普及した。相異なる2つの実数の差が無限に小さくなることはないという [...] 異論に対して、ゴットフリート・ライプニッツは、無限小の理論は理想的数――それは実数と比較して無限に小さかったり無限に大きかったりするものであるが、後者（訳注：実数）と同じ性質を有する――の導入を含意するものであると主張した。 ロビンソンはさらに次のように続ける： (ja)
- Нестандартный анализ — альтернативный подход к обоснованию математического анализа, в котором бесконечно малые — не переменные величины, а особый вид чисел. В нестандартном анализе на современной основе реализуется восходящая к Лейбницу и его последователям идея о существовании бесконечно малых величин, отличных от нуля, — идея, которая в историческом развитии математического анализа была заменена понятием предела переменной величины. Недоверие к актуальным бесконечным величинам в математике объяснялось трудностями их формального обоснования. Любопытно, что представления об актуальных бесконечно больших и бесконечно малых величинах сохранялись в учебниках физики и других естественных наук, где часто встречаются фразы вроде «пусть — (бесконечно малый) элемент объёма…». (ru)
- Icke-standardanalys (ISA) är en metod att med hjälp av det hyperreella talsystemet, som tillåter oändligt små (infinitesimaler) och oändligt stora tal (infinita tal), behandla de problem som inom den klassiska analysen behandlas genom gränsvärden. Resonemang kring oändliga tal låg till grund för framväxten av den matematiska analysen under slutet av 1600-talet, men eftersom man saknade ett rigoröst ramverk för att hantera oändliga tal så ådrog sig resonemangen kritik, och så småningom ersattes de helt av de definitioner baserade på gränsvärden utgör grunden för dagens analys. utan helt enkelt (sv)
|
