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- Als Ortsraum wird in der Physik der Raum bezeichnet, der zur Beschreibung des Ortsfreiheitsgrads eines physikalischen Systems (z. B. ein Teilchen, mehrere Teilchen, Feld, Körper, Kristallgitter) benutzt wird. Im Falle eines einzigen Teilchens oder eines Felds ist der Ortsraum der gewöhnliche dreidimensionale Euklidische Raum, der mit dem Raum übereinstimmt, den wir Menschen mit unseren Sinnen erfahren und in dem wir uns fortbewegen. Im Falle von mehreren Teilchen, einem Körper oder einem Kristallgitter kann es sich auch um höherdimensionale euklidische Räume handeln. (de)
- En física y geometría, existen dos espacios vectoriales muy relacionados, habitualmente tridimensionales, aunque en general pueden tener cualquier dimensión. El espacio de posiciones (también llamado espacio real o espacio coordenado) es el conjunto de todos los vectores de posición r en el espacio, y tiene dimensiones de longitud. Un vector de posición define un punto en el espacio. Si el vector de posición de una partícula puntual varía con el tiempo describirá un camino, la trayectoria de una partícula. El espacio de momentos es el conjunto de todos los vectores momento p que puede tener un sistema físico. El vector momento de una partícula corresponde a su movimiento, con unidades de [masa][longitud][tiempo]−1. Matemáticamente, la dualidad entre posición y momento es un ejemplo de dualidad de Pontryagin. En particular, si una función se da en espacio de posiciones, f(r), entonces su transformada de Fourier resulta la función en el espacio de momentos, φ(p). Análogamente, la de una función del espacio de momentos es una función del espacio de posiciones. Estas cantidades e ideas trascienden toda la física clásica y cuántica, y un sistema físico se puede describir usando tanto las posiciones de las partículas que lo constituyen como sus momentos, ambas formulaciones proveen equivalentemente la misma información sobre el sistema considerado. Es útil definir otra cantidad en el contexto de ondas. El vector de onda k (o simplemente «k-vector») tiene dimensiones de longitud recíproca, haciéndolo un análogo de la frecuencia angular ω, que tiene dimensiones de tiempo recíproco. El conjunto de todos los vectores de onda es el k-espacio. Habitualmente r es más intuitivo y simple que k, aunque en algunos casos ocurre al contrario, como en física del estado sólido. La mecánica cuántica provee dos ejemplos fundamentales de la dualidad entre la posición y el momento: el principio de indeterminación de Heisenberg ΔxΔp ≥ ħ/2, que afirma que no se puede conocer simultáneamente la posición y el momento con precisión arbitraria, y la relación de De Broglie p = ħk que afirma que el momento y el vector de onda de una partícula libre son proporcionales entre sí. En este contexto, cuando no existe ambigüedad, los términos «momento» y «vector de onda» se usan indistintamente. Sin embargo, la relación de De Broglie no es cierta en un cristal. (es)
- En physique et en géométrie, il existe deux espaces vectoriels étroitement liés, souvent tridimensionnels, mais en général pouvant être de toute dimension finie. L'espace des positions (également espace réel ou espace des coordonnées) est l'ensemble de tous les vecteurs de position dans l'espace, qui ont les dimensions d'une longueur ; un vecteur de position définit un point dans l'espace (si le vecteur position d'une particule ponctuelle varie avec le temps, il tracera un chemin, la trajectoire d'une particule). L'espace des moments (ou des impulsions) est l'ensemble de tous les vecteurs impulsion d'un système physique ; le vecteur impulsion a les dimensions d'un produit d'une masse par une vitesse, il s'exprime en unités de [masse][longueur]/[temps]. (fr)
- In physics and geometry, there are two closely related vector spaces, usually three-dimensional but in general of any finite dimension.Position space (also real space or coordinate space) is the set of all position vectors r in space, and has dimensions of length; a position vector defines a point in space. (If the position vector of a point particle varies with time, it will trace out a path, the trajectory of a particle.) Momentum space is the set of all momentum vectors p a physical system can have; the momentum vector of a particle corresponds to its motion, with units of [mass][length][time]−1. Mathematically, the duality between position and momentum is an example of Pontryagin duality. In particular, if a function is given in position space, f(r), then its Fourier transform obtains the function in momentum space, φ(p). Conversely, the inverse Fourier transform of a momentum space function is a position space function. These quantities and ideas transcend all of classical and quantum physics, and a physical system can be described using either the positions of the constituent particles, or their momenta, both formulations equivalently provide the same information about the system in consideration. Another quantity is useful to define in the context of waves. The wave vector k (or simply "k-vector") has dimensions of reciprocal length, making it an analogue of angular frequency ω which has dimensions of reciprocal time. The set of all wave vectors is k-space. Usually r is more intuitive and simpler than k, though the converse can also be true, such as in solid-state physics. Quantum mechanics provides two fundamental examples of the duality between position and momentum, the Heisenberg uncertainty principle ΔxΔp ≥ ħ/2 stating that position and momentum cannot be simultaneously known to arbitrary precision, and the de Broglie relation p = ħk which states the momentum and wavevector of a free particle are proportional to each other. In this context, when it is unambiguous, the terms "momentum" and "wavevector" are used interchangeably. However, the de Broglie relation is not true in a crystal. (en)
- 物理学や幾何学では、密接に関連した2つのベクトル空間がある。これは通常は3次元であるが、一般的にはどんな有限次元の空間でもよい。 位置空間（いちくうかん、英: position space）、あるいは実空間（じつくうかん、英: real space）ないし座標空間（ざひょうくうかん、英: coordinate space）などとも呼ばれる、は空間の全ての位置ベクトル r の集合で、長さの次元を持つ。位置ベクトルは空間中の場所を定義する。ある位置ベクトルは位置空間上の一つの点に対応づけられる。点粒子の運動は時間を変数として位置ベクトルを与える関数によって表され、関数によって与えられる位置ベクトル全体の集合は、粒子の描く軌道に対応づけられる。 運動量空間（うんどうりょうくうかん、英: momentum space）は、系が持ちうる全ての運動量ベクトル p の集合である。粒子の運動量ベクトルは、粒子の運動に対応し、[質量][長さ][時間]−1の次元を持つ。 数学的には、位置と運動量の双対性はポントリャーギン双対性の1つの例である。特に位置空間で関数 f(r) が与えられたとき、そのフーリエ変換は運動量空間における関数 φ(p) となる。逆に、運動量空間の関数を逆変換したものは位置空間の関数となる。 これらの量や考えは古典物理学と量子物理学を含むすべての（微視的）理論に通底するものである。系は構成粒子の位置または運動量を用いて記述でき、どちらの形式でも考えている系について等価な情報を与える。 位置と運動量の他に、波動に対して定義すると有用な量がある。波数ベクトル k（または単に"kベクトル"とも呼ばれる）は長さの逆数の次元を持ち、時間の逆数の次元を持つ角周波数 ω との類似性を持つ。全ての波数ベクトルの集合をk空間という。通常、位置 r は波数 k よりも直観的にわかりやすく単純であるが、固体物理学などではその逆のことが言える。 量子力学における位置と運動量の双対性について、基礎的な結果として（ハイゼンベルクの）不確定性原理とが挙げられる。不確定性原理 ΔxΔp ≥ ħ/2 は、位置と運動量を同時に正確に知ることはできないことを述べている（Δx, Δp はそれぞれ位置と運動量の不確定性を表す。ħ は換算プランク定数である）。ド・ブロイの関係式 p = ħk は、自由粒子の運動量と波数は互いに比例関係にあることを述べている。ド・ブロイの関係を念頭に置き、文脈に応じて「運動量」と「波数」という言葉を使い分けることがある。しかしド・ブロイの関係は結晶中において成り立たない。 (ja)
- Обернений простір — тривимірний векторний простір простір, векторами якого є хвильові вектори. Початок координат в оберненому просторі відповідає нульовому хвильовому вектору, тобто однорідному просторовому розподілу певної величини. Малі значення векторів оберненого простору відповідають довгим хвилям, великі — коротким. При описі систем із трансляційною симетрією в оберненому просторі можна ввести обернену ґратку і розбити його на зони Брілюена. (uk)
- 位置空间与动量空间是物理学中一对联系紧密的矢量空间。 位置空间（或称实空间、坐标空间）是空间中所有物体的位置向量r的集合。这个空间通常是三维的。位置向量定义了空间中的一个点。如果位置向量随时间会发生变化的话，那么它就可以描绘出一个路径或一个面，如粒子的运动轨迹。 动量空间是空间中所有物体的动量向量的集合。这个空间通常也是三维的。一个物体的动量可以反映它的运动情况。无论在经典力学还是在量子力学中，动量都是非常重要的一个概念。然而，依据量子力学的德布罗意关系，p = ħk，一个自由粒子的动量正比于波矢。系统的所有波矢的集合构成波矢空间。在不严格区分动量与波矢时，这两个概念可以混用。但在晶体中，德布罗意关系并不成立。 位置与动量间的对偶性是庞特里亚金对偶性的一个例子。 位矢r的量纲为[L]，动量p的量纲为[M][L][T]−1，波矢k的量纲为[L]−1，因而类比于角频率ω之于时间t，k可以视为系统空间上的频率。一个系统的物理现象既可以用位矢描述，也可以用动量描述。两种描述方式所提供的系统信息是等价的。通常利用r描述更为直观，但在固体物理学中，k更为常用。 (zh)
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- Als Ortsraum wird in der Physik der Raum bezeichnet, der zur Beschreibung des Ortsfreiheitsgrads eines physikalischen Systems (z. B. ein Teilchen, mehrere Teilchen, Feld, Körper, Kristallgitter) benutzt wird. Im Falle eines einzigen Teilchens oder eines Felds ist der Ortsraum der gewöhnliche dreidimensionale Euklidische Raum, der mit dem Raum übereinstimmt, den wir Menschen mit unseren Sinnen erfahren und in dem wir uns fortbewegen. Im Falle von mehreren Teilchen, einem Körper oder einem Kristallgitter kann es sich auch um höherdimensionale euklidische Räume handeln. (de)
- En physique et en géométrie, il existe deux espaces vectoriels étroitement liés, souvent tridimensionnels, mais en général pouvant être de toute dimension finie. L'espace des positions (également espace réel ou espace des coordonnées) est l'ensemble de tous les vecteurs de position dans l'espace, qui ont les dimensions d'une longueur ; un vecteur de position définit un point dans l'espace (si le vecteur position d'une particule ponctuelle varie avec le temps, il tracera un chemin, la trajectoire d'une particule). L'espace des moments (ou des impulsions) est l'ensemble de tous les vecteurs impulsion d'un système physique ; le vecteur impulsion a les dimensions d'un produit d'une masse par une vitesse, il s'exprime en unités de [masse][longueur]/[temps]. (fr)
- Обернений простір — тривимірний векторний простір простір, векторами якого є хвильові вектори. Початок координат в оберненому просторі відповідає нульовому хвильовому вектору, тобто однорідному просторовому розподілу певної величини. Малі значення векторів оберненого простору відповідають довгим хвилям, великі — коротким. При описі систем із трансляційною симетрією в оберненому просторі можна ввести обернену ґратку і розбити його на зони Брілюена. (uk)
- 位置空间与动量空间是物理学中一对联系紧密的矢量空间。 位置空间（或称实空间、坐标空间）是空间中所有物体的位置向量r的集合。这个空间通常是三维的。位置向量定义了空间中的一个点。如果位置向量随时间会发生变化的话，那么它就可以描绘出一个路径或一个面，如粒子的运动轨迹。 动量空间是空间中所有物体的动量向量的集合。这个空间通常也是三维的。一个物体的动量可以反映它的运动情况。无论在经典力学还是在量子力学中，动量都是非常重要的一个概念。然而，依据量子力学的德布罗意关系，p = ħk，一个自由粒子的动量正比于波矢。系统的所有波矢的集合构成波矢空间。在不严格区分动量与波矢时，这两个概念可以混用。但在晶体中，德布罗意关系并不成立。 位置与动量间的对偶性是庞特里亚金对偶性的一个例子。 位矢r的量纲为[L]，动量p的量纲为[M][L][T]−1，波矢k的量纲为[L]−1，因而类比于角频率ω之于时间t，k可以视为系统空间上的频率。一个系统的物理现象既可以用位矢描述，也可以用动量描述。两种描述方式所提供的系统信息是等价的。通常利用r描述更为直观，但在固体物理学中，k更为常用。 (zh)
- En física y geometría, existen dos espacios vectoriales muy relacionados, habitualmente tridimensionales, aunque en general pueden tener cualquier dimensión. El espacio de posiciones (también llamado espacio real o espacio coordenado) es el conjunto de todos los vectores de posición r en el espacio, y tiene dimensiones de longitud. Un vector de posición define un punto en el espacio. Si el vector de posición de una partícula puntual varía con el tiempo describirá un camino, la trayectoria de una partícula. El espacio de momentos es el conjunto de todos los vectores momento p que puede tener un sistema físico. El vector momento de una partícula corresponde a su movimiento, con unidades de [masa][longitud][tiempo]−1. (es)
- In physics and geometry, there are two closely related vector spaces, usually three-dimensional but in general of any finite dimension.Position space (also real space or coordinate space) is the set of all position vectors r in space, and has dimensions of length; a position vector defines a point in space. (If the position vector of a point particle varies with time, it will trace out a path, the trajectory of a particle.) Momentum space is the set of all momentum vectors p a physical system can have; the momentum vector of a particle corresponds to its motion, with units of [mass][length][time]−1. (en)
- 物理学や幾何学では、密接に関連した2つのベクトル空間がある。これは通常は3次元であるが、一般的にはどんな有限次元の空間でもよい。 位置空間（いちくうかん、英: position space）、あるいは実空間（じつくうかん、英: real space）ないし座標空間（ざひょうくうかん、英: coordinate space）などとも呼ばれる、は空間の全ての位置ベクトル r の集合で、長さの次元を持つ。位置ベクトルは空間中の場所を定義する。ある位置ベクトルは位置空間上の一つの点に対応づけられる。点粒子の運動は時間を変数として位置ベクトルを与える関数によって表され、関数によって与えられる位置ベクトル全体の集合は、粒子の描く軌道に対応づけられる。 運動量空間（うんどうりょうくうかん、英: momentum space）は、系が持ちうる全ての運動量ベクトル p の集合である。粒子の運動量ベクトルは、粒子の運動に対応し、[質量][長さ][時間]−1の次元を持つ。 数学的には、位置と運動量の双対性はポントリャーギン双対性の1つの例である。特に位置空間で関数 f(r) が与えられたとき、そのフーリエ変換は運動量空間における関数 φ(p) となる。逆に、運動量空間の関数を逆変換したものは位置空間の関数となる。 (ja)
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