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- In group theory, the correspondence theorem (also the lattice theorem, and variously and ambiguously the third and fourth isomorphism theorem) states that if is a normal subgroup of a group , then there exists a bijection from the set of all subgroups of containing , onto the set of all subgroups of the quotient group . The structure of the subgroups of is exactly the same as the structure of the subgroups of containing , with collapsed to the identity element. Specifically, if G is a group,, a normal subgroup of G,, the set of all subgroups A of G that contain N, and, the set of all subgroups of G/N, then there is a bijective map such that for all One further has that if A and B are in then
* if and only if ;
* if then , where is the index of A in B (the number of cosets bA of A in B);
* where is the subgroup of generated by
* , and
* is a normal subgroup of if and only if is a normal subgroup of . This list is far from exhaustive. In fact, most properties of subgroups are preserved in their images under the bijection onto subgroups of a quotient group. More generally, there is a monotone Galois connection between the lattice of subgroups of (not necessarily containing ) and the lattice of subgroups of : the lower adjoint of a subgroup of is given by and the upper adjoint of a subgroup of is a given by . The associated closure operator on subgroups of is ; the associated kernel operator on subgroups of is the identity. A proof of the correspondence theorem can be found here. Similar results hold for rings, modules, vector spaces, and algebras. (en)
- Der Korrespondenzsatz beschreibt im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie den Sachverhalt, dass die Untergruppen in einer Faktorgruppe genau denjenigen Untergruppen der Ausgangsgruppe entsprechen, die den Normalteiler umfassen. Die Bezeichnung Korrespondenzsatz wird, wenn auch seltener, für ähnliche Beziehungen zwischen Unterstrukturen anderer algebraischer Strukturen verwendet. (de)
- En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, le théorème de correspondance (énoncé de façon plus ou moins complète selon les auteurs) dit que si G est un groupe et H un sous-groupe normal de G, alors
* K↦K/H définit une bijection f de l'ensemble des sous-groupes de G contenant H sur l'ensemble des sous-groupes de G/H;
* cette bijection applique les sous-groupes normaux de G contenant H sur les sous-groupes normaux de G/H ;
* si les ensembles de départ et d'arrivée de f sont ordonnés par inclusion, f est un isomorphisme d'ensembles ordonnés (autrement dit, si K et L sont deux sous-groupes de G contenant H, la relation K≤L a lieu si et seulement si K/H ≤ L/H). Certains auteurs ajoutent que si A et B sont deux sous-groupes de G contenant H tels que A≤B, alors
* l'indice de A dans B est égal à l'indice de f(A) dans f(B) ;
* A est normal dans B si et seulement si f(A) est normal dans f(B) ; dans ce cas, B/A est isomorphe à f(B)/f(A) (ce qui est le troisième théorème d'isomorphisme). (fr)
- 군론이라는 수학의 분야에서, 대응 정리는, 때때로 네 번째 동형 정리 또는 격자 정리라 불리는데, 이는 이 군 의 정규부분군이면, 을 포함하는 의 모든 부분군 의 집합에서 상군 의 부분군 전체의 집합으로의 전단사함수가 존재함을 말한다. 의 부분군의 구조는 을 포함하는 의 부분군의 구조와 정확히 같다. 의 부분군의 구조는 정확히 을 항등원으로 붕괴하는 을 포함하는 의 부분군의 구조와 같다. 구체적으로, 만일 G가 군이고,N이 G의 정규부분군이며가 를 만족하는 G의 모든 부분군 A의 집합이고이 G/N의 모든 부분군의 집합이면, 다음을 만족하는 전단사 사상 가 존재한다. 모든 에 대하여 더욱이 A와 B가 의 원소이고, A' = A/N, B' = B/N 일 때,
* 일 필요충분조건은 ;
* 만일 이면 , 여기서 는 B에서의 A의 지수이다. (B에서의 A의 잉여류 bA의 개수);
* 여기서 는 에 의하여 생성되는 의 부분군
*
* 가 의 정규부분군일 필요충분조건은 이 의 정규부분군인 것이다. 이 목록은 완전하지 않다. 사실, 부분군의 대다수의 성질은 상군의 부분군으로의 전단사 아래 그들의 상에서 보존된다. 더 일반적으로, (반드시 을 포함할 필요는 없다)와 의 부분군 격자도 사이에는 단조 갈루아 연결 가 존재한다.: 의 부분군 의 하위 딸림은 으로 주어지고 의 부분군 의 상위 딸림은 로 주어진다. 의 부분군에서 관련된 폐포 연산자는 ; 의 부분군에서 관련된 핵 연산자는 항등원이다. 유사한 결과가 환, 가군, 벡터 공간, 대수에서도 성립한다. (ko)
- 数学の群論における対応定理（たいおうていり、英: correspondence theorem, 独: Korrespondenzsatz）は正規部分群 による商群 G/N の部分群がちょうど群 G の N を含む部分群と対応していることを述べている。対応定理という名前は他の代数的構造に対する類似の関係にも用いられることもある。束定理 (lattice theorem) または第四同型定理ともいう。 (ja)
- Twierdzenie o odpowiedniości (znane też jako czwarte twierdzenie o izomorfizmie lub twierdzenie o kracie) – twierdzenie teorii grup opisujące wzajemną odpowiedniość podgrup ustalonej grupy zawierających podgrupę normalną z podgrupami grupy ilorazowej struktura podgrup grupy jest tożsama ze strukturą podgrup grupy zawierających (zob. ). Niech będzie homomorfizmem grup na Wówczas istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między zbiorem wszystkich podgrup grupy zawierających jądro oraz zbioru wszystkich podgrup grupy – odpowiedniość ta zachowuje zawieranie. Podgrupy normalne w zawierające odpowiadają podgrupom normalnym w i na odwrót. Grupy ilorazowe odpowiadających podgrup normalnych są izomorficzne. W ten sposób twierdzenie opisuje (w istocie: odpowiedniość Galois) między kratą podgrup grupy a kratą podgrup grupy Podobne wyniki są prawdziwe dla pierścieni, modułów, przestrzeni liniowych oraz algebr nad ciałami. (pl)
- Нехай це нормальна підгрупа і нехай буде підгрупою , що містить Тоді відображення підгрупи що містять підгрупи — бієкція. Також, це нормальна підгрупа тоді й лише тоді, якщо це нормальна підгрупа (uk)
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- Der Korrespondenzsatz beschreibt im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie den Sachverhalt, dass die Untergruppen in einer Faktorgruppe genau denjenigen Untergruppen der Ausgangsgruppe entsprechen, die den Normalteiler umfassen. Die Bezeichnung Korrespondenzsatz wird, wenn auch seltener, für ähnliche Beziehungen zwischen Unterstrukturen anderer algebraischer Strukturen verwendet. (de)
- 数学の群論における対応定理（たいおうていり、英: correspondence theorem, 独: Korrespondenzsatz）は正規部分群 による商群 G/N の部分群がちょうど群 G の N を含む部分群と対応していることを述べている。対応定理という名前は他の代数的構造に対する類似の関係にも用いられることもある。束定理 (lattice theorem) または第四同型定理ともいう。 (ja)
- Нехай це нормальна підгрупа і нехай буде підгрупою , що містить Тоді відображення підгрупи що містять підгрупи — бієкція. Також, це нормальна підгрупа тоді й лише тоді, якщо це нормальна підгрупа (uk)
- In group theory, the correspondence theorem (also the lattice theorem, and variously and ambiguously the third and fourth isomorphism theorem) states that if is a normal subgroup of a group , then there exists a bijection from the set of all subgroups of containing , onto the set of all subgroups of the quotient group . The structure of the subgroups of is exactly the same as the structure of the subgroups of containing , with collapsed to the identity element. Specifically, if then there is a bijective map such that for all One further has that if A and B are in then (en)
- En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, le théorème de correspondance (énoncé de façon plus ou moins complète selon les auteurs) dit que si G est un groupe et H un sous-groupe normal de G, alors Certains auteurs ajoutent que si A et B sont deux sous-groupes de G contenant H tels que A≤B, alors
* l'indice de A dans B est égal à l'indice de f(A) dans f(B) ;
* A est normal dans B si et seulement si f(A) est normal dans f(B) ; dans ce cas, B/A est isomorphe à f(B)/f(A) (ce qui est le troisième théorème d'isomorphisme). (fr)
- 군론이라는 수학의 분야에서, 대응 정리는, 때때로 네 번째 동형 정리 또는 격자 정리라 불리는데, 이는 이 군 의 정규부분군이면, 을 포함하는 의 모든 부분군 의 집합에서 상군 의 부분군 전체의 집합으로의 전단사함수가 존재함을 말한다. 의 부분군의 구조는 을 포함하는 의 부분군의 구조와 정확히 같다. 의 부분군의 구조는 정확히 을 항등원으로 붕괴하는 을 포함하는 의 부분군의 구조와 같다. 구체적으로, 만일 G가 군이고,N이 G의 정규부분군이며가 를 만족하는 G의 모든 부분군 A의 집합이고이 G/N의 모든 부분군의 집합이면, 다음을 만족하는 전단사 사상 가 존재한다. 모든 에 대하여 더욱이 A와 B가 의 원소이고, A' = A/N, B' = B/N 일 때,
* 일 필요충분조건은 ;
* 만일 이면 , 여기서 는 B에서의 A의 지수이다. (B에서의 A의 잉여류 bA의 개수);
* 여기서 는 에 의하여 생성되는 의 부분군
*
* 가 의 정규부분군일 필요충분조건은 이 의 정규부분군인 것이다. 이 목록은 완전하지 않다. 사실, 부분군의 대다수의 성질은 상군의 부분군으로의 전단사 아래 그들의 상에서 보존된다. (ko)
- Twierdzenie o odpowiedniości (znane też jako czwarte twierdzenie o izomorfizmie lub twierdzenie o kracie) – twierdzenie teorii grup opisujące wzajemną odpowiedniość podgrup ustalonej grupy zawierających podgrupę normalną z podgrupami grupy ilorazowej struktura podgrup grupy jest tożsama ze strukturą podgrup grupy zawierających (zob. ). (pl)
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