| dbo:abstract
|
- The direct sum is an operation between structures in abstract algebra, a branch of mathematics. It is defined differently, but analogously, for different kinds of structures. To see how the direct sum is used in abstract algebra, consider a more elementary kind of structure, the abelian group. The direct sum of two abelian groups and is another abelian group consisting of the ordered pairs where and . To add ordered pairs, we define the sum to be ; in other words addition is defined coordinate-wise. For example, the direct sum , where is real coordinate space, is the Cartesian plane, . A similar process can be used to form the direct sum of two vector spaces or two modules. We can also form direct sums with any finite number of summands, for example , provided and are the same kinds of algebraic structures (e.g., all abelian groups, or all vector spaces). This relies on the fact that the direct sum is associative up to isomorphism. That is, for any algebraic structures , , and of the same kind. The direct sum is also commutative up to isomorphism, i.e. for any algebraic structures and of the same kind. The direct sum of finitely many abelian groups, vector spaces, or modules is canonically isomorphic to the corresponding direct product. This is false, however, for some algebraic objects, like nonabelian groups. In the case where infinitely many objects are combined, the direct sum and direct product are not isomorphic, even for abelian groups, vector spaces, or modules. As an example, consider the direct sum and direct product of (countably) infinitely many copies of the integers. An element in the direct product is an infinite sequence, such as (1,2,3,...) but in the direct sum, there is a requirement that all but finitely many coordinates be zero, so the sequence (1,2,3,...) would be an element of the direct product but not of the direct sum, while (1,2,0,0,0,...) would be an element of both. Often, if a + sign is used, all but finitely many coordinates must be zero, while if some form of multiplication is used, all but finitely many coordinates must be 1. In more technical language, if the summands are , the direct sum is defined to be the set of tuples with such that for all but finitely many i. The direct sum is contained in the direct product , but is strictly smaller when the index set is infinite, because an element of the direct product can have infinitely many nonzero coordinates. (en)
- Dalam aljabar abstrak, jumlah langsung adalah salah satu operasi pada himpunan. Sebagai contoh, jumlah langsung , dimana adalah , adalah , . Untuk melihat bagaimana penjumlahan langsung digunakan dalam aljabar abstrak, pertimbangkan struktur yang lebih mendasar dalam aljabar abstrak, grup abelian. Jumlah langsung dari dua grup abelian and adalah grup abelian lainnya terdiri dari urutan pasangan , dimana dan . (Secara membingungkan, pasangan terurut ini juga disebut hasilkali kartesian dari dua grup.) Untuk menambahkan pasangan terurut, kita definisikan penjumlahan sebagai ; dengan kata lain, penjumlahan didefinisikan secara koordinat. Proses serupa dapat digunakan untuk membentuk jumlah langsung dari dua struktur aljabar, seperti gelanggang, modul, dan ruang vektor. Kita juga dapat membentuk penjumlahan langsung dengan jumlah penjumlahan yang terbatas, misalnya , diberikan dan adalah jenis struktur aljabar yang sama (yaitu, semua grup, gelanggang, ruang vektor, dll.). Ini bergantung pada fakta bahwa penjumlahan langsungnya adalah asosiatif isomorfisme, untuk struktur aljabar , , dan dari jenis yang sama. Jumlah langsung juga komutatif hingga isomorfisme, yaitu . untuk struktur aljabar apa pun dan dari jenis yang sama. Dalam kasus dua penjumlahan, atau suatu jumlah terhingga, jumlah langsungnya sama dengan . Jika operasi aritmetika ditulis sebagai , seperti biasanya di grup abelian, lalu kita pakai penjumlahan langsung. Jika operasi aritmetika ditulis sebagai × atau ⋅ atau menggunakan penjajaran (seperti dalam ekspresi ) kita menggunakan hasilkali langsung. Dalam kasus di mana banyak objek digabungkan, kebanyakan penulis membuat perbedaan antara jumlah langsung dan hasilkali langsung. Sebagai contoh, perhatikan jumlah langsung dan hasilkali langsung dari tak hingga. Unsur dalam hasilkali langsung adalah urutan tak hingga, seperti tetapi dalam jumlah langsung, akan ada persyaratan bahwa semua kecuali banyak koordinat menjadi nol, sehingga urutan akan menjadi elemen hasilkali langsung tetapi bukan dari jumlah langsung, sementara akan menjadi elemen keduanya. Secara lebih umum, jika tanda + digunakan, semua kecuali banyak koordinat pasti harus nol, sedangkan jika beberapa bentuk perkalian digunakan, semua kecuali banyak koordinat pasti harus 1. Dalam bahasa yang lebih teknis, jika ringkasannya adalah , jumlah langsung didefinisikan sebagai himpunan tupel dengan seperti yang untuk semua kecuali i . Jumlah langsung terkandung dalam hasilkali langsung , tetapi biasanya sangat lebih kecil jika tidak terbatas, karena hasilkali langsung tidak memiliki batasan bahwa semua kecuali banyak koordinat harus nol. (in)
- 数学における直和（ちょくわ、英: direct sum）は、既知の数学的対象を「貼り合わせ」て同じ種類の対象を新たに作り出す操作の一種で、歴史的経緯から対象によってやや異なる意味で用いられるが、大雑把には集合論的、代数学的、圏論的用法に大別できる。またいずれの用法においても、直和を取る対象が全て一つの大きな対象の部分となっている場合（内部直和、構造的直和）と、そのようなものを仮定しない場合（外部直和、構成的直和）を区別することができる（場合によってはそれらの記述は見かけ上大きく異なる）が、それらの間に自然な同型があるため理論上区別して扱わないこともある。そのような自然同型は、しばしば圏論的直和（あるいは双積）の普遍性によって捉えることができる。 直和を表すのに用いられる記号には などがある。 (ja)
- Suma prosta przestrzeni liniowych – mówimy, że przestrzeń liniowa jest przedstawiona w postaci sumy prostej jej podprzestrzeni liniowych (gdzie jest pewnym zbiorem indeksów), gdy każdy element może być jednoznacznie przedstawiony w postaci poniższej sumy: dla Piszemy wówczas: bądź skrótowo gdzie Podział danej przestrzeni na sumy proste pozwala klasyfikować jej elementy – jeżeli dany wektor należy do podprzestrzeni to wyraża się całkowicie za pomocą wektorów bazy tej podprzestrzeni. Podział przestrzeni na podprzestrzenie tworzące sumę prostą przestrzeni nie jest unikalny – istnieje zazwyczaj wiele możliwych podziałów przestrzeni liniowej na sumy proste. (pl)
|
| rdfs:comment
|
- 数学における直和（ちょくわ、英: direct sum）は、既知の数学的対象を「貼り合わせ」て同じ種類の対象を新たに作り出す操作の一種で、歴史的経緯から対象によってやや異なる意味で用いられるが、大雑把には集合論的、代数学的、圏論的用法に大別できる。またいずれの用法においても、直和を取る対象が全て一つの大きな対象の部分となっている場合（内部直和、構造的直和）と、そのようなものを仮定しない場合（外部直和、構成的直和）を区別することができる（場合によってはそれらの記述は見かけ上大きく異なる）が、それらの間に自然な同型があるため理論上区別して扱わないこともある。そのような自然同型は、しばしば圏論的直和（あるいは双積）の普遍性によって捉えることができる。 直和を表すのに用いられる記号には などがある。 (ja)
- The direct sum is an operation between structures in abstract algebra, a branch of mathematics. It is defined differently, but analogously, for different kinds of structures. To see how the direct sum is used in abstract algebra, consider a more elementary kind of structure, the abelian group. The direct sum of two abelian groups and is another abelian group consisting of the ordered pairs where and . To add ordered pairs, we define the sum to be ; in other words addition is defined coordinate-wise. For example, the direct sum , where is real coordinate space, is the Cartesian plane, . A similar process can be used to form the direct sum of two vector spaces or two modules. (en)
- Dalam aljabar abstrak, jumlah langsung adalah salah satu operasi pada himpunan. Sebagai contoh, jumlah langsung , dimana adalah , adalah , . Untuk melihat bagaimana penjumlahan langsung digunakan dalam aljabar abstrak, pertimbangkan struktur yang lebih mendasar dalam aljabar abstrak, grup abelian. Jumlah langsung dari dua grup abelian and adalah grup abelian lainnya terdiri dari urutan pasangan , dimana dan . (Secara membingungkan, pasangan terurut ini juga disebut hasilkali kartesian dari dua grup.) Untuk menambahkan pasangan terurut, kita definisikan penjumlahan sebagai ; dengan kata lain, penjumlahan didefinisikan secara koordinat. Proses serupa dapat digunakan untuk membentuk jumlah langsung dari dua struktur aljabar, seperti gelanggang, modul, dan ruang vektor. (in)
- Suma prosta przestrzeni liniowych – mówimy, że przestrzeń liniowa jest przedstawiona w postaci sumy prostej jej podprzestrzeni liniowych (gdzie jest pewnym zbiorem indeksów), gdy każdy element może być jednoznacznie przedstawiony w postaci poniższej sumy: dla Piszemy wówczas: bądź skrótowo gdzie Podział danej przestrzeni na sumy proste pozwala klasyfikować jej elementy – jeżeli dany wektor należy do podprzestrzeni to wyraża się całkowicie za pomocą wektorów bazy tej podprzestrzeni. (pl)
|
