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- Modular representation theory is a branch of mathematics, and is the part of representation theory that studies linear representations of finite groups over a field K of positive characteristic p, necessarily a prime number. As well as having applications to group theory, modular representations arise naturally in other branches of mathematics, such as algebraic geometry, coding theory, combinatorics and number theory. Within finite group theory, character-theoretic results proved by Richard Brauer using modular representation theory played an important role in early progress towards the classification of finite simple groups, especially for simple groups whose characterization was not amenable to purely group-theoretic methods because their Sylow 2-subgroups were too small in an appropriate sense. Also, a general result on embedding of elements of order 2 in finite groups called the Z* theorem, proved by George Glauberman using the theory developed by Brauer, was particularly useful in the classification program. If the characteristic p of K does not divide the order |G|, then modular representations are completely reducible, as with ordinary (characteristic 0) representations, by virtue of Maschke's theorem. In the other case, when |G| ≡ 0 mod p, the process of averaging over the group needed to prove Maschke's theorem breaks down, and representations need not be completely reducible. Much of the discussion below implicitly assumes that the field K is sufficiently large (for example, K algebraically closed suffices), otherwise some statements need refinement. (en)
- 数学の一分野としてのモジュラー表現論（モジュラーひょうげんろん、英: modular representation theory）は表現論の一部として、有限群 G の正標数の体 K 上での線型表現を研究する。群論への応用を持つのみならず、モジュラー表現論は代数幾何学、符号理論、組合せ論、数論など他の数学分野においても自然に生じてくる。 有限群論において、がモジュラー表現論を用いて証明した指標理論的な結果は、有限単純群の分類の過程で、特にそのシロー 2-群が適当な意味において小さすぎるために純群論的手法では従順でないと特徴付けられる単純群に対して、重要な役割を果たした。また、がブラウアーの展開した理論を用いて示した、有限群の位数 2 の元の埋め込みに関する一般的な結果は、と呼ばれ、分類を進めるうえで特に有効であった。 係数体 K の標数が群 G の位数を整除しないならば、マシュケの定理によりモジュラー表現は完全可約となり、これは通常表現（標数 0 の表現）と同様である。マシュケの定理の証明は群の位数が割れないことに依拠しており、これは K の標数が G の位数を整除するときには意味を成さない。この場合、表現は必ずしも完全可約に限らず、通常表現の場合あるいは標数が群の位数と互いに素の場合とは対照的である。以下ではほとんどの場合、体 K は十分大きい（例えば K が代数閉体ならば十分）ものと暗黙に仮定する（さもなくば、主張をもう少し仔細に込み入ったものとせねばならないであろう）。 (ja)
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- Modular representation theory is a branch of mathematics, and is the part of representation theory that studies linear representations of finite groups over a field K of positive characteristic p, necessarily a prime number. As well as having applications to group theory, modular representations arise naturally in other branches of mathematics, such as algebraic geometry, coding theory, combinatorics and number theory. (en)
- 数学の一分野としてのモジュラー表現論（モジュラーひょうげんろん、英: modular representation theory）は表現論の一部として、有限群 G の正標数の体 K 上での線型表現を研究する。群論への応用を持つのみならず、モジュラー表現論は代数幾何学、符号理論、組合せ論、数論など他の数学分野においても自然に生じてくる。 有限群論において、がモジュラー表現論を用いて証明した指標理論的な結果は、有限単純群の分類の過程で、特にそのシロー 2-群が適当な意味において小さすぎるために純群論的手法では従順でないと特徴付けられる単純群に対して、重要な役割を果たした。また、がブラウアーの展開した理論を用いて示した、有限群の位数 2 の元の埋め込みに関する一般的な結果は、と呼ばれ、分類を進めるうえで特に有効であった。 (ja)
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