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- Borelovská množina v matematice je libovolná množina v topologickém prostoru, kterou lze získat z otevřených množin pomocí operací spočetného sjednocení, spočetného průniku a relativního doplňku (případně ekvivalentně z uzavřených množin). Název mají po francouzském matematikovi Émile Borelovi. Pro libovolný topologický prostor X vytváří kolekce všech borelovských množin na X σ-algebru známou jako borelovská algebra nebo borelovská σ-algebra. Borelovská algebra na X je nejmenší σ-algebra, která obsahuje všechny otevřené množiny (nebo ekvivalentně všechny uzavřené množiny). Borelovské množiny jsou důležité v teorii míry, protože libovolná míra definovaná na otevřených množinách nějakého prostoru nebo na uzavřených množinách nějakého prostoru, musí být definovaná i na všech borelovských množinách tohoto prostoru. Jakákoli míra definovaná na borelovských množinách se nazývá borelovská míra. Borelovské množiny a s nimi související také hraje stěžejní roli v . V některých kontextech jsou borelovské množiny definovány jako množiny generované kompaktními množinami topologického prostoru, místo otevřenými množinami. Tyto dvě definice jsou ekvivalentní pro mnoho rozumných prostorů, včetně všech Hausdorffových , ale mohou se lišit v prostorech. (cs)
- في الرياضيات، مجموعة بورل (بالإنجليزية: Borel set)، هي كل مجموعة في فضاء طوبولوجي يمكن أن تُكَوّن انطلاقا من مجموعات مفتوحة (أو ما يكافئ ذلك، انطلاقا من مجموعات مغلقة) ، وباستعمال عمليات اتحادات قابلة للعد وتقاطعات قابلة للعد ومكملات.سميت هذه المجموعات هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الفرنسي إيميل بوريل. (ar)
- In mathematics, a Borel set is any set in a topological space that can be formed from open sets (or, equivalently, from closed sets) through the operations of countable union, countable intersection, and relative complement. Borel sets are named after Émile Borel. For a topological space X, the collection of all Borel sets on X forms a σ-algebra, known as the Borel algebra or Borel σ-algebra. The Borel algebra on X is the smallest σ-algebra containing all open sets (or, equivalently, all closed sets). Borel sets are important in measure theory, since any measure defined on the open sets of a space, or on the closed sets of a space, must also be defined on all Borel sets of that space. Any measure defined on the Borel sets is called a Borel measure. Borel sets and the associated Borel hierarchy also play a fundamental role in descriptive set theory. In some contexts, Borel sets are defined to be generated by the compact sets of the topological space, rather than the open sets. The two definitions are equivalent for many well-behaved spaces, including all Hausdorff σ-compact spaces, but can be different in more pathological spaces. (en)
- Un conjunto de Borel es un elemento de la llamada σ-álgebra de Borel, la cual no es más que la mínima σ-álgebra que contiene a una topología dada. Como caracterización alternativa, también se puede decir que un conjunto de Borel es cualquier conjunto obtenido mediante uniones e intersecciones numerables de conjuntos cerrados o abiertos en la topología considerada. Frecuentemente se dice el término conjunto de Borel para referirse a un conjunto de la σ-álgebra asociada a la . (es)
- 数学におけるボレル集合（ボレルしゅうごう、英: Borel set）は、位相空間の開集合系（あるいは閉集合系）から可算回の合併、交叉、差を取ることによって得られる集合の総称である。名称はエミール・ボレルに由来する。 位相空間 に対し、 上のボレル集合全体の成す族（ボレル集合族）は完全加法族（σ-集合体）を成し、ボレル集合体 (Borel algebra) あるいはボレル完全加法族 (Borel σ-algebra) と呼ばれる。 上のボレル集合体は、全ての開集合を含む最小の完全加法族である（全ての閉集合を含む最小の完全加法族でもある）。 ボレル集合は測度論において重要である。これは任意のボレル集合体上で定義された測度が空間内の開集合（あるいは閉集合）上での値のみから一意に定まることによる。ボレル集合体上で定義された測度はボレル測度と呼ばれる。ボレル集合およびそれに付随するは、記述集合論においても基本的な役割を果たす。 文脈によっては、位相空間の（開集合ではなくて）コンパクト集合の生成するものとしてボレル集合を定めることもある。多くの (well-behaved) 空間、例えば任意の σ-コンパクトハウスドルフ空間などでは、この定義は先の（開集合を用いた）定義と同値になるが、そうでない病的な空間では違ってくる。 (ja)
- 측도론에서 보렐 집합(Borel集合, 영어: Borel set)은 열린집합들로부터 가산 합집합 · 가산 교집합 · 차집합 연산을 가산 번 반복하여 만들 수 있는 집합이다. (ko)
- Zbiór borelowski – podzbiór przestrzeni topologicznej, który można uzyskać ze zbiorów otwartych tej przestrzeni (lub równoważnie, ze zbiorów domkniętych) za pomocą przeliczalnych sum, przekrojów bądź dopełnień. Klasa zbiorów uzyskanych za pomocą tych operacji tworzy σ-ciało nazywane σ-ciałem zbiorów borelowskich lub σ-ciałem borelowskim danej przestrzeni topologicznej. Nazwa „zbiór borelowski” została wprowadzona dla uhonorowania prac francuskiego matematyka Émile Borela, który pierwszy badał te zbiory i ich zastosowania. (pl)
- En Borelmängd är inom matematiken en mängd som är genererad av öppna mängder. Detta innebär att en Borelmängd är en uppräknelig union av öppna mängder och komplement till öppna mängder. Alla Borelmängder är element i den sigma-algebra som genereras av de öppna mängderna, vilken kallas Borelalgebra. Borelmängder är namngivna efter Émile Borel. (sv)
- 博雷尔集，又稱Borel集，是數學的專有名詞，指在一个指定的拓扑空间中，可由其开集（或者等价地，可由其闭集）的可数次聯集运算、可数次交集运算和補集運算得到的一个集合。博雷尔集是由埃米尔·博雷尔的名字命名的。 对于一个拓扑空间 X，其所有博雷尔集的全体构成一个 σ-代数，称为博雷尔代数或者博雷尔σ-代数。拓扑空间 X 上的博雷尔代数是 X 上包含其所有开集合（或者等价地，所有闭集合）的最小的 σ-代数。 博雷尔集在测度论中有着重要的意义，因为任何空间上的开集（或者闭集）上定义的测度，必然可以将定义延拓到空间所有的博雷尔集上。定义在博雷尔集上的测度被称为博雷尔测度。博雷尔集和相关的在描述集合论中也起着基础性的作用。 某些情況下，博雷尔集定义是由拓扑空间中的緊緻集合所構造出來的而不是前面講的開集合。两个定义在很多良好的空间中是等价的，包括所有 豪斯多夫空间，但是在具有的空间中两者可能不同。 (zh)
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- في الرياضيات، مجموعة بورل (بالإنجليزية: Borel set)، هي كل مجموعة في فضاء طوبولوجي يمكن أن تُكَوّن انطلاقا من مجموعات مفتوحة (أو ما يكافئ ذلك، انطلاقا من مجموعات مغلقة) ، وباستعمال عمليات اتحادات قابلة للعد وتقاطعات قابلة للعد ومكملات.سميت هذه المجموعات هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الفرنسي إيميل بوريل. (ar)
- Un conjunto de Borel es un elemento de la llamada σ-álgebra de Borel, la cual no es más que la mínima σ-álgebra que contiene a una topología dada. Como caracterización alternativa, también se puede decir que un conjunto de Borel es cualquier conjunto obtenido mediante uniones e intersecciones numerables de conjuntos cerrados o abiertos en la topología considerada. Frecuentemente se dice el término conjunto de Borel para referirse a un conjunto de la σ-álgebra asociada a la . (es)
- 数学におけるボレル集合（ボレルしゅうごう、英: Borel set）は、位相空間の開集合系（あるいは閉集合系）から可算回の合併、交叉、差を取ることによって得られる集合の総称である。名称はエミール・ボレルに由来する。 位相空間 に対し、 上のボレル集合全体の成す族（ボレル集合族）は完全加法族（σ-集合体）を成し、ボレル集合体 (Borel algebra) あるいはボレル完全加法族 (Borel σ-algebra) と呼ばれる。 上のボレル集合体は、全ての開集合を含む最小の完全加法族である（全ての閉集合を含む最小の完全加法族でもある）。 ボレル集合は測度論において重要である。これは任意のボレル集合体上で定義された測度が空間内の開集合（あるいは閉集合）上での値のみから一意に定まることによる。ボレル集合体上で定義された測度はボレル測度と呼ばれる。ボレル集合およびそれに付随するは、記述集合論においても基本的な役割を果たす。 文脈によっては、位相空間の（開集合ではなくて）コンパクト集合の生成するものとしてボレル集合を定めることもある。多くの (well-behaved) 空間、例えば任意の σ-コンパクトハウスドルフ空間などでは、この定義は先の（開集合を用いた）定義と同値になるが、そうでない病的な空間では違ってくる。 (ja)
- 측도론에서 보렐 집합(Borel集合, 영어: Borel set)은 열린집합들로부터 가산 합집합 · 가산 교집합 · 차집합 연산을 가산 번 반복하여 만들 수 있는 집합이다. (ko)
- Zbiór borelowski – podzbiór przestrzeni topologicznej, który można uzyskać ze zbiorów otwartych tej przestrzeni (lub równoważnie, ze zbiorów domkniętych) za pomocą przeliczalnych sum, przekrojów bądź dopełnień. Klasa zbiorów uzyskanych za pomocą tych operacji tworzy σ-ciało nazywane σ-ciałem zbiorów borelowskich lub σ-ciałem borelowskim danej przestrzeni topologicznej. Nazwa „zbiór borelowski” została wprowadzona dla uhonorowania prac francuskiego matematyka Émile Borela, który pierwszy badał te zbiory i ich zastosowania. (pl)
- En Borelmängd är inom matematiken en mängd som är genererad av öppna mängder. Detta innebär att en Borelmängd är en uppräknelig union av öppna mängder och komplement till öppna mängder. Alla Borelmängder är element i den sigma-algebra som genereras av de öppna mängderna, vilken kallas Borelalgebra. Borelmängder är namngivna efter Émile Borel. (sv)
- 博雷尔集，又稱Borel集，是數學的專有名詞，指在一个指定的拓扑空间中，可由其开集（或者等价地，可由其闭集）的可数次聯集运算、可数次交集运算和補集運算得到的一个集合。博雷尔集是由埃米尔·博雷尔的名字命名的。 对于一个拓扑空间 X，其所有博雷尔集的全体构成一个 σ-代数，称为博雷尔代数或者博雷尔σ-代数。拓扑空间 X 上的博雷尔代数是 X 上包含其所有开集合（或者等价地，所有闭集合）的最小的 σ-代数。 博雷尔集在测度论中有着重要的意义，因为任何空间上的开集（或者闭集）上定义的测度，必然可以将定义延拓到空间所有的博雷尔集上。定义在博雷尔集上的测度被称为博雷尔测度。博雷尔集和相关的在描述集合论中也起着基础性的作用。 某些情況下，博雷尔集定义是由拓扑空间中的緊緻集合所構造出來的而不是前面講的開集合。两个定义在很多良好的空间中是等价的，包括所有 豪斯多夫空间，但是在具有的空间中两者可能不同。 (zh)
- Borelovská množina v matematice je libovolná množina v topologickém prostoru, kterou lze získat z otevřených množin pomocí operací spočetného sjednocení, spočetného průniku a relativního doplňku (případně ekvivalentně z uzavřených množin). Název mají po francouzském matematikovi Émile Borelovi. Pro libovolný topologický prostor X vytváří kolekce všech borelovských množin na X σ-algebru známou jako borelovská algebra nebo borelovská σ-algebra. Borelovská algebra na X je nejmenší σ-algebra, která obsahuje všechny otevřené množiny (nebo ekvivalentně všechny uzavřené množiny). (cs)
- In mathematics, a Borel set is any set in a topological space that can be formed from open sets (or, equivalently, from closed sets) through the operations of countable union, countable intersection, and relative complement. Borel sets are named after Émile Borel. For a topological space X, the collection of all Borel sets on X forms a σ-algebra, known as the Borel algebra or Borel σ-algebra. The Borel algebra on X is the smallest σ-algebra containing all open sets (or, equivalently, all closed sets). (en)
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