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- In mathematics, the X-ray transform (also called John transform) is an integral transform introduced by Fritz John in 1938 that is one of the cornerstones of modern integral geometry. It is very closely related to the Radon transform, and coincides with it in two dimensions. In higher dimensions, the X-ray transform of a function is defined by integrating over lines rather than over hyperplanes as in the Radon transform. The X-ray transform derives its name from X-ray tomography (used in CT scans) because the X-ray transform of a function ƒ represents the attenuation data of a tomographic scan through an inhomogeneous medium whose density is represented by the function ƒ. Inversion of the X-ray transform is therefore of practical importance because it allows one to reconstruct an unknown density ƒ from its known attenuation data. In detail, if ƒ is a compactly supported continuous function on the Euclidean space Rn, then the X-ray transform of ƒ is the function Xƒ defined on the set of all lines in Rn by where x0 is an initial point on the line and θ is a unit vector giving the direction of the line L. The latter integral is not regarded in the oriented sense: it is the integral with respect to the 1-dimensional Lebesgue measure on the Euclidean line L. The X-ray transform satisfies an ultrahyperbolic wave equation called John's equation. The Gauss hypergeometric function can be written as an X-ray transform . (en)
- 数学において、X線変換（Xせんへんかん、英: X-ray transform）あるいはジョン変換と呼ばれるものは、1938年にによって導入されたある積分変換であり、近代のの基礎の一つとなっている。ラドン変換と非常に密接に関連しており、二次元ではそれらは一致する。より高次元において、函数のX線変換は、超平面について積分を行うラドン変換とは異なり、直線についての積分として定義される。ある函数 ƒ のX線変換は、密度が函数 ƒ で表される非均質媒質を通した断層撮影の散乱データを表すことから、X線変換の名はX線トモグラフィーに由来する。したがってX線変換の逆は、既知の散乱データから未知の密度 ƒ を再構成する上で用いることができるため、実践的に重要なものである。 より詳細に、ƒ がユークリッド空間 Rn 上のコンパクト台を持つ連続函数であるなら、ƒ のX線変換は Rn 内のすべての直線からなる集合上で定義される次の函数 Xƒ である： ここに x0 は直線 L 上の初期点で、θ は直線 L の方向を与える単位ベクトルである。後者の積分は、向き付けを考えていない。すなわち、ユークリッド直線 L 上の 1 次元ルベーグ測度に関する積分である。 X線変換は、ジョンの方程式と呼ばれる超双曲型波動方程式を満たす。 ガウスの超幾何函数は、X線変換として記述することが出来る 。 (ja)
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- 数学において、X線変換（Xせんへんかん、英: X-ray transform）あるいはジョン変換と呼ばれるものは、1938年にによって導入されたある積分変換であり、近代のの基礎の一つとなっている。ラドン変換と非常に密接に関連しており、二次元ではそれらは一致する。より高次元において、函数のX線変換は、超平面について積分を行うラドン変換とは異なり、直線についての積分として定義される。ある函数 ƒ のX線変換は、密度が函数 ƒ で表される非均質媒質を通した断層撮影の散乱データを表すことから、X線変換の名はX線トモグラフィーに由来する。したがってX線変換の逆は、既知の散乱データから未知の密度 ƒ を再構成する上で用いることができるため、実践的に重要なものである。 より詳細に、ƒ がユークリッド空間 Rn 上のコンパクト台を持つ連続函数であるなら、ƒ のX線変換は Rn 内のすべての直線からなる集合上で定義される次の函数 Xƒ である： ここに x0 は直線 L 上の初期点で、θ は直線 L の方向を与える単位ベクトルである。後者の積分は、向き付けを考えていない。すなわち、ユークリッド直線 L 上の 1 次元ルベーグ測度に関する積分である。 X線変換は、ジョンの方程式と呼ばれる超双曲型波動方程式を満たす。 ガウスの超幾何函数は、X線変換として記述することが出来る 。 (ja)
- In mathematics, the X-ray transform (also called John transform) is an integral transform introduced by Fritz John in 1938 that is one of the cornerstones of modern integral geometry. It is very closely related to the Radon transform, and coincides with it in two dimensions. In higher dimensions, the X-ray transform of a function is defined by integrating over lines rather than over hyperplanes as in the Radon transform. The X-ray transform derives its name from X-ray tomography (used in CT scans) because the X-ray transform of a function ƒ represents the attenuation data of a tomographic scan through an inhomogeneous medium whose density is represented by the function ƒ. Inversion of the X-ray transform is therefore of practical importance because it allows one to reconstruct an unknown d (en)
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- X線変換 (ja)
- X-ray transform (en)
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