| dbo:abstract
|
- Η αρχή της καλής διάταξης στη θεωρία συνόλων, ή αρχή του ελαχίστου όπως ονομάζεται διαφορετικά, λέει ότι: όλα τα μη κενά υποσύνολα φυσικών αριθμών περιέχουν ένα στοιχείο που είναι ελάχιστο. Με άλλα λόγια αν S είναι ένα μη κενό υποσύνολο του Ν, τότε υπάρχει ένα στοιχείο τέτοιο ώστε για κάθε στοιχείο να ισχύει s ≤ α. Η αρχή της καλής διάταξης είναι ισοδύναμη με την αρχή της επαγωγής. Επειδή δεν μπορεί να αποδειχθεί με βάση τις υπόλοιπες των φυσικών αριθμών, σε ορισμένες περιπτώσεις τη δεχόμαστε ως αξίωμα ενώ σε άλλες παίρνουμε την αρχή της επαγωγής ως αξίωμα, και αποδεικνύουμε την αρχή της καλής διάταξης ως θεώρημα. (el)
- En matemáticas, el principio del buen orden afirma que en cualquier conjunto de números naturales existe un mínimo, es decir, un número no mayor que algún otro del resto, siempre y cuando dicha colección no esté vacía. Esto diferencia al conjunto de los números naturales de otros conjuntos ordenados de números, como por ejemplo los números enteros o los números reales. El principio de buena ordenación es equivalente al principio de inducción: uno puede demostrarse a partir del otro. (es)
- In mathematics, the well-ordering principle states that every non-empty set of positive integers contains a least element. In other words, the set of positive integers is well-ordered by its "natural" or "magnitude" order in which precedes if and only if is either or the sum of and some positive integer (other orderings include the ordering ; and ). The phrase "well-ordering principle" is sometimes taken to be synonymous with the "well-ordering theorem". On other occasions it is understood to be the proposition that the set of integers contains a well-ordered subset, called the natural numbers, in which every nonempty subset contains a least element. (en)
- Zasada dobrego uporządkowania lub zasada minimum – reguła matematyczna mówiąca, że każdy niepusty podzbiór zbioru liczb naturalnych zawiera element najmniejszy. Wyrażenie „zasada dobrego uporządkowania” traktowane jest czasami jako synonim wyrażenia „twierdzenie o dobrym uporządkowaniu”. Niekiedy rozumie się przez nie stwierdzenie, iż zbiór liczb całkowitych zawiera podzbiór dobrze uporządkowany, nazywany liczbami naturalnymi, w którym każdy niepusty podzbiór zawiera element najmniejszy. W zależności od sposobu wprowadzenia liczb naturalnych wspomniana własność (drugiego rzędu) liczb naturalnych jest albo aksjomatem, albo twierdzeniem, które można dowieść. Przykładowo:
* W , i podobnych systemach oraz w większości (niekoniecznie formalnych) podejść matematycznych do zasady dobrego uporządkowania jest ona konsekwencją zasady indukcji matematycznej, która z kolei przyjęta jest jako pojęcie pierwotne.
* Traktując liczby naturalne jako podzbiór liczb rzeczywistych i przyjmując, że wiadomo, iż są one zupełne (jako przestrzeń; raz jeszcze na podstawie aksjomatu lub twierdzenia), tzn. każdy zbiór ograniczony z dołu ma kres dolny, można dowieść, że każdy zbiór liczb naturalnych ma kres dolny, dalej oznaczany Wystarczy teraz znaleźć taką liczbę całkowitą dla której leży w przedziale a następnie wykazać, że musi zachodzić przy czym
* W aksjomatycznej teorii mnogości liczby naturalne definiowane są jako najmniejszy zbiór induktywny (tzn. zbiór zawierający 0 i zamknięty ze względu na operację następnika). Można pokazać (nawet bez odwoływania się do aksjomatu regularności), że zbiór wszystkich liczb naturalnych o własności „ jest dobrze uporządkowany” jest induktywny i dlatego musi zawierać wszystkie liczby naturalne; z własności tej można wydedukować, że zbiór wszystkich liczb naturalnych również jest dobrze uporządkowany. Przytoczone wyżej wyrażenie wykorzystuje się też czasem w celu uzasadnienia dowodów następującej postaci: aby dowieść, że każda liczba naturalna należy do określonego zbioru załóżmy przeciwnie i wywnioskujmy dzięki temu istnienie (niezerowego) najmniejszego kontrprzykładu. W dalszej kolejności wystarczy pokazać, że musi istnieć również mniejszy kontrprzykład albo, że najmniejszy kontrprzykład nim nie jest, co w obu przypadkach daje sprzeczność. Ten rodzaj argumentacji ma ten sam związek z dowodem przez indukcję matematyczną, co „jeśli nie B, to nie A” (reguła modus tollens) w stosunku do „jeśli A, to B” (reguła modus ponens). Metoda ta jest podobna do „” Fermata. i Saunders Mac Lane dowiedli w A Survey of Modern Algebra, że własność ta, podobnie jak aksjomat ciągłości liczb rzeczywistych, jest niealgebraiczna, tzn. nie może być wyprowadzona z własności algebraicznych liczb całkowitych (tworzących uporządkowaną dziedzinę całkowitości). W ten sposób wyróżnia ona liczby całkowite wśród pozostałych dziedzin całkowitości; każda dobrze uporządkowana dziedzina całkowitości jest izomorficzna z liczbami całkowitymi. (pl)
- In matematica, il principio del buon ordinamento (da non confondere con il teorema del buon ordinamento), talvolta chiamato principio del minimo intero, o più propriamente principio del minimo intero naturale, afferma che: Ogni insieme di numeri naturali non vuoto contiene un numero che è più piccolo di tutti gli altri. In altre parole, un qualsiasi sottoinsieme non vuoto dei numeri naturali ammette minimo. Il che equivale a dire che l'insieme dei numeri naturali è un insieme ben ordinato (rispetto alla relazione d'ordine usuale). (it)
- O Princípio da boa ordenação ou princípio da boa ordem diz que todo subconjunto não-vazio formado por números naturais possui um menor elemento. Isso é o mesmo que dizer que todo subconjunto não vazio formado por números inteiros positivos possui um menor elemento. Este princípio é equivalente ao Princípio da indução. Em teoria de conjuntos, esta noção é generalizada para a de um conjunto bem-ordenado, um conjunto totalmente ordenado tal que todo subconjunto não vazio possui um . Na Teoria axiomática dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel [sistema denotado como "ZF sem adição de axiomas extras"], a generalização deste princípio acima é equivalente para o Axioma da Escolha, criado em 1904 pelo matemático alemão Ernst Zermelo. Este é considerado um dos axiomas mais importantes da história da Matemática, apesar de suas consequências não-construtivas e controversas (vide o Paradoxo de Banach-Tarski, entre outros). (pt)
- Välordningsaxiomet eller välordningsprincipen, är inom matematiken ett axiom (eventuellt en princip) enligt vilken varje icke-tom mängd av positiva heltal har ett minsta element . Med andra ord är mängden av positiva heltal en välordnad mängd. Välordningsaxiomet används ofta som en del av heltalens definition. Välordningsprincipen ses ibland som synonym till välordningsaxiomet. Vid andra tillfällen förstås den som antagandet att mängden heltal {…, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …} innehåller en välordnad delmängd kallad naturliga tal, i vilken varje icke-tom delmängd innehåller ett minsta element. Beroende på i vilket sammanhang de naturliga talen introduceras, är denna egenskap hos mängden naturliga tal endera ett axiom eller ett bevisbart teorem. (sv)
|
| rdfs:comment
|
- En matemáticas, el principio del buen orden afirma que en cualquier conjunto de números naturales existe un mínimo, es decir, un número no mayor que algún otro del resto, siempre y cuando dicha colección no esté vacía. Esto diferencia al conjunto de los números naturales de otros conjuntos ordenados de números, como por ejemplo los números enteros o los números reales. El principio de buena ordenación es equivalente al principio de inducción: uno puede demostrarse a partir del otro. (es)
- In matematica, il principio del buon ordinamento (da non confondere con il teorema del buon ordinamento), talvolta chiamato principio del minimo intero, o più propriamente principio del minimo intero naturale, afferma che: Ogni insieme di numeri naturali non vuoto contiene un numero che è più piccolo di tutti gli altri. In altre parole, un qualsiasi sottoinsieme non vuoto dei numeri naturali ammette minimo. Il che equivale a dire che l'insieme dei numeri naturali è un insieme ben ordinato (rispetto alla relazione d'ordine usuale). (it)
- Η αρχή της καλής διάταξης στη θεωρία συνόλων, ή αρχή του ελαχίστου όπως ονομάζεται διαφορετικά, λέει ότι: όλα τα μη κενά υποσύνολα φυσικών αριθμών περιέχουν ένα στοιχείο που είναι ελάχιστο. Με άλλα λόγια αν S είναι ένα μη κενό υποσύνολο του Ν, τότε υπάρχει ένα στοιχείο τέτοιο ώστε για κάθε στοιχείο να ισχύει s ≤ α. (el)
- In mathematics, the well-ordering principle states that every non-empty set of positive integers contains a least element. In other words, the set of positive integers is well-ordered by its "natural" or "magnitude" order in which precedes if and only if is either or the sum of and some positive integer (other orderings include the ordering ; and ). (en)
- Zasada dobrego uporządkowania lub zasada minimum – reguła matematyczna mówiąca, że każdy niepusty podzbiór zbioru liczb naturalnych zawiera element najmniejszy. Wyrażenie „zasada dobrego uporządkowania” traktowane jest czasami jako synonim wyrażenia „twierdzenie o dobrym uporządkowaniu”. Niekiedy rozumie się przez nie stwierdzenie, iż zbiór liczb całkowitych zawiera podzbiór dobrze uporządkowany, nazywany liczbami naturalnymi, w którym każdy niepusty podzbiór zawiera element najmniejszy. (pl)
- O Princípio da boa ordenação ou princípio da boa ordem diz que todo subconjunto não-vazio formado por números naturais possui um menor elemento. Isso é o mesmo que dizer que todo subconjunto não vazio formado por números inteiros positivos possui um menor elemento. Este princípio é equivalente ao Princípio da indução. Em teoria de conjuntos, esta noção é generalizada para a de um conjunto bem-ordenado, um conjunto totalmente ordenado tal que todo subconjunto não vazio possui um . (pt)
- Välordningsaxiomet eller välordningsprincipen, är inom matematiken ett axiom (eventuellt en princip) enligt vilken varje icke-tom mängd av positiva heltal har ett minsta element . Med andra ord är mängden av positiva heltal en välordnad mängd. Välordningsaxiomet används ofta som en del av heltalens definition. Välordningsprincipen ses ibland som synonym till välordningsaxiomet. Vid andra tillfällen förstås den som antagandet att mängden heltal {…, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …} innehåller en välordnad delmängd kallad naturliga tal, i vilken varje icke-tom delmängd innehåller ett minsta element. (sv)
|
