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- In mathematics, the viscosity solution concept was introduced in the early 1980s by Pierre-Louis Lions and Michael G. Crandall as a generalization of the classical concept of what is meant by a 'solution' to a partial differential equation (PDE). It has been found that the viscosity solution is the natural solution concept to use in many applications of PDE's, including for example first order equations arising in dynamic programming (the Hamilton–Jacobi–Bellman equation), differential games (the ) or front evolution problems, as well as second-order equations such as the ones arising in stochastic optimal control or stochastic differential games. The classical concept was that a PDE over a domain has a solution if we can find a function u(x) continuous and differentiable over the entire domain such that , , , satisfy the above equation at every point. If a scalar equation is degenerate elliptic (defined below), one can define a type of weak solution called viscosity solution.Under the viscosity solution concept, u does not need to be everywhere differentiable. There may be points where either or does not exist and yet u satisfies the equation in an appropriate generalized sense. The definition allows only for certain kind of singularities, so that existence, uniqueness, and stability under uniform limits, hold for a large class of equations. (en)
- 数学の分野における粘性解（ねんせいかい、英: viscosity solution）とは、1980年代初頭にピエール＝ルイ・リオンとによって、古典的な偏微分方程式（PDE）の「解」の概念の一般化として導入されたものである。粘性解は、偏微分方程式の応用の場面において用いられる、自然な解の概念であることが知られている。例えば、一階の方程式として最適制御におけるハミルトン-ヤコビ方程式や、微分ゲームにおける、あるいは前方発展問題における方程式や、二階の方程式として確率最適制御や確率微分ゲームに現れるものなどに対して、粘性解は用いられる。 古典的な概念では、領域 について偏微分方程式 が解を持つとは、、、 および が全ての点においてその方程式を満たすような、全領域で連続かつ微分可能な函数 u(x) が存在することを言う。 あるスカラー方程式が退化楕円型（次節で定義する）であるとき、粘性解と呼ばれるある種の弱解を定義することが出来る。粘性解の概念の下では、u は必ずしも至る所で微分可能でなくても良い。 あるいは のいずれかは存在しないが u がある適切な意味において上の方程式を満たすような点が存在し得るのである。その定義はある種の特異性のみを許すものであるため、広い方程式のクラスに対して、一様極限の下での解の存在、一意性および安定性が保証されている。 (ja)
- Вязкостное решение — определённый тип слабого решения дифференциального уравнения в частных производных, а точнее вырожденного эллиптического уравнения. (ru)
- 数学中，粘性解是20世纪80年代早期由皮埃爾-路易·利翁和作为对偏微分方程（PDE）经典解的扩展而引入的。粘性解在PDE的许多应用中作为解是非常自然的，例如优化控制中的一阶偏微分方程（哈密顿-雅可比-贝尔曼方程），微分对策中（Hamilton–Jacobi–Isaacs equation），前端演化问题（front evolution problem），还有二阶方程，例如在随机优化控制或随机微分博弈（stochastic differential game）中出现的。 经典的概念是在域中PDE 有解，如果能找到在整个域上连续且可微的函数u(x)，使得x, u和Du（u的微分）在每个点都满足上面的等式。 在粘性解的意义下，u不需要在每个点都可微。可能在有些点上Du不存在，即u中存在扭结（kink）但u在适当意义下满足等式。虽然在某个点上Du可能不存在，但可以使用下面定义的上微分（superdifferential）和下微分（subdifferential）代替。 定义1. 定义2. 一般地，集合中的每个是在"斜率"（slope）的一个上界，集合中每个是在"斜率"（slope）的一个下界。 定义3. 连续函数u是上面PDE的一个粘性上解（viscosity subsolution），如果满足 定义4. 连续函数u是上面PDE的一个粘性下解（viscosity supersolution），如果满足 。 定义5.连续函数u是PDE的一个粘性解如果它既是粘性上解又是粘性下解。 粘性解存在不需引入上（下）微分概念的等价定义，见Fleming与Soner书中的第II.4节。 (zh)
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- 数学の分野における粘性解（ねんせいかい、英: viscosity solution）とは、1980年代初頭にピエール＝ルイ・リオンとによって、古典的な偏微分方程式（PDE）の「解」の概念の一般化として導入されたものである。粘性解は、偏微分方程式の応用の場面において用いられる、自然な解の概念であることが知られている。例えば、一階の方程式として最適制御におけるハミルトン-ヤコビ方程式や、微分ゲームにおける、あるいは前方発展問題における方程式や、二階の方程式として確率最適制御や確率微分ゲームに現れるものなどに対して、粘性解は用いられる。 古典的な概念では、領域 について偏微分方程式 が解を持つとは、、、 および が全ての点においてその方程式を満たすような、全領域で連続かつ微分可能な函数 u(x) が存在することを言う。 あるスカラー方程式が退化楕円型（次節で定義する）であるとき、粘性解と呼ばれるある種の弱解を定義することが出来る。粘性解の概念の下では、u は必ずしも至る所で微分可能でなくても良い。 あるいは のいずれかは存在しないが u がある適切な意味において上の方程式を満たすような点が存在し得るのである。その定義はある種の特異性のみを許すものであるため、広い方程式のクラスに対して、一様極限の下での解の存在、一意性および安定性が保証されている。 (ja)
- Вязкостное решение — определённый тип слабого решения дифференциального уравнения в частных производных, а точнее вырожденного эллиптического уравнения. (ru)
- In mathematics, the viscosity solution concept was introduced in the early 1980s by Pierre-Louis Lions and Michael G. Crandall as a generalization of the classical concept of what is meant by a 'solution' to a partial differential equation (PDE). It has been found that the viscosity solution is the natural solution concept to use in many applications of PDE's, including for example first order equations arising in dynamic programming (the Hamilton–Jacobi–Bellman equation), differential games (the ) or front evolution problems, as well as second-order equations such as the ones arising in stochastic optimal control or stochastic differential games. (en)
- 数学中，粘性解是20世纪80年代早期由皮埃爾-路易·利翁和作为对偏微分方程（PDE）经典解的扩展而引入的。粘性解在PDE的许多应用中作为解是非常自然的，例如优化控制中的一阶偏微分方程（哈密顿-雅可比-贝尔曼方程），微分对策中（Hamilton–Jacobi–Isaacs equation），前端演化问题（front evolution problem），还有二阶方程，例如在随机优化控制或随机微分博弈（stochastic differential game）中出现的。 经典的概念是在域中PDE 有解，如果能找到在整个域上连续且可微的函数u(x)，使得x, u和Du（u的微分）在每个点都满足上面的等式。 在粘性解的意义下，u不需要在每个点都可微。可能在有些点上Du不存在，即u中存在扭结（kink）但u在适当意义下满足等式。虽然在某个点上Du可能不存在，但可以使用下面定义的上微分（superdifferential）和下微分（subdifferential）代替。 定义1. 定义2. 一般地，集合中的每个是在"斜率"（slope）的一个上界，集合中每个是在"斜率"（slope）的一个下界。 定义3. 连续函数u是上面PDE的一个粘性上解（viscosity subsolution），如果满足 定义4. 连续函数u是上面PDE的一个粘性下解（viscosity supersolution），如果满足 。 (zh)
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- 粘性解 (ja)
- Viscosity solution (en)
- Вязкостное решение (ru)
- 粘性解 (zh)
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