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- Umbrella sampling is a technique in computational physics and chemistry, used to improve sampling of a system (or different systems) where ergodicity is hindered by the form of the system's energy landscape. It was first suggested by Torrie and Valleau in 1977. It is a particular physical application of the more general importance sampling in statistics. Systems in which an energy barrier separates two regions of configuration space may suffer from poor sampling. In Metropolis Monte Carlo runs, the low probability of overcoming the potential barrier can leave inaccessible configurations poorly sampled—or even entirely unsampled—by the simulation. An easily visualised example occurs with a solid at its melting point: considering the state of the system with an order parameter Q, both liquid (low Q) and solid (high Q) phases are low in energy, but are separated by a free energy barrier at intermediate values of Q. This prevents the simulation from adequately sampling both phases. Umbrella sampling is a means of "bridging the gap" in this situation. The standard Boltzmann weighting for Monte Carlo sampling is replaced by a potential chosen to cancel the influence of the energy barrier present. The Markov chain generated has a distribution given by: with U the potential energy, w(rN) a function chosen to promote configurations that would otherwise be inaccessible to a Boltzmann-weighted Monte Carlo run. In the example above, w may be chosen such that w = w(Q), taking high values at intermediate Q and low values at low/high Q, facilitating barrier crossing. Values for a thermodynamic property A deduced from a sampling run performed in this manner can be transformed into canonical-ensemble values by applying the formula: with the subscript indicating values from the umbrella-sampled simulation. The effect of introducing the weighting function w(rN) is equivalent to adding a biasing potential V(rN) to the potential energy of the system. If the biasing potential is strictly a function of a reaction coordinate or order parameter , then the (unbiased) free energy profile on the reaction coordinate can be calculated by subtracting the biasing potential from the biased free energy profile. where is the free energy profile of the unbiased system and is the free energy profile calculated for the biased, umbrella-sampled system. Series of umbrella sampling simulations can be analyzed using the weighted histogram analysis method (WHAM) or its generalization. WHAM can be derived using the Maximum likelihood method. Subtleties exist in deciding the most computationally efficient way to apply the umbrella sampling method, as described in Frenkel & Smit's book Understanding Molecular Simulation. Alternatives to umbrella sampling for computing potentials of mean force or reaction rates are free energy perturbation and transition interface sampling. A further alternative which functions in full non-equilibrium is S-PRES. (en)
- アンブレラサンプリング法（アンブレラサンプリングほう 英: Umbrella sampling、傘サンプリングとも）は、計算物理学および計算化学の手法の一つであり、エネルギー地形の形状によってが妨げられる系のサンプリングを改善するために用いられる。1977年に、TorrieおよびValleauによって初めて提案された。アンブレラサンプリング法は統計学においてより一般的なの特別な物理学的応用である。 エネルギー障壁が配置空間の2つの領域を隔てている系では、不十分なサンプリングに悩まされる。メトロポリス・モンテカルロシミュレーションでは、ポテンシャル障壁を乗り越える低い確率は、シミュレーションによって不十分にサンプリングされる、または全くサンプリングされない到達しにくい配置が残る可能性がある。容易に思い浮かべられる例は融点における固体で起こる。秩序パラメータ Q を持つ系の状態を考えると、液相（低いQ）と固相 （高い Q）のどちらもエネルギー的に低いが、Q の中間の値での自由エネルギー障壁によって隔てられている。これによって両方の相の十分なサンプリングをシミュレーションで行うことができない。 アンブレラサンプリング法はこの状況における困難を乗り越える方法の一つである。この方法では、モンテカルロサンプリングで標準的に用いられるボルツマン重み付けを、エネルギー障壁の影響を打ち消すよう選ばれた重みに置き換える。生成されたマルコフ連鎖は、以下の式で与えられる確率分布を持つ。 上式において、U は真のポテンシャルエネルギー、w(rN) はボルツマン重み付けモンテカルロシミュレーションでは近づき難い配置を促進するよう選ばれた関数である。上記の例において、w は w = w(Q) が中間の Q で高い値、低い/高い Q で低い値を取り、障壁の乗り越えを容易にするように選ばれる。 このようなやり方で行われるサンプリング実行から推定される熱力学特性 A は以下の式によってカノニカルアンサンブル値へと変換できる。 添字 π はアンブレラサンプリングされたシミュレーションからの値であることを示している。 重み関数 w(rN) を導入することの効果は系のポテンシャルエネルギーにバイアスポテンシャル V(rN) を加えるのと等価である。 バイアスポテンシャルが厳密に反応座標または秩序パラメータ Q の関数ならば、次に反応座標の（バイアスのない）自由エネルギープロファイルはバイアスを受けた自由エネルギープロファイルからバイアスポテンシャルを差し引くことで計算できる。 上式において、 F0(Q) はバイアスのない系の自由エネルギープロファイル、 Fπ(Q) はバイアスを受けた（アンブレラサンプリングされた）系について計算された自由エネルギープロファイルである。 一連のアンブレラサンプリングシミュレーションは重み付きヒストグラム解析法（weighted histogram analysis method, WHAM）あるいはその一般化を用いて解析できる。WHAMは最尤法を使って導くことができる。 平均力ポテンシャルまたは反応速度を計算するためのアンブレラサンプリング法に代わる方法としては、自由エネルギー摂動法とがある。完全な非平衡において機能する別の方法としてS-PRES（Stochastic process rare event sampling）法がある。 (ja)
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- Umbrella sampling is a technique in computational physics and chemistry, used to improve sampling of a system (or different systems) where ergodicity is hindered by the form of the system's energy landscape. It was first suggested by Torrie and Valleau in 1977. It is a particular physical application of the more general importance sampling in statistics. Values for a thermodynamic property A deduced from a sampling run performed in this manner can be transformed into canonical-ensemble values by applying the formula: with the subscript indicating values from the umbrella-sampled simulation. (en)
- アンブレラサンプリング法（アンブレラサンプリングほう 英: Umbrella sampling、傘サンプリングとも）は、計算物理学および計算化学の手法の一つであり、エネルギー地形の形状によってが妨げられる系のサンプリングを改善するために用いられる。1977年に、TorrieおよびValleauによって初めて提案された。アンブレラサンプリング法は統計学においてより一般的なの特別な物理学的応用である。 エネルギー障壁が配置空間の2つの領域を隔てている系では、不十分なサンプリングに悩まされる。メトロポリス・モンテカルロシミュレーションでは、ポテンシャル障壁を乗り越える低い確率は、シミュレーションによって不十分にサンプリングされる、または全くサンプリングされない到達しにくい配置が残る可能性がある。容易に思い浮かべられる例は融点における固体で起こる。秩序パラメータ Q を持つ系の状態を考えると、液相（低いQ）と固相 （高い Q）のどちらもエネルギー的に低いが、Q の中間の値での自由エネルギー障壁によって隔てられている。これによって両方の相の十分なサンプリングをシミュレーションで行うことができない。 このようなやり方で行われるサンプリング実行から推定される熱力学特性 A は以下の式によってカノニカルアンサンブル値へと変換できる。 (ja)
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- アンブレラサンプリング法 (ja)
- Umbrella sampling (en)
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