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- In algebra, a torsion-free module is a module over a ring such that zero is the only element annihilated by a regular element (non zero-divisor) of the ring. In other words, a module is torsion free if its torsion submodule is reduced to its zero element. In integral domains the regular elements of the ring are its nonzero elements, so in this case a torsion-free module is one such that zero is the only element annihilated by some non-zero element of the ring. Some authors work only over integral domains and use this condition as the definition of a torsion-free module, but this does not work well over more general rings, for if the ring contains zero-divisors then the only module satisfying this condition is the zero module. (en)
- 捩れなし加群 (torsion-free module) は代数学において、環上の加群 M であって、M において 0M のみが、台となる環の何れかの正則元（非零因子）とのスカラー倍によって 0M となりうる唯一の元であるようなものである。 整域 D において正則元は 0D でない元であるので、この場合捩れなし加群 M は 0M が環の非零元によって零化される唯一の元であるようなものである。整域上だけで考えこの条件を捩れなし加群の定義として使う著者もいるが、より一般の環上ではこれはうまくいかない。 というのも環が零因子をもてばこの条件を満たす加群は零加群しかないからだ。 (ja)
- 환론에서 꼬임 없는 가군(영어: torsion-free module)은 및 에 대하여 "특별한 이유가 없다면" 인 가군 이다. 마찬가지로, 나눗셈 가군(영어: divisible module)은 및 에 대하여 "특별한 이유가 없다면" 이 (유일하지 않을 수 있게) 존재하는 가군 이다.꼬임 없는 가군의 개념과 나눗셈 가군의 개념은 서로 쌍대 개념이다. 보다 구체적으로, 임의의 환 및 왼쪽 가군 에서, 임의의 에 대하여 만약 이라면, 당연히 이다. 따라서, 임의의 에 대하여 일 필요 조건은 인 것이다. 이 필요 조건들이 충분한 경우, 을 꼬임 없는 가군이라고 한다. 마찬가지로, 임의의 환 및 왼쪽 가군 에서, 임의의 에 대하여 이라고 하자. 그렇다면 이므로, 임의의 에 대하여 이 존재할 필요 조건은 인 것이다. 이 필요 조건들이 충분한 경우, 을 나눗셈 가군이라고 한다. (ko)
- Модуль без кручень — модуль над кільцем , такий що з рівності , де — елемент , який не є дільником нуля, і , випливає, що . (uk)
- Модуль без кручения — модуль над кольцом , такой что из равенства , где — элемент , не являющийся делителем нуля, и , следует или . (ru)
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- 捩れなし加群 (torsion-free module) は代数学において、環上の加群 M であって、M において 0M のみが、台となる環の何れかの正則元（非零因子）とのスカラー倍によって 0M となりうる唯一の元であるようなものである。 整域 D において正則元は 0D でない元であるので、この場合捩れなし加群 M は 0M が環の非零元によって零化される唯一の元であるようなものである。整域上だけで考えこの条件を捩れなし加群の定義として使う著者もいるが、より一般の環上ではこれはうまくいかない。 というのも環が零因子をもてばこの条件を満たす加群は零加群しかないからだ。 (ja)
- 환론에서 꼬임 없는 가군(영어: torsion-free module)은 및 에 대하여 "특별한 이유가 없다면" 인 가군 이다. 마찬가지로, 나눗셈 가군(영어: divisible module)은 및 에 대하여 "특별한 이유가 없다면" 이 (유일하지 않을 수 있게) 존재하는 가군 이다.꼬임 없는 가군의 개념과 나눗셈 가군의 개념은 서로 쌍대 개념이다. 보다 구체적으로, 임의의 환 및 왼쪽 가군 에서, 임의의 에 대하여 만약 이라면, 당연히 이다. 따라서, 임의의 에 대하여 일 필요 조건은 인 것이다. 이 필요 조건들이 충분한 경우, 을 꼬임 없는 가군이라고 한다. 마찬가지로, 임의의 환 및 왼쪽 가군 에서, 임의의 에 대하여 이라고 하자. 그렇다면 이므로, 임의의 에 대하여 이 존재할 필요 조건은 인 것이다. 이 필요 조건들이 충분한 경우, 을 나눗셈 가군이라고 한다. (ko)
- Модуль без кручень — модуль над кільцем , такий що з рівності , де — елемент , який не є дільником нуля, і , випливає, що . (uk)
- Модуль без кручения — модуль над кольцом , такой что из равенства , где — элемент , не являющийся делителем нуля, и , следует или . (ru)
- In algebra, a torsion-free module is a module over a ring such that zero is the only element annihilated by a regular element (non zero-divisor) of the ring. In other words, a module is torsion free if its torsion submodule is reduced to its zero element. (en)
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