| dbo:abstract
|
- En combinatoire additive et en théorie additive des nombres, un sous-ensemble d'un groupe abélien est un ensemble sans somme si la somme d'ensembles est disjointe de . De manière équivalente, est sans somme si l'équation n'a pas de solution avec . Par exemple, l'ensemble des entiers impairs est un sous-ensemble sans somme des entiers ; de même, si N est un entier naturel pair, l'ensemble {N/2 + 1, … , N} est un sous-ensemble sans somme de {1, … , N}. La question suivante a été posée concernant les ensembles sans somme : Quel est le nombre de sous-ensembles sans somme de {1, … , N}, pour un entier N ? Les premières valeurs sont : 1, 2, 3, 6, 9, 16, 24, 42, 61, 108, 151, 253, 369, 607, 847, 1400, 1954, C'est la suite de l'OEIS. Ben J. Green a montré que la réponse asymptotique est O(2N/2), comme suggéré dans la conjecture de Cameron-Erdős. Alexander Sapozhenko a montré plus précisément que le nombre est ∼ c0 2N/2 si N est pair, et ∼ c1 2N/2 si N est impair, où c0 et c1 sont des constantes. D'autres questions ont été posées et examinées :
* Quel est le nombre de sous-ensembles sans somme dans un groupe abélien ?
* Quelle est la taille maximale d'un sous-ensemble sans somme dans un groupe abélien ? (fr)
- In additive combinatorics and number theory, a subset A of an abelian group G is said to be sum-free if the sumset A⊕A is disjoint from A. In other words, A is sum-free if the equation has no solution with . For example, the set of odd numbers is a sum-free subset of the integers, and the set {N+1, ..., 2N} forms a large sum-free subset of the set {1,...,2N}. Fermat's Last Theorem is the statement that, for a given integer n > 2, the set of all nonzero nth powers of the integers is a sum-free subset. Some basic questions that have been asked about sum-free sets are:
* How many sum-free subsets of {1, ..., N} are there, for an integer N? Ben Green has shown that the answer is , as predicted by the Cameron–Erdős conjecture (see Sloane's OEIS: ).
* How many sum-free sets does an abelian group G contain?
* What is the size of the largest sum-free set that an abelian group G contains? A sum-free set is said to be maximal if it is not a proper subset of another sum-free set. Let be defined by is the largest number such that any subset of with size n has a sum-free subset of size k. The function is subadditive, and by Fekete subadditivity lemma, exists. Erdos proved that , and conjectured that it is exact("P. Erdős, "Extremal problems in number theory", Matematika, 11:2 (1967), 98–105; Proc. Sympos. Pure Math., Vol. VIII, 1965, 181–189"). This is proved in. (en)
- (additive combinatorics)や(additive number theory)では、アーベル群 G の部分集合 A が、sum-free とは、sumset が A と互いに素であるときを言う。言い換えると、A が sum-free 集合とは、式 a + b = c が a, b, c ∈ A では解を持たない場合を言う。 例えば、奇数全体からなる集合は、整数全体からなる集合の sum-free（部分）集合であり、N が偶数のとき、集合 {N/ 2 + 1 , ..., N} は、集合 {1, ..., N} の大きな sum-free 部分集合となる。フェルマーの最終定理は、n > 2 のときに、0 を除く全ての整数の n 乗からなる集合は、整数の sum-free 部分集合であることと言うことと同じである。 sum-free（部分）集合についてのいくつかの基本的疑問は、下記のような疑問がある。
* 整数 N に対して、{1, ..., N} の sum-free 部分集合はどれくらい存在するのか？ベン・グリーン (Ben Green) は、 で、(Cameron–Erdős conjecture)の予想のとおり であることを示した。（スローンの A007865 も参考。）
* アーベル群 G はどれくらい sum-free（部分）集合をもっているのか？
* アーベル群 G の持つ sum-free で最も大きな（部分）集合のサイズはいくつか？ sum-free（部分）集合が極大とは他のsum-free（部分）集合の真部分集合ではないものを言う。 (ja)
- Свободное от сумм множество — множество, не включающее суммы своих элементов, используется в аддитивной комбинаторике и аддитивной теории чисел. Формально, подмножество абелевой группы является свободным от сумм, если его множество сумм не пересекается с . Другими словами, является свободным от сумм, если уравнение не имеет решения для . Например, множество нечётных чисел является свободным от сумм подмножеством целых чисел, а множество образует свободное от сумм подмножество множества (для чётного ). Великая теорема Ферма утверждает, что множество ненулевых -х степеней является свободным от целых подмножеством целых чисел для . Некоторые вопросы, возникающие по отношению к свободным от сумм множествам:
* Сколько свободных от сумм подмножеств множества существует для заданного ? Бен Грин и Александр Сапоженко показали, что ответ — , как было предположено в в гипотезе Кэмерона — Эрдёша.
* Сколько свободных от сумм подмножеств содержит абелева группа ?
* Какова величина наибольшего свободного от сумм подмножества, содержащегося в абелевой группе ? Свободное от сумм множество называется максимальным, если нет содержащего его большего свободного от сумм множества. (ru)
- Inom och additiv talteori är en delmängd A av en abelsk grupp G summafri om ekvationen saknar lösningar med . Exempelvis är mängden av udda tal en summafri delmängd av heltalen. Fermats stora sats säger att mängden av alla nollskilda n-te potenser är en summafri delmängd av heltalen för n > 2. Några grundläggande problem om summafria mängder är:
* Hur många summafria mängder av {1, ..., N} finns det för ett heltal N? har bevisat att svaret är , såsom Cameron–Erdős förmodan föreslår (see Sloane's ).
* Hur många summafria mängder innehåller en abelsk grupp G?
* Vad är maximala storleken av en summafri mängd av en abelsk grupp G? En summafri mängd kallas maximal om den inte är en äkta delmängd av en annan summafri mängd. (sv)
|
| rdfs:comment
|
- In additive combinatorics and number theory, a subset A of an abelian group G is said to be sum-free if the sumset A⊕A is disjoint from A. In other words, A is sum-free if the equation has no solution with . For example, the set of odd numbers is a sum-free subset of the integers, and the set {N+1, ..., 2N} forms a large sum-free subset of the set {1,...,2N}. Fermat's Last Theorem is the statement that, for a given integer n > 2, the set of all nonzero nth powers of the integers is a sum-free subset. Some basic questions that have been asked about sum-free sets are: (en)
- En combinatoire additive et en théorie additive des nombres, un sous-ensemble d'un groupe abélien est un ensemble sans somme si la somme d'ensembles est disjointe de . De manière équivalente, est sans somme si l'équation n'a pas de solution avec . Par exemple, l'ensemble des entiers impairs est un sous-ensemble sans somme des entiers ; de même, si N est un entier naturel pair, l'ensemble {N/2 + 1, … , N} est un sous-ensemble sans somme de {1, … , N}. La question suivante a été posée concernant les ensembles sans somme : Les premières valeurs sont : (fr)
- (additive combinatorics)や(additive number theory)では、アーベル群 G の部分集合 A が、sum-free とは、sumset が A と互いに素であるときを言う。言い換えると、A が sum-free 集合とは、式 a + b = c が a, b, c ∈ A では解を持たない場合を言う。 例えば、奇数全体からなる集合は、整数全体からなる集合の sum-free（部分）集合であり、N が偶数のとき、集合 {N/ 2 + 1 , ..., N} は、集合 {1, ..., N} の大きな sum-free 部分集合となる。フェルマーの最終定理は、n > 2 のときに、0 を除く全ての整数の n 乗からなる集合は、整数の sum-free 部分集合であることと言うことと同じである。 sum-free（部分）集合についてのいくつかの基本的疑問は、下記のような疑問がある。 sum-free（部分）集合が極大とは他のsum-free（部分）集合の真部分集合ではないものを言う。 (ja)
- Inom och additiv talteori är en delmängd A av en abelsk grupp G summafri om ekvationen saknar lösningar med . Exempelvis är mängden av udda tal en summafri delmängd av heltalen. Fermats stora sats säger att mängden av alla nollskilda n-te potenser är en summafri delmängd av heltalen för n > 2. Några grundläggande problem om summafria mängder är: En summafri mängd kallas maximal om den inte är en äkta delmängd av en annan summafri mängd. (sv)
- Свободное от сумм множество — множество, не включающее суммы своих элементов, используется в аддитивной комбинаторике и аддитивной теории чисел. Формально, подмножество абелевой группы является свободным от сумм, если его множество сумм не пересекается с . Другими словами, является свободным от сумм, если уравнение не имеет решения для . Например, множество нечётных чисел является свободным от сумм подмножеством целых чисел, а множество образует свободное от сумм подмножество множества (для чётного ). Некоторые вопросы, возникающие по отношению к свободным от сумм множествам: (ru)
|
