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- In der algebraischen Topologie versteht man unter einem Stack (englisch für „Stapel“) eine (auf eine bestimmte Art) kategorifizierte Garbe. Die Kategorifizierung besteht aus zwei Schritten: der Kategorifizierung einer Prägarbe und der des Abstiegsaxioms, dessen Erfüllung eine Prägarbe zu einer Garbe macht. Für einen topologischen Raum sei die Kategorie, deren Objekte surjektive stetige Abbildungen sind, und deren Morphismen surjektive stetige Abbildungen sind, so dass gilt.
* Eine Prägarbe über in einer Kategorie ist ein kontravarianter Funktor . Für jeden Morphismus und ein Pullback bekommt man ein induziertes kommutierendes Diagramm (mit umgedrehten Pfeilen). Gemäß der universellen Eigenschaft eines Pullbacks gibt es einen eindeutigen Morphismus in der Kategorie .
* Das Abstiegsaxiom für die Prägarbe lautet: Für jedes ist der Morphismus ein Isomorphismus. Man kann sich nun überlegen, dass diese Definitionen mit den eher gebräuchlichen aus dem Artikel über Garben übereinstimmt. Sie erlauben jedenfalls eine Kategorifizierung in natürlicher Art und Weise: Kategorien werden 2-Kategorien, Funktoren werden 2-Funktoren, Objekte werden Kategorien, Morphismen werden Funktoren, und Gleichungen von Morphismen werden natürliche Äquivalenzen. Dabei wird die Kategorie zu einer 2-Kategorie, indem man nur Identitäten als 2-Morphismen zulässt. Damit ergeben sich die folgenden Definitionen:
* Eine gefaserte Kategorie über in einer 2-Kategorie ist ein kontravarianter 2-Funktor .
* Das Abstiegsaxiom für eine gefaserte Kategorie lautet: Für jeden 1-Morphismus ist der Funktor eine Äquivalenz von Kategorien.
* Ein Stack ist eine gefaserte Kategorie, die das Abstiegsaxiom erfüllt. Bemerkung: Eigentlich sollte eine gefaserte Kategorie „Prä-Stack“ heißen, aber dieser Begriff ist bereits durch eine etwas andere, nicht-äquivalente Definition belegt. (de)
- In mathematics a stack or 2-sheaf is, roughly speaking, a sheaf that takes values in categories rather than sets. Stacks are used to formalise some of the main constructions of descent theory, and to construct fine moduli stacks when fine moduli spaces do not exist. Descent theory is concerned with generalisations of situations where isomorphic, compatible geometrical objects (such as vector bundles on topological spaces) can be "glued together" within a restriction of the topological basis. In a more general set-up the restrictions are replaced with pullbacks; fibred categories then make a good framework to discuss the possibility of such gluing. The intuitive meaning of a stack is that it is a fibred category such that "all possible gluings work". The specification of gluings requires a definition of coverings with regard to which the gluings can be considered. It turns out that the general language for describing these coverings is that of a Grothendieck topology. Thus a stack is formally given as a fibred category over another base category, where the base has a Grothendieck topology and where the fibred category satisfies a few axioms that ensure existence and uniqueness of certain gluings with respect to the Grothendieck topology. (en)
- 범주론과 대수기하학에서 스택(영어: stack, 프랑스어: champ)은 단면 집합이 단순한 집합이 아니라 준군 또는 범주를 이룰 수 있는, 층의 일반화이다. 이 추가 구조로 인하여, 스택은 오비폴드와 같이 군의 작용을 기억할 수 있으며, 또 각종 모듈라이 문제의 모듈라이 공간을 이룰 수 있다. (ko)
- 数学における園（えん、英: Stack) とは互いに関係づけられた2つの圏論的な概念を参照するものある。
* 標準的なは、の鍵概念である層型のを満足するである。
* は園の特殊なタイプであり、スキームの圏と代数的空間の圏の拡張となる。これらはモジュライ空間の研究において中心的な役割を担っている。 (ja)
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- La conclusion pratique à laquelle je suis arrivé dès maintenant, c'est que chaque fois que en vertu de mes critères, une variété de modules pour la classification des variations de certaines structures ne peut exister, malgré de bonnes hypothèses de platitude, propreté, et non singularité éventuellement, la raison en est seulement l'existence d'automorphismes de la structure qui empêche la technique de descente de marcher. (en)
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- Grothendieck's letter to Serre, 1959 Nov 5. (en)
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- 범주론과 대수기하학에서 스택(영어: stack, 프랑스어: champ)은 단면 집합이 단순한 집합이 아니라 준군 또는 범주를 이룰 수 있는, 층의 일반화이다. 이 추가 구조로 인하여, 스택은 오비폴드와 같이 군의 작용을 기억할 수 있으며, 또 각종 모듈라이 문제의 모듈라이 공간을 이룰 수 있다. (ko)
- 数学における園（えん、英: Stack) とは互いに関係づけられた2つの圏論的な概念を参照するものある。
* 標準的なは、の鍵概念である層型のを満足するである。
* は園の特殊なタイプであり、スキームの圏と代数的空間の圏の拡張となる。これらはモジュライ空間の研究において中心的な役割を担っている。 (ja)
- In der algebraischen Topologie versteht man unter einem Stack (englisch für „Stapel“) eine (auf eine bestimmte Art) kategorifizierte Garbe. Die Kategorifizierung besteht aus zwei Schritten: der Kategorifizierung einer Prägarbe und der des Abstiegsaxioms, dessen Erfüllung eine Prägarbe zu einer Garbe macht. Für einen topologischen Raum sei die Kategorie, deren Objekte surjektive stetige Abbildungen sind, und deren Morphismen surjektive stetige Abbildungen sind, so dass gilt.
* Eine Prägarbe über in einer Kategorie ist ein kontravarianter Funktor . Für jeden Morphismus und ein Pullback (de)
- In mathematics a stack or 2-sheaf is, roughly speaking, a sheaf that takes values in categories rather than sets. Stacks are used to formalise some of the main constructions of descent theory, and to construct fine moduli stacks when fine moduli spaces do not exist. (en)
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- Stack (Kategorientheorie) (de)
- 스택 (수학) (ko)
- 園 (数学) (ja)
- Stack (mathematics) (en)
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