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- In mathematics, the splitting principle is a technique used to reduce questions about vector bundles to the case of line bundles. In the theory of vector bundles, one often wishes to simplify computations, say of Chern classes. Often computations are well understood for line bundles and for direct sums of line bundles. In this case the splitting principle can be quite useful. Theorem — Let be a vector bundle of rank over a paracompact space . There exists a space , called the flag bundle associated to , and a map such that 1.
* the induced cohomology homomorphism is injective, and 2.
* the pullback bundle breaks up as a direct sum of line bundles: The theorem above holds for complex vector bundles and integer coefficients or for real vector bundles with coefficients. In the complex case, the line bundles or their first characteristic classes are called Chern roots. The fact that is injective means that any equation which holds in (say between various Chern classes) also holds in . The point is that these equations are easier to understand for direct sums of line bundles than for arbitrary vector bundles, so equations should be understood in and then pushed down to . Since vector bundles on are used to define the K-theory group , it is important to note that is also injective for the map in the above theorem. The splitting principle admits many variations. The following, in particular, concerns real vector bundles and their complexifications: Theorem — Let be a real vector bundle of rank over a paracompact space . There exists a space and a map such that 1.
* the induced cohomology homomorphism is injective, and 2.
* the pullback bundle breaks up as a direct sum of line bundles and their conjugates: (en)
- Em matemática, o princípio de divisão é uma técnica usada para reduzir questões sobre fibrados vectoriais para o caso de fibrados de linhas. Em sua forma mais comum, o princípio pode ser enunciado do seguinte modo: Teorema: Seja um fibrado vetorial de dimensão sobre um espaço paracompacto . Então existe uma variedade e uma aplicação tal que 1.
* o homomorfismo induzido na cohomologia é injetivo e 2.
* o pullback se divide como a soma direta de fibrados de linha: As classes de Chern são ditas as raízes de Chern de . O ponto é que, como é injetiva, toda fórmula envolvendo classes de Chern em vale também em . Para provarmos fórmulas do tipo, portanto, podemos considerar somente somas diretas de fibrados de linha. O princípio da divisão possui várias variações. A seguinte, em particular, trata de fibrados vetoriais reais e suas complexificações: Teorema: Seja um fibrado vetorial real de dimensão sobre um espaço paracompacto . Então existe um espaço e uma aplicação tal que 1.
* o homomorfismo induzido na cohomologia é injetivo e 2.
* o pullback se divide como a soma de fibrados de linha: (pt)
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- In mathematics, the splitting principle is a technique used to reduce questions about vector bundles to the case of line bundles. In the theory of vector bundles, one often wishes to simplify computations, say of Chern classes. Often computations are well understood for line bundles and for direct sums of line bundles. In this case the splitting principle can be quite useful. Theorem — Let be a vector bundle of rank over a paracompact space . There exists a space , called the flag bundle associated to , and a map such that (en)
- Em matemática, o princípio de divisão é uma técnica usada para reduzir questões sobre fibrados vectoriais para o caso de fibrados de linhas. Em sua forma mais comum, o princípio pode ser enunciado do seguinte modo: Teorema: Seja um fibrado vetorial de dimensão sobre um espaço paracompacto . Então existe uma variedade e uma aplicação tal que 1.
* o homomorfismo induzido na cohomologia é injetivo e 2.
* o pullback se divide como a soma direta de fibrados de linha: 1.
* o homomorfismo induzido na cohomologia é injetivo e 2.
* o pullback se divide como a soma de fibrados de linha: (pt)
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- Splitting principle (en)
- Princípio de divisão (pt)
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