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- In mathematics, the Markov–Kakutani fixed-point theorem, named after Andrey Markov and Shizuo Kakutani, states that a commuting family of continuous affine self-mappings of a compact convex subset in a locally convex topological vector space has a common fixed point. (en)
- En mathématiques, le théorème du point fixe de Markov-Kakutani s'énonce comme suit : Soient K un compact convexe non vide d'un espace vectoriel topologique séparé X et G un ensemble d'opérateurs affines continus sur X, qui commutent deux à deux et laissent K stable. Alors il existe dans K au moins un point fixe par tous les éléments de G. Il a été démontré par Markov dans le cas où l'espace vectoriel est localement convexe et par Kakutani dans le cas général. Démonstration
* Montrons d'abord, pour fixé dans G, que l'ensemble (compact convexe) de ses points fixes dans est non vide. Notons C le compact convexe . Soit un élément de . Pout tout entier , l'élémentappartient à C, or la suite des converge vers 0, puisque est borné et queComme C est fermé, on en déduit qu'il contient 0, c'est-à-dire qu'il existe bien dans un point fixe par .
* Du théorème quand G est un singleton (point précédent) on déduit facilement le théorème quand G est fini (par récurrence sur son cardinal).
* On en déduit le cas général grâce à la caractérisation en termes de fermés de la compacité de K. (fr)
- 数学において、マルコフ＝角谷の不動点定理（マルコフ＝かくたにのふどうてんていり、英: Markov-Kakutani fixed-point theorem）は、と角谷静夫の名にちなむ、局所凸位相ベクトル空間のコンパクト凸部分集合の連続な自己アフィン写像の可換族は共通の不動点を持つ、という定理である。 (ja)
- Twierdzenie Markowa-Kakutaniego – twierdzenie o punkcie stałym udowodnione przez Andrieja Markowa oraz mówiące o istnieniu wspólnego punktu stałego dla półgrupy ciągłych operatorów afinicznych określonych na wypukłym, zwartym podzbiorze przestrzeni lokalnie wypukłej. (pl)
- Теорема Маркова — Какутани о неподвижной точке гарантирует существование неподвижной точки для действия комутативной группы на выпуклом компактном множестве.Названа в честь Андрея Андреевича Маркова и Сидзуо Какутани. (ru)
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- In mathematics, the Markov–Kakutani fixed-point theorem, named after Andrey Markov and Shizuo Kakutani, states that a commuting family of continuous affine self-mappings of a compact convex subset in a locally convex topological vector space has a common fixed point. (en)
- 数学において、マルコフ＝角谷の不動点定理（マルコフ＝かくたにのふどうてんていり、英: Markov-Kakutani fixed-point theorem）は、と角谷静夫の名にちなむ、局所凸位相ベクトル空間のコンパクト凸部分集合の連続な自己アフィン写像の可換族は共通の不動点を持つ、という定理である。 (ja)
- Twierdzenie Markowa-Kakutaniego – twierdzenie o punkcie stałym udowodnione przez Andrieja Markowa oraz mówiące o istnieniu wspólnego punktu stałego dla półgrupy ciągłych operatorów afinicznych określonych na wypukłym, zwartym podzbiorze przestrzeni lokalnie wypukłej. (pl)
- Теорема Маркова — Какутани о неподвижной точке гарантирует существование неподвижной точки для действия комутативной группы на выпуклом компактном множестве.Названа в честь Андрея Андреевича Маркова и Сидзуо Какутани. (ru)
- En mathématiques, le théorème du point fixe de Markov-Kakutani s'énonce comme suit : Soient K un compact convexe non vide d'un espace vectoriel topologique séparé X et G un ensemble d'opérateurs affines continus sur X, qui commutent deux à deux et laissent K stable. Alors il existe dans K au moins un point fixe par tous les éléments de G. Il a été démontré par Markov dans le cas où l'espace vectoriel est localement convexe et par Kakutani dans le cas général. (fr)
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- Théorème du point fixe de Markov-Kakutani (fr)
- Markov–Kakutani fixed-point theorem (en)
- マルコフ＝角谷の不動点定理 (ja)
- Twierdzenie Markowa-Kakutaniego (pl)
- Теорема Маркова — Какутани о неподвижной точке (ru)
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