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- In abstract algebra, the weak dimension of a nonzero right module M over a ring R is the largest number n such that the Tor group is nonzero for some left R-module N (or infinity if no largest such n exists), and the weak dimension of a left R-module is defined similarly. The weak dimension was introduced by Henri Cartan and Samuel Eilenberg . The weak dimension is sometimes called the flat dimension as it is the shortest length of a resolution of the module by flat modules. The weak dimension of a module is at most equal to its projective dimension. The weak global dimension of a ring is the largest number n such that is nonzero for some right R-module M and left R-module N. If there is no such largest number n, the weak global dimension is defined to be infinite. It is at most equal to the left or right global dimension of the ring R. (en)
- 抽象代数学において、環 R 上の 0 でない右加群 M の弱次元（英: weak dimension）は、Tor群 TorRn (M, N) が 0 でない左 R 加群 N が存在するような最大の数 n（そのような n が存在しなければ無限大）である。左 R 加群の弱次元も同様に定義される。弱次元は Cartan and Eilenberg によって導入された。弱次元は平坦加群による加群の分解の最短の長さであるので平坦次元 (flat dimension) と呼ばれることもある。加群の弱次元は射影次元を超えない。 環の弱大局次元 (weak global dimension) は TorRn (M, N) が 0 でないような右 R 加群 M と左 R 加群 N が存在するような最大の数 n である。そのような n が存在しなければ、弱大局次元は無限大と定義される。それは環 R の左右の大局次元を超えない。 (ja)
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- 抽象代数学において、環 R 上の 0 でない右加群 M の弱次元（英: weak dimension）は、Tor群 TorRn (M, N) が 0 でない左 R 加群 N が存在するような最大の数 n（そのような n が存在しなければ無限大）である。左 R 加群の弱次元も同様に定義される。弱次元は Cartan and Eilenberg によって導入された。弱次元は平坦加群による加群の分解の最短の長さであるので平坦次元 (flat dimension) と呼ばれることもある。加群の弱次元は射影次元を超えない。 環の弱大局次元 (weak global dimension) は TorRn (M, N) が 0 でないような右 R 加群 M と左 R 加群 N が存在するような最大の数 n である。そのような n が存在しなければ、弱大局次元は無限大と定義される。それは環 R の左右の大局次元を超えない。 (ja)
- In abstract algebra, the weak dimension of a nonzero right module M over a ring R is the largest number n such that the Tor group is nonzero for some left R-module N (or infinity if no largest such n exists), and the weak dimension of a left R-module is defined similarly. The weak dimension was introduced by Henri Cartan and Samuel Eilenberg . The weak dimension is sometimes called the flat dimension as it is the shortest length of a resolution of the module by flat modules. The weak dimension of a module is at most equal to its projective dimension. (en)
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- 弱次元 (ja)
- Weak dimension (en)
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