| dbo:abstract
|
- En matemàtiques, i en particular en aritmètica modular, el teorema d'Euler és un teorema, anomenat així en honor del matemàtic suís Leonhard Euler, que estableix que DemostracióSi a és coprimer amb n, llavors la multiplicació per a permuta el residu de les classes mòdul n que siguin coprimeres amb n; en altres paraules (escrivint R per indicar el conjunt que consisteix en els φ(n) d'aquestes classes diferents) els conjunts { x : x de R } i { ax : x de R } són iguals; per tant, els seus productes són iguals. Així, P ≡ aφ(n)P (mod n) on P és el primer d'aquests productes. Com que P és coprimer amb n, en resulta que aφ(n) ≡ 1 (mod n). Aquest teorema és una generalització del petit teorema de Fermat (que no tracta més que el cas on n és un nombre primer), i al seu torn és una cas particular del . Aquest teorema permet simplificar el càlcul de les potències mòdul n. Per exemple, si es vol trobar el valor de mòdul , és a dir trobar a quina classe és congruent mòdul , n'hi ha prou amb veure que 7 i 10 són primers entre ells, i que . Per tant el teorema d'Euler indica que se'n dedueix que Per tant la xifra buscada és . (ca)
- Eulerova věta (také známá jako Eulerova-Fermatova věta) je v teorii čísel označení pro tvrzení, které říká, že pro každé přirozené číslo n a přirozené číslo a nesoudělné s n platí , kde φ(n) je Eulerova funkce a "... ≡ ... (mod n)" značí kongruenci, tedy rovnost ve smyslu modulární aritmetiky. Věta je zobecněním Malé Fermatovy věty, naopak ji samu zobecňuje Carmichaelova věta. (cs)
- في نظرية الأعداد، مبرهنة أويلر لصاحبها ليونارد أويلر تنص على أنه إذا كان n عددا طبيعيا وa أوليا مع n، فإن a مرفع لقوة يطابق 1 قياس n: حيث دالة أويلر أو مؤشر أويلر في 1736، قدم أويلر إثباته لمبرهنة فيرما الصغرى، والتي قدمها فيرما دون إثبات. بعد ذلك، قدم أويلر أدلة أخرى على النظرية، وبلغت ذروتها بـ «نظرية أويلر» في ورقته البحثية عام 1763، والتي حاول فيها إيجاد أصغر أس الذي به تكون نظرية فيرما الصغرى صحيحة دائمًا. النظرية تعد تعميماً لنظرية فيرما الصغرى، ويمكن تعميمها إلى مبرهنة كارمايكل. يمكن استخدام المبرهنة لإيجاد البواقي لإعداد ذات قوى كبيرة ل"n" بسهولة. على سبيل المثال: لإيجاد وحدة الآحاد للعدد والذي يكافئ إذا آحاد العدد هو 9 (ar)
- Der Satz von Euler, auch als Satz von Euler-Fermat benannt nach Leonhard Euler und Pierre de Fermat, stellt eine Verallgemeinerung des kleinen fermatschen Satzes auf beliebige (nicht notwendigerweise prime) Moduli dar. (de)
- Το θεώρημα του Όιλερ ονόμαστηκε έτσι προς τιμή του γερμανόφωνου Ελβετού μαθηματικού Λέοναρντ Όιλερ (Leonhard Euler). Δηλώνει ότι για κάθε φυσικό αριθμό ισχύει: , όπου οι α και n σχετικά πρώτοι (i.e. πρώτοι μεταξύ τους).Δηλώνει δηλαδή ότι το είναι ισοδύναμο της μονάδας ως προς n ή αλλιώς ότι το n διαιρεί το . Με συμβολίζεται η συνάρτηση Όιλερ (totient function), που μας δίνει το πλήθος των φυσικών αριθμών, μικρότερων ή ίσων του n, που είναι σχετικά πρώτοι με το n. Εξήγηση: στο Ζ10 έχουμε 14=1, 24=6, 34=1, 44=6, 54=5, 64=6, 74=1, 84=6, 94=1. Ο Όιλερ παρατήρησε ότι το α4=1 συμβαίνει για α=1, 3, 7, 9, δηλ. όποτε οι α, 10 είναι πρώτοι μεταξύ τους. Το θεώρημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να μειωθούν εύκολα μεγάλες δυνάμεις (modulo n). Για παράδειγμα στο 7222 (mod 10), επειδή οι αριθμοί 7 και 10 είναι πρώτοι μεταξύ τους και φ(10) = φ(2 x 5) = (2-1)(5-1) = 4, από το θεώρημα του Όιλερ ισχύει 74 ≡ 1 (mod 10), έτσι έχουμε 7222 ≡ 74 × 55 + 2 ≡ (74)55 × 72 ≡ 155 × 72 ≡ 49 ≡ 9 (mod 10). Εφαρμόζεται στους αλγόριθμους RSA. Το θεώρημα του Όιλερ αποτελεί γενίκευση του μικρού θεωρήματος του Φερμά:Για , p πρώτος αριθμός, ισχύει .Η παραπάνω σχέση γράφεται τότε ως , που αποτελεί την έκφραση του μικρού θεωρήματος του Φερμά. Το θεώρημα του Όιλερ στη Θεωρία Αριθμών ονομάζεται και Όιλερ-Φερμά ή Euler-totient για να ξεχωρίζει από θεώρημα του Όιλερ στη Γεωμετρία για τα στερεά. Το θεώρημα του Όιλερ μπορεί να γενικευθεί με το . (el)
- In number theory, Euler's theorem (also known as the Fermat–Euler theorem or Euler's totient theorem) states that, if n and a are coprime positive integers, and is Euler's totient function, then a raised to the power is congruent to 1 modulo n; that is In 1736, Leonhard Euler published a proof of Fermat's little theorem (stated by Fermat without proof), which is the restriction of Euler's theorem to the case where n is a prime number. Subsequently, Euler presented other proofs of the theorem, culminating with his paper of 1763, in which he proved a generalization to the case where n is not prime. The converse of Euler's theorem is also true: if the above congruence is true, then and must be coprime. The theorem is further generalized by Carmichael's theorem. The theorem may be used to easily reduce large powers modulo . For example, consider finding the ones place decimal digit of , i.e. . The integers 7 and 10 are coprime, and . So Euler's theorem yields , and we get . In general, when reducing a power of modulo (where and are coprime), one needs to work modulo in the exponent of : if , then . Euler's theorem underlies the RSA cryptosystem, which is widely used in Internet communications. In this cryptosystem, Euler's theorem is used with n being a product of two large prime numbers, and the security of the system is based on the difficulty of factoring such an integer. (en)
- En teoría de números el teorema de Euler, también conocido como teorema de Euler-Fermat, es una generalización del pequeño teorema de Fermat, y como tal afirma una proposición sobre la divisibilidad de los números enteros. El teorema establece que: sin embargo, es más común encontrarlo con notación moderna en la siguiente forma: donde φ(n) es la función φ de Euler. (es)
- Dalam teori bilangan, teorema Euler (juga dikenal sebagai teorema Fermat–Euler atau teorema total Euler) menyatakan bahwa jika n dan a adalah bilangan bulat positif yang saling koprima, maka a pangkat fungsi phi Euler dari n akan kongruen dengan satu dalam modulo n. Secara matematis hal ini dapat dinyatakan sebagai dengan adalah fungsi phi Euler. Pada tahun 1736, Leonhard Euler mempublikasikan bukti teorema kecil Fermat versinya, karena Fermat tidak menyertakan bukti teorema tersebut. Selanjutnya, Euler menerbitkan bukti lain dari teorema tersebut, yang berpuncak pada "Teorema Euler" dalam penelitiannya tahun 1763, di mana ia mencoba untuk menemukan eksponen terkecil sehinga teorema kecil Fermat selalu bernilai benar. Kebalikan dari teorema Euler: jika kekongruenan di atas benar, maka dan saling koprima. Untuk kasus adalah suatu bilangan prima , teorema Euler adalah perumuman dari teorema kecil Fermat. Pada kasus ini, nilai , dan dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan , teorema Euler dapat ditulis sebagai Teorema Euler juga dapat diperumum lebih lanjut dengan . Teorema Euler dapat digunakan untuk mengurangi nilai pangkat yang besar pada modulo . Misalnya, anggap kita perlu untuk mencari digit desimal tempat satuan dari , dengan kata lain, mencari nilai dari . Kita dapat mencari bahwa nilai , dan mengetahui angka 7 dan 10 saling koprima. Selanjutnya, dengan menggunakan teorema Euler didapatkan . Selanjutnya kita tinggal menyederhanakan bentuk seperti berikut . Secara umum, mengurangi nilai pangkat dari pada modulo (dengan dan saling koprima), kita cukup bekerja pada modulo dalam perpangkatan : jika , maka . Teorema Euler menjadi dasar algoritma RSA, yang banyak digunakan dalam sistem komunikasi di Internet. Dalam algoritma ini, teorema Euler digunakan bersama sebuah bilangan n yang merupakan hasil kali dari dua bilangan prima besar. Tingkat keamanan algoritma tersebut didasarkan pada tingkat kesulitan untuk bilangan n. (in)
- En mathématiques, le théorème d'Euler ou d'Euler-Fermat en arithmétique modulaire, publié en 1761 par le mathématicien suisse Leonhard Euler, s'énonce ainsi : Pour tout entier n > 0 et tout entier a premier avec n (autrement dit : inversible mod n), où φ est la fonction indicatrice d'Euler et mod désigne la congruence sur les entiers. Ce théorème est une généralisation du petit théorème de Fermat qui, lui, ne traite que le cas où n est un nombre premier. Il se démontre en remarquant que l'exposant λ(n) (appelé l'indicatrice de Carmichael de n) du groupe (ℤ/nℤ)× des inversibles de l'anneau ℤ/nℤ est un diviseur de l'ordre φ(n) de ce groupe (cette propriété, commune à tous les groupes finis, se déduit du théorème de Lagrange sur les groupes). Il permet la réduction modulo n de puissances. Par exemple, si l'on veut trouver le chiffre des unités de 7222, c'est-à-dire trouver à quel nombre entre 0 et 9 est congru 7222 modulo 10, il suffit de voir que 7 et 10 sont premiers entre eux, et que φ(10) = 4. Le théorème d'Euler nous indique donc queOn en déduit queLe chiffre recherché est donc 9. (fr)
- ( 기하학 정리에 대해서는 오일러 삼각형 정리 문서를 참고하십시오.) 오일러 정리(영어: Euler’s theorem)는 수론의 하나로, 페르마의 소정리를 일반화한 정리의 하나이다. (ko)
- De stelling van Euler (ook wel Eulers totiëntstelling genoemd) is een bewering uit de elementaire getaltheorie, genoemd naar de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler. De stelling van Euler is een generalisatie van de kleine stelling van Fermat, en is daardoor niet langer beperkt tot alleen priemgetallen. De stelling wordt op haar beurt zelf gegeneraliseerd door de . (nl)
- 数論において、オイラーの定理（Euler's theorem）は初等整数論の最も基本的な定理の一つである。 (ja)
- In matematica, e in particolare in teoria dei numeri, il teorema di Eulero (detto anche teorema di Fermat-Eulero) afferma che se è un intero positivo ed è coprimo rispetto ad , allora: dove indica la funzione phi di Eulero e la relazione di congruenza modulo . Questo teorema è una generalizzazione del piccolo teorema di Fermat, ed è ulteriormente generalizzato dal teorema di Carmichael. (it)
- Twierdzenie Eulera o liczbach względnie pierwszych to twierdzenie teorii liczb, które mówi, co następuje: (pl)
- Eulers sats inom talteorin säger att för positiva heltal a och n sådana att a och n är relativt prima så gäller där φ(n) betecknar Eulers φ-funktion. Satsen är en generalisering av Fermats lilla sats. En viktig tillämpning av satsen är vid RSA-kryptering, då man utnyttjar att det för heltal a och primtal p och q sådana att p ≠ q och SGD(a,p) = SGD(a,q) = 1 gäller att a(p-1)(q-1) ≡ 1 (mod p⋅q), vilket följer av satsen eftersom Φ(p⋅q) = (p-1)(q-1), om p och q är olika primtal och SGD(a,pq) = 1. Satsen kan användas för att lättare reducera stora potenser modulo n. Betrakta till exempel problemet att hitta den sista decimalsiffran av 7222, dvs 7222 (mod 10). Notera att 7 och 10 är relativt prima, och att φ(10) = 4. Eulers sats ger att 74 = 1 (mod 10), och vi får 7222 = 74·55 + 2 = (74)55·72 = 155·72 = 49 = 9 (mod 10). Generellt när man reducerar en potens av a modulo n (där a och n är relativt prima) måste man arbeta modulo φ(n) i exponenten till a. Detta är innebörden i en alternativ formulering av Eulers sats, nämligen att om a och n är relativt prima så gäller: (sv)
- Devido à numerosa produção teórica de Leonhard Euler, a expressão Teorema de Euler pode ser aplicada a um grande número de teoremas matemáticos e físicos:
* O Teorema do Deslocamento de Euler, ou Teorema da Rotação de Euler, em Mecânica dos Corpos Rígidos
* O Teorema da Distribuição de Euler, em Geometria
* O Teorema do Tociente, ou Teorema de Fermat-Euler, em Teoria dos Números
* O Teorema de Euler em Trigonometria
* O Teorema de Euler sobre as Diferenciais Exatas, em Cálculo (pt)
- Теорема Ейлера (Ойлера) — одне з основних тверджень елементарної теорії чисел стверджує, що якщо і взаємно_прості, то , де — функція Ейлера. Частковим випадком теореми Ейлера при простому є мала теорема Ферма. В свою чергу теорема Ейлера є частковим випадком теореми Лагранжа. (uk)
- 在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若为正整数，且互素（即），则 即与1在模n下同余；φ(n)为欧拉函数。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉。 欧拉定理实际上是费马小定理的推广。 (zh)
- Теоре́ма Э́йлера в теории чисел гласит: Важным следствием теоремы Эйлера для случая простого модуля является малая теорема Ферма: В свою очередь, теорема Эйлера является следствием общеалгебраической теоремы Лагранжа, применённой к приведённой системе вычетов по модулю . (ru)
|
| rdfs:comment
|
- Eulerova věta (také známá jako Eulerova-Fermatova věta) je v teorii čísel označení pro tvrzení, které říká, že pro každé přirozené číslo n a přirozené číslo a nesoudělné s n platí , kde φ(n) je Eulerova funkce a "... ≡ ... (mod n)" značí kongruenci, tedy rovnost ve smyslu modulární aritmetiky. Věta je zobecněním Malé Fermatovy věty, naopak ji samu zobecňuje Carmichaelova věta. (cs)
- Der Satz von Euler, auch als Satz von Euler-Fermat benannt nach Leonhard Euler und Pierre de Fermat, stellt eine Verallgemeinerung des kleinen fermatschen Satzes auf beliebige (nicht notwendigerweise prime) Moduli dar. (de)
- En teoría de números el teorema de Euler, también conocido como teorema de Euler-Fermat, es una generalización del pequeño teorema de Fermat, y como tal afirma una proposición sobre la divisibilidad de los números enteros. El teorema establece que: sin embargo, es más común encontrarlo con notación moderna en la siguiente forma: donde φ(n) es la función φ de Euler. (es)
- ( 기하학 정리에 대해서는 오일러 삼각형 정리 문서를 참고하십시오.) 오일러 정리(영어: Euler’s theorem)는 수론의 하나로, 페르마의 소정리를 일반화한 정리의 하나이다. (ko)
- De stelling van Euler (ook wel Eulers totiëntstelling genoemd) is een bewering uit de elementaire getaltheorie, genoemd naar de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler. De stelling van Euler is een generalisatie van de kleine stelling van Fermat, en is daardoor niet langer beperkt tot alleen priemgetallen. De stelling wordt op haar beurt zelf gegeneraliseerd door de . (nl)
- 数論において、オイラーの定理（Euler's theorem）は初等整数論の最も基本的な定理の一つである。 (ja)
- In matematica, e in particolare in teoria dei numeri, il teorema di Eulero (detto anche teorema di Fermat-Eulero) afferma che se è un intero positivo ed è coprimo rispetto ad , allora: dove indica la funzione phi di Eulero e la relazione di congruenza modulo . Questo teorema è una generalizzazione del piccolo teorema di Fermat, ed è ulteriormente generalizzato dal teorema di Carmichael. (it)
- Twierdzenie Eulera o liczbach względnie pierwszych to twierdzenie teorii liczb, które mówi, co następuje: (pl)
- Devido à numerosa produção teórica de Leonhard Euler, a expressão Teorema de Euler pode ser aplicada a um grande número de teoremas matemáticos e físicos:
* O Teorema do Deslocamento de Euler, ou Teorema da Rotação de Euler, em Mecânica dos Corpos Rígidos
* O Teorema da Distribuição de Euler, em Geometria
* O Teorema do Tociente, ou Teorema de Fermat-Euler, em Teoria dos Números
* O Teorema de Euler em Trigonometria
* O Teorema de Euler sobre as Diferenciais Exatas, em Cálculo (pt)
- Теорема Ейлера (Ойлера) — одне з основних тверджень елементарної теорії чисел стверджує, що якщо і взаємно_прості, то , де — функція Ейлера. Частковим випадком теореми Ейлера при простому є мала теорема Ферма. В свою чергу теорема Ейлера є частковим випадком теореми Лагранжа. (uk)
- 在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若为正整数，且互素（即），则 即与1在模n下同余；φ(n)为欧拉函数。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉。 欧拉定理实际上是费马小定理的推广。 (zh)
- Теоре́ма Э́йлера в теории чисел гласит: Важным следствием теоремы Эйлера для случая простого модуля является малая теорема Ферма: В свою очередь, теорема Эйлера является следствием общеалгебраической теоремы Лагранжа, применённой к приведённой системе вычетов по модулю . (ru)
- في نظرية الأعداد، مبرهنة أويلر لصاحبها ليونارد أويلر تنص على أنه إذا كان n عددا طبيعيا وa أوليا مع n، فإن a مرفع لقوة يطابق 1 قياس n: حيث دالة أويلر أو مؤشر أويلر في 1736، قدم أويلر إثباته لمبرهنة فيرما الصغرى، والتي قدمها فيرما دون إثبات. بعد ذلك، قدم أويلر أدلة أخرى على النظرية، وبلغت ذروتها بـ «نظرية أويلر» في ورقته البحثية عام 1763، والتي حاول فيها إيجاد أصغر أس الذي به تكون نظرية فيرما الصغرى صحيحة دائمًا. النظرية تعد تعميماً لنظرية فيرما الصغرى، ويمكن تعميمها إلى مبرهنة كارمايكل. إذا آحاد العدد هو 9 (ar)
- En matemàtiques, i en particular en aritmètica modular, el teorema d'Euler és un teorema, anomenat així en honor del matemàtic suís Leonhard Euler, que estableix que DemostracióSi a és coprimer amb n, llavors la multiplicació per a permuta el residu de les classes mòdul n que siguin coprimeres amb n; en altres paraules (escrivint R per indicar el conjunt que consisteix en els φ(n) d'aquestes classes diferents) els conjunts { x : x de R } i { ax : x de R } són iguals; per tant, els seus productes són iguals. Així, P ≡ aφ(n)P (mod n) on P és el primer d'aquests productes. aφ(n) ≡ 1 (mod n). (ca)
- Το θεώρημα του Όιλερ ονόμαστηκε έτσι προς τιμή του γερμανόφωνου Ελβετού μαθηματικού Λέοναρντ Όιλερ (Leonhard Euler). Δηλώνει ότι για κάθε φυσικό αριθμό ισχύει: , όπου οι α και n σχετικά πρώτοι (i.e. πρώτοι μεταξύ τους).Δηλώνει δηλαδή ότι το είναι ισοδύναμο της μονάδας ως προς n ή αλλιώς ότι το n διαιρεί το . Με συμβολίζεται η συνάρτηση Όιλερ (totient function), που μας δίνει το πλήθος των φυσικών αριθμών, μικρότερων ή ίσων του n, που είναι σχετικά πρώτοι με το n. Εφαρμόζεται στους αλγόριθμους RSA. , που αποτελεί την έκφραση του μικρού θεωρήματος του Φερμά. (el)
- In number theory, Euler's theorem (also known as the Fermat–Euler theorem or Euler's totient theorem) states that, if n and a are coprime positive integers, and is Euler's totient function, then a raised to the power is congruent to 1 modulo n; that is The converse of Euler's theorem is also true: if the above congruence is true, then and must be coprime. The theorem is further generalized by Carmichael's theorem. In general, when reducing a power of modulo (where and are coprime), one needs to work modulo in the exponent of : if , then . (en)
- Dalam teori bilangan, teorema Euler (juga dikenal sebagai teorema Fermat–Euler atau teorema total Euler) menyatakan bahwa jika n dan a adalah bilangan bulat positif yang saling koprima, maka a pangkat fungsi phi Euler dari n akan kongruen dengan satu dalam modulo n. Secara matematis hal ini dapat dinyatakan sebagai Kebalikan dari teorema Euler: jika kekongruenan di atas benar, maka dan saling koprima. Teorema Euler juga dapat diperumum lebih lanjut dengan . . jika , maka . (in)
- En mathématiques, le théorème d'Euler ou d'Euler-Fermat en arithmétique modulaire, publié en 1761 par le mathématicien suisse Leonhard Euler, s'énonce ainsi : Pour tout entier n > 0 et tout entier a premier avec n (autrement dit : inversible mod n), où φ est la fonction indicatrice d'Euler et mod désigne la congruence sur les entiers. Ce théorème est une généralisation du petit théorème de Fermat qui, lui, ne traite que le cas où n est un nombre premier. (fr)
- Eulers sats inom talteorin säger att för positiva heltal a och n sådana att a och n är relativt prima så gäller där φ(n) betecknar Eulers φ-funktion. Satsen är en generalisering av Fermats lilla sats. En viktig tillämpning av satsen är vid RSA-kryptering, då man utnyttjar att det för heltal a och primtal p och q sådana att p ≠ q och SGD(a,p) = SGD(a,q) = 1 gäller att a(p-1)(q-1) ≡ 1 (mod p⋅q), vilket följer av satsen eftersom Φ(p⋅q) = (p-1)(q-1), om p och q är olika primtal och SGD(a,pq) = 1. (sv)
|
