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- The Erdős–Szemerédi theorem in arithmetic combinatorics states that for every finite set of integers, at least one of , the set of pairwise sums or , the set of pairwise products form a significantly larger set. More precisely, the Erdős–Szemerédi theorem states that there exist positive constants c and such that for any non-empty set . It was proved by Paul Erdős and Endre Szemerédi in 1983. The notation denotes the cardinality of the set . The set of pairwise sums is and is called sum set of . The set of pairwise products is and is called the product set of . The theorem is a version of the maxim that additive structure and multiplicative structure cannot coexist. It can also be viewed as an assertion that the real line does not contain any set resembling a finite subring or finite subfield; it is the first example of what is now known as the sum-product phenomenon, which is now known to hold in a wide variety of rings and fields, including finite fields. (en)
- En combinatoire arithmétique, le théorème d'Erdős-Szemerédi assure qu'il existe des constantes strictement positives c et ε telles que pour tout ensemble fini A de réels, où | | désigne le cardinal, la somme d'ensembles de A avec lui-même et Il peut arriver que A soit de taille comparable à A + A (si A est en progression arithmétique) ou à A ∙ A (si A est en progression géométrique). Le théorème de Erdős-Szemerédi peut donc s'interpréter informellement en disant qu'un « gros » ensemble ne peut « se comporter » simultanément comme une progression arithmétique et une progression géométrique ; on peut aussi dire que la droite réelle ne contient pas d'ensemble qui « ressemble à » un sous-anneau fini. C'est le premier exemple de ce qu'on appelle maintenant le « phénomène somme-produit », dont on sait qu'il a lieu pour beaucoup d'anneaux et de corps, y compris des corps finis. Erdős et Szemerédi ont conjecturé qu'ε peut être choisi arbitrairement proche de 1. En 2009, le meilleur résultat dans cette direction est celui de Solymosi : ε peut être choisi arbitrairement proche de 1/3. (fr)
- Inom är Erdős–Szemerédis sats, bevisad av Paul Erdős och 1983, en sats som säger att för varje ändlig mängd A av reella tal finns det konstanter c och så att där och . (sv)
- Теорема сумм-произведений — теорема арифметической комбинаторики, устанавливающая неструктурированность любого достаточно большого множества относительно хотя бы одной из операций поля (сложения и умножения). В качестве показателя структурированности используются, соответственно, размеры множества сумм и множества произведений. (ru)
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- Inom är Erdős–Szemerédis sats, bevisad av Paul Erdős och 1983, en sats som säger att för varje ändlig mängd A av reella tal finns det konstanter c och så att där och . (sv)
- Теорема сумм-произведений — теорема арифметической комбинаторики, устанавливающая неструктурированность любого достаточно большого множества относительно хотя бы одной из операций поля (сложения и умножения). В качестве показателя структурированности используются, соответственно, размеры множества сумм и множества произведений. (ru)
- The Erdős–Szemerédi theorem in arithmetic combinatorics states that for every finite set of integers, at least one of , the set of pairwise sums or , the set of pairwise products form a significantly larger set. More precisely, the Erdős–Szemerédi theorem states that there exist positive constants c and such that for any non-empty set . It was proved by Paul Erdős and Endre Szemerédi in 1983. The notation denotes the cardinality of the set . The set of pairwise sums is and is called sum set of . The set of pairwise products is and is called the product set of . (en)
- En combinatoire arithmétique, le théorème d'Erdős-Szemerédi assure qu'il existe des constantes strictement positives c et ε telles que pour tout ensemble fini A de réels, où | | désigne le cardinal, la somme d'ensembles de A avec lui-même et Erdős et Szemerédi ont conjecturé qu'ε peut être choisi arbitrairement proche de 1. En 2009, le meilleur résultat dans cette direction est celui de Solymosi : ε peut être choisi arbitrairement proche de 1/3. (fr)
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- Erdős–Szemerédi theorem (en)
- Théorème d'Erdős-Szemerédi (fr)
- Теорема сумм-произведений (ru)
- Erdős–Szemerédis sats (sv)
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