| dbo:abstract
|
- Der Satz von Desargues, benannt nach dem französischen Mathematiker Gérard Desargues, ist zusammen mit dem Satz von Pappos einer der Schließungssätze, die für die affine und die projektive Geometrie als Axiome grundlegend sind. Er wird je nach zugrundeliegender Geometrie in einer affinen oder einer projektiven Variante formuliert. In beiden Formen kann der desarguessche aus dem papposschen Satz gefolgert werden. Da es sowohl affine als auch projektive Ebenen gibt, in denen der Satz von Desargues, aber nicht der Satz von Pappos allgemeingültig ist, stellt er eine echte Abschwächung des Satzes von Pappos dar. Projektive Form: Wenn sich die Geraden durch zwei sich entsprechende Eckpunkte (siehe Bild) zweier in einer Ebene gelegener Dreiecke und in einem Punkt (dem „Zentrum“) schneiden und die sich entsprechenden verlängerten Seiten sich jeweils in Punkten schneiden, so liegen diese drei Punkte auf einer Geraden (der „Achse“). Die Umkehrung gilt auch. Projektiv bedeutet hier: alle vorkommenden Geraden schneiden sich, was in einer affinen Ebene nicht der Fall sein muss (siehe affine Form am Ende der Einleitung). Liegt bei einer Konfiguration das Zentrum auf der Achse , so spricht man vom kleinen Satz von Desargues. Affine Form: Wenn sich die Geraden durch zwei sich entsprechende Eckpunkte zweier in einer Ebene gelegener Dreiecke in einem Punkt schneiden und zwei Paare korrespondierender Seiten der Dreiecke parallel sind, so ist auch das dritte Paar korrespondierender Seiten parallel. Die affine Form des kleinen Satzes von Desargues ergibt sich, wenn statt des gemeinsamen Schnittpunkts die Parallelität der Trägergeraden , , vorausgesetzt wird. (de)
- مبرهنة ديزارغ (بالإنجليزية: Desargues's theorem) هي مبرهنة في هندسة الإسقاط، سميت على اسم العالم جيرار ديزارغ، نصها كما يلي: في ، يكون مثلثان منظوران محورياً إذا وفقط إذا كانا منظوران مركزياً. من أجل فهم المبرهنة، ليكن لدينا ثلاث نقاط على مثلث ما (نرمز لها بأحرف صغيرة a, b, c) وثلاث نقاط على مثلث آخر (بأحرف كبيرة A, B, C). إن المنظورية المحورية تكون محققة إذا وفقط إذا كانت نقط تقاطع امتداد اضلع المثلثين، مثلاً تقاطع ab مع AB و ac مع AC و bc مع BC، ينتمون إلى نفس الخط الذي يدعى محور المنظورية. وتتحقق المنظورية المركزية إذا وفقط إذا تقاطعت المستقيمات Aa، Bb، Cc في نقطة واحدة هي مركز المنظور. (ar)
- In projective geometry, Desargues's theorem, named after Girard Desargues, states: Two triangles are in perspective axially if and only if they are in perspective centrally. Denote the three vertices of one triangle by a, b and c, and those of the other by A, B and C. Axial perspectivity means that lines ab and AB meet in a point, lines ac and AC meet in a second point, and lines bc and BC meet in a third point, and that these three points all lie on a common line called the axis of perspectivity. Central perspectivity means that the three lines Aa, Bb and Cc are concurrent, at a point called the center of perspectivity. This intersection theorem is true in the usual Euclidean plane but special care needs to be taken in exceptional cases, as when a pair of sides are parallel, so that their "point of intersection" recedes to infinity. Commonly, to remove these exceptions, mathematicians "complete" the Euclidean plane by adding points at infinity, following Jean-Victor Poncelet. This results in a projective plane. Desargues's theorem is true for the real projective plane and for any projective space defined arithmetically from a field or division ring; that includes any projective space of dimension greater than two or in which Pappus's theorem holds. However, there are many "non-Desarguesian planes", in which Desargues's theorem is false. (en)
- En geometría proyectiva, el teorema de Desargues, llamado así en honor al geómetra y arquitecto francés Gérard Desargues (1591-1661) que lo enunció en 1638, expone: Considere los triángulos ABC y DEF. El que los triángulos sean proyectivos desde un punto significa que las rectas AD, BE y CF concurren en un mismo punto O. De modo parecido, el que los triángulos sean proyectivos desde una recta significa que los pares de lados (AB, DE), (BC, EF) y (AC, DF) se cortan respectivamente sobre una misma recta r. Al punto O se le llama centro de perspectiva y a la recta r, eje de perspectiva. (es)
- En mathématiques, le théorème de Desargues, du nom du mathématicien et architecte Girard Desargues, est un théorème de géométrie projective, qui possède plusieurs variantes en géométrie affine. Il s'énonce uniquement en matière d'alignement de points et d'intersection de droites (voir ci-contre). Le théorème de Desargues se démontre dans un plan ou un espace construit sur un corps quelconque (non nécessairement commutatif). Il se démontre également dans un espace de dimension supérieure ou égale à 3 caractérisé axiomatiquement en matière d'incidence (par exemple, dans le cas de la géométrie affine, par les axiomes de Hilbert). En géométrie plane il peut être pris pour axiome, et caractérise alors, parmi les plans vus comme structures d'incidence, ceux qui peuvent être construits sur un corps (voir, pour le cas affine, Plan affine (structure d'incidence) et Plan affine arguésien). (fr)
- 데자르그의 정리(Desargues' theorem, -定理)는 지라르 데자르그가 증명한, 임의의 두 삼각형의 위치 관계에 대한 정리이다. 파스칼의 정리 등과 함께 사영기하학의 기초를 이루는 정리이다. 다음과 같은 내용이다. 공간상의 두 임의의 삼각형 ABC와 abc에 대하여, Aa, Bb, Cc를 연장한 직선들이 한 점에서 만날 때(이하 모두 연장한 직선), AB와 ab, BC와 bc, CA와 ca의 교점은 한 직선 위에 놓인다. 사영기하학적으로는 다음과 같이 쓸 수 있다. 두 삼각형이 (central perspectivity)이면 (axial perspectivity)이다. 이 정리는 일반적인 유클리드 공간이나 유클리드 평면 상에서도 성립하는 정리이나, 그보다 일반적인 사영기하학에서 통상 다루어지는 정리이다. 이 정리의 쌍대 정리는 전혀 다른 정리가 되는 것이 아니라 데자르그 정리 자체의 역이 된다. 중심배경과 축배경이 필요충분조건이라는 것을 데자르그의 정리라 보는 경우도 있다. 이 경우 데자르그의 정리는 (self-dual)이다. (ko)
- De stelling van Desargues is een stelling in de meetkunde, genoemd naar de Franse wiskundige en ingenieur Girard Desargues (1591-1661). Hij publiceerde de stelling in 1636. Van twee driehoeken liggen de drie snijpunten van corresponderende zijden op één lijn, dan en slechts dan als de drie verbindingslijnen van de corresponderende hoekpunten door één punt gaan. Zie de figuur. Deze figuur heet configuratie van Desargues. De stelling is zelfduaal. In het diagram hiernaast snijden de corresponderende zijden ({AB,ab}, {AC,ac} en {BC,bc}) van beide driehoeken elkaar twee aan twee op de perspectiviteitsas en snijden de drie verbindingslijnen (Aa, Bb en Cc) van corresponderende hoekpunten elkaar in het perspectiviteitscentrum. Ieder punt kan als nieuw perspectiviteitscentrum worden gekozen, om zo een nieuwe situatie op te leveren waarin de stelling evenzeer van kracht is. (nl)
- デザルグの定理（デザルグの-ていり、théorème de Desargues）とは、ジラール・デザルグが証明した空間内の二つの三角形の相互の関係に関するアフィン幾何学（ユークリッド幾何学）および射影幾何学の定理である。 パスカルの定理とともに射影幾何学の基本定理の一つとして知られる。 (ja)
- Twierdzenie Desargues’a – jedno z pierwszych twierdzeń geometrii rzutowej, sformułowane i udowodnione w XVII wieku przez francuskiego matematyka Gerarda Desargues’a. Wraz z twierdzeniem Pascala stanowi przykład twierdzenia, które jest niezależne od oryginalnego układu aksjomatów geometrii podanego przez Euklidesa – oznacza to, że nie da się go udowodnić ani obalić, bez przyjęcia dodatkowych założeń. Twierdzenie Desargues’a wyrażone w języku geometrii euklidesowej stwierdza, co następuje: Jeżeli dwa trójkąty położone są na płaszczyźnie w taki sposób, że trzy proste wyznaczone przez odpowiednie pary ich wierzchołków są współpękowe (rysunek obok), to trzy punkty przecięcia odpowiednich par boków (lub ich przedłużeń) są współliniowe. Twierdzenie to ma następujące, również prawdziwe, odwrócenie: Jeżeli dwa trójkąty położone są na płaszczyźnie w taki sposób, że trzy punkty przecięcia odpowiednich par boków (lub ich przedłużeń) są współliniowe, to trzy proste wyznaczone przez odpowiednie pary ich wierzchołków są współpękowe. W geometrii rzutowej oba te twierdzenia są przykładem tak zwanych twierdzeń dualnych. W wielu ujęciach oba twierdzenia łączy się w jedno twierdzenie w postaci równoważności dwóch warunków. W takiej postaci twierdzenie jest samodualne: Dwa trójkąty mają środek perspektywiczny wtedy i tylko wtedy, gdy mają oś perspektywiczną. (pl)
- Il teorema di Desargues, o dei triangoli omologici, è un teorema di geometria proiettiva che prende il nome dal matematico francese Girard Desargues. (it)
- Na geometria projetiva, o teorema de Desargues, enunciado em 1648, afirma que:Dois triângulos estão em perspectiva axial se, e somente se, estiverem em perspectiva central. Quando o teorema é estudado no espaço tridimensional, o eixo de perspectiva é a reta de fuga (também conhecida como linha do horizonte). (pt)
- Теорема Дезарга является одной из основных теорем проективной геометрии. (ru)
- Inom projektiv geometri säger Desargues sats, uppkallad efter Gérard Desargues, att: Om två trianglar ABC och A'B'C' är belägna på ett sådant sätt att sammanbindningslinjerna mellan trianglarnas hörn (AA', BB' och CC') skär varandra i en punkt, kommer skärningspunkterna mellan förlängningarna av trianglarnas motsvarande sidor (skärningspunkterna mellan AB och A'B', AC och A'C' respektive BC och B'C') att ligga på en rät linje. Denna incidenssats är normalt sann i det vanliga Euklidiska planet, men extra försiktighet krävs i speciella fall, som när ett par av sidor är parallella (deras "skärningspunkt" ligger då i oändligheten). Det matematiskt mest tillfredsställande sättet att lösa problemet med sådana exceptionella fall är att "komplettera" det Euklidiska planet till ett projektivt plan genom att lägga till enligt Poncelet. Desargues sats är sann för det , för varje som definieras aritmetiskt från en kropp eller divisionsring, för varje projektivt rum med en dimension skild från två samt för varje projektivt rum i vilket Pappos' sats gäller. Det finns dock några i vilka Desargues sats är falsk. (sv)
- 笛沙格定理（英語：Desargues's theorem）說明：在射影空間中，有六點A,B,C,a,b,c。Aa,Bb,Cc共點若且唯若AB∩ab,BC∩bc,CA∩ca共线。 在射影幾何的對偶性來看，笛沙格定理是自對偶的。 (zh)
- В проєктивній геометрії теорема Дезарга, названа на честь Жерара Дезарга, стверджує: в проєктивному просторі два трикутники перспективно осьові тоді і тільки тоді, якщо вони перспективно центральні. Позначимо три вершини одного трикутника (меншого розміру) a, b і c а іншого (більший) A, B і C. Осьова перспектива є тоді і тільки тоді, якщо точки перетину ab і AB, bc і BC, ac і AC — розміщені на одній прямій, яка називається вісь перспективи. Центральна перспектива є тоді і тільки тоді, якщо три лінії Aa, Bb і Cc — конкурентні в точці, яка називається центр перспективи. (uk)
|
| rdfs:comment
|
- مبرهنة ديزارغ (بالإنجليزية: Desargues's theorem) هي مبرهنة في هندسة الإسقاط، سميت على اسم العالم جيرار ديزارغ، نصها كما يلي: في ، يكون مثلثان منظوران محورياً إذا وفقط إذا كانا منظوران مركزياً. من أجل فهم المبرهنة، ليكن لدينا ثلاث نقاط على مثلث ما (نرمز لها بأحرف صغيرة a, b, c) وثلاث نقاط على مثلث آخر (بأحرف كبيرة A, B, C). إن المنظورية المحورية تكون محققة إذا وفقط إذا كانت نقط تقاطع امتداد اضلع المثلثين، مثلاً تقاطع ab مع AB و ac مع AC و bc مع BC، ينتمون إلى نفس الخط الذي يدعى محور المنظورية. وتتحقق المنظورية المركزية إذا وفقط إذا تقاطعت المستقيمات Aa، Bb، Cc في نقطة واحدة هي مركز المنظور. (ar)
- En geometría proyectiva, el teorema de Desargues, llamado así en honor al geómetra y arquitecto francés Gérard Desargues (1591-1661) que lo enunció en 1638, expone: Considere los triángulos ABC y DEF. El que los triángulos sean proyectivos desde un punto significa que las rectas AD, BE y CF concurren en un mismo punto O. De modo parecido, el que los triángulos sean proyectivos desde una recta significa que los pares de lados (AB, DE), (BC, EF) y (AC, DF) se cortan respectivamente sobre una misma recta r. Al punto O se le llama centro de perspectiva y a la recta r, eje de perspectiva. (es)
- 데자르그의 정리(Desargues' theorem, -定理)는 지라르 데자르그가 증명한, 임의의 두 삼각형의 위치 관계에 대한 정리이다. 파스칼의 정리 등과 함께 사영기하학의 기초를 이루는 정리이다. 다음과 같은 내용이다. 공간상의 두 임의의 삼각형 ABC와 abc에 대하여, Aa, Bb, Cc를 연장한 직선들이 한 점에서 만날 때(이하 모두 연장한 직선), AB와 ab, BC와 bc, CA와 ca의 교점은 한 직선 위에 놓인다. 사영기하학적으로는 다음과 같이 쓸 수 있다. 두 삼각형이 (central perspectivity)이면 (axial perspectivity)이다. 이 정리는 일반적인 유클리드 공간이나 유클리드 평면 상에서도 성립하는 정리이나, 그보다 일반적인 사영기하학에서 통상 다루어지는 정리이다. 이 정리의 쌍대 정리는 전혀 다른 정리가 되는 것이 아니라 데자르그 정리 자체의 역이 된다. 중심배경과 축배경이 필요충분조건이라는 것을 데자르그의 정리라 보는 경우도 있다. 이 경우 데자르그의 정리는 (self-dual)이다. (ko)
- デザルグの定理（デザルグの-ていり、théorème de Desargues）とは、ジラール・デザルグが証明した空間内の二つの三角形の相互の関係に関するアフィン幾何学（ユークリッド幾何学）および射影幾何学の定理である。 パスカルの定理とともに射影幾何学の基本定理の一つとして知られる。 (ja)
- Il teorema di Desargues, o dei triangoli omologici, è un teorema di geometria proiettiva che prende il nome dal matematico francese Girard Desargues. (it)
- Na geometria projetiva, o teorema de Desargues, enunciado em 1648, afirma que:Dois triângulos estão em perspectiva axial se, e somente se, estiverem em perspectiva central. Quando o teorema é estudado no espaço tridimensional, o eixo de perspectiva é a reta de fuga (também conhecida como linha do horizonte). (pt)
- Теорема Дезарга является одной из основных теорем проективной геометрии. (ru)
- 笛沙格定理（英語：Desargues's theorem）說明：在射影空間中，有六點A,B,C,a,b,c。Aa,Bb,Cc共點若且唯若AB∩ab,BC∩bc,CA∩ca共线。 在射影幾何的對偶性來看，笛沙格定理是自對偶的。 (zh)
- В проєктивній геометрії теорема Дезарга, названа на честь Жерара Дезарга, стверджує: в проєктивному просторі два трикутники перспективно осьові тоді і тільки тоді, якщо вони перспективно центральні. Позначимо три вершини одного трикутника (меншого розміру) a, b і c а іншого (більший) A, B і C. Осьова перспектива є тоді і тільки тоді, якщо точки перетину ab і AB, bc і BC, ac і AC — розміщені на одній прямій, яка називається вісь перспективи. Центральна перспектива є тоді і тільки тоді, якщо три лінії Aa, Bb і Cc — конкурентні в точці, яка називається центр перспективи. (uk)
- Der Satz von Desargues, benannt nach dem französischen Mathematiker Gérard Desargues, ist zusammen mit dem Satz von Pappos einer der Schließungssätze, die für die affine und die projektive Geometrie als Axiome grundlegend sind. Er wird je nach zugrundeliegender Geometrie in einer affinen oder einer projektiven Variante formuliert. In beiden Formen kann der desarguessche aus dem papposschen Satz gefolgert werden. Da es sowohl affine als auch projektive Ebenen gibt, in denen der Satz von Desargues, aber nicht der Satz von Pappos allgemeingültig ist, stellt er eine echte Abschwächung des Satzes von Pappos dar. (de)
- In projective geometry, Desargues's theorem, named after Girard Desargues, states: Two triangles are in perspective axially if and only if they are in perspective centrally. Denote the three vertices of one triangle by a, b and c, and those of the other by A, B and C. Axial perspectivity means that lines ab and AB meet in a point, lines ac and AC meet in a second point, and lines bc and BC meet in a third point, and that these three points all lie on a common line called the axis of perspectivity. Central perspectivity means that the three lines Aa, Bb and Cc are concurrent, at a point called the center of perspectivity. (en)
- En mathématiques, le théorème de Desargues, du nom du mathématicien et architecte Girard Desargues, est un théorème de géométrie projective, qui possède plusieurs variantes en géométrie affine. Il s'énonce uniquement en matière d'alignement de points et d'intersection de droites (voir ci-contre). En géométrie plane il peut être pris pour axiome, et caractérise alors, parmi les plans vus comme structures d'incidence, ceux qui peuvent être construits sur un corps (voir, pour le cas affine, Plan affine (structure d'incidence) et Plan affine arguésien). (fr)
- Twierdzenie Desargues’a – jedno z pierwszych twierdzeń geometrii rzutowej, sformułowane i udowodnione w XVII wieku przez francuskiego matematyka Gerarda Desargues’a. Wraz z twierdzeniem Pascala stanowi przykład twierdzenia, które jest niezależne od oryginalnego układu aksjomatów geometrii podanego przez Euklidesa – oznacza to, że nie da się go udowodnić ani obalić, bez przyjęcia dodatkowych założeń. Twierdzenie Desargues’a wyrażone w języku geometrii euklidesowej stwierdza, co następuje: Twierdzenie to ma następujące, również prawdziwe, odwrócenie: (pl)
- De stelling van Desargues is een stelling in de meetkunde, genoemd naar de Franse wiskundige en ingenieur Girard Desargues (1591-1661). Hij publiceerde de stelling in 1636. Van twee driehoeken liggen de drie snijpunten van corresponderende zijden op één lijn, dan en slechts dan als de drie verbindingslijnen van de corresponderende hoekpunten door één punt gaan. Zie de figuur. Deze figuur heet configuratie van Desargues. De stelling is zelfduaal. Ieder punt kan als nieuw perspectiviteitscentrum worden gekozen, om zo een nieuwe situatie op te leveren waarin de stelling evenzeer van kracht is. (nl)
- Inom projektiv geometri säger Desargues sats, uppkallad efter Gérard Desargues, att: Om två trianglar ABC och A'B'C' är belägna på ett sådant sätt att sammanbindningslinjerna mellan trianglarnas hörn (AA', BB' och CC') skär varandra i en punkt, kommer skärningspunkterna mellan förlängningarna av trianglarnas motsvarande sidor (skärningspunkterna mellan AB och A'B', AC och A'C' respektive BC och B'C') att ligga på en rät linje. (sv)
|
