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- In der Mathematik ist die Supremumseigenschaft eine fundamentale Eigenschaft der reellen Zahlen, genauer ihrer Anordnung, und bestimmter anderer geordneter Mengen. Die Eigenschaft besagt, dass jede nichtleere und nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen eine kleinste obere Schranke, ein Supremum, besitzt. Die Supremumseigenschaft ist eine Form des Vollständigkeitsaxioms für die reellen Zahlen und wird manchmal als Dedekind-Vollständigkeit bezeichnet. Sie kann verwendet werden, um viele grundlegende Resultate der reellen Analysis zu zeigen, etwa den Zwischenwertsatz, den Satz von Bolzano-Weierstraß, den Extremwertsatz oder den Satz von Heine-Borel. Für die synthetische Konstruktion der reellen Zahlen wird sie üblicherweise als Axiom vorausgesetzt. Mit der Konstruktion der reellen Zahlen mittels des Dedekindschen Schnittes ist sie ebenso eng verbunden. In der Ordnungstheorie kann die Supremumseigenschaft zu einem Vollständigkeitsbegriff für jede partiell geordnete Menge verallgemeinert werden. Eine dichte, total geordnete Menge, welche die Supremumseigenschaft erfüllt, nennt man . (de)
- In mathematics, the least-upper-bound property (sometimes called completeness or supremum property or l.u.b. property) is a fundamental property of the real numbers. More generally, a partially ordered set X has the least-upper-bound property if every non-empty subset of X with an upper bound has a least upper bound (supremum) in X. Not every (partially) ordered set has the least upper bound property. For example, the set of all rational numbers with its natural order does not have the least upper bound property. The least-upper-bound property is one form of the completeness axiom for the real numbers, and is sometimes referred to as Dedekind completeness. It can be used to prove many of the fundamental results of real analysis, such as the intermediate value theorem, the Bolzano–Weierstrass theorem, the extreme value theorem, and the Heine–Borel theorem. It is usually taken as an axiom in synthetic constructions of the real numbers, and it is also intimately related to the construction of the real numbers using Dedekind cuts. In order theory, this property can be generalized to a notion of completeness for any partially ordered set. A linearly ordered set that is dense and has the least upper bound property is called a linear continuum. (en)
- En mathématiques, un ensemble ordonné est dit posséder la propriété de la borne supérieure si tous ses sous-ensembles non vides et majorés possèdent une borne supérieure. De même, un ensemble ordonné possède la propriété de la borne inférieure si tous ses sous-ensembles non vides et minorés possèdent une borne inférieure. Il s'avère que ces deux propriétés sont équivalentes. On dit aussi parfois qu'un ensemble possédant la propriété de la borne supérieure est Dedekind complet. (fr)
- 수학에서 최소 상계 성질 (때때로 완비성 또는 상한 성질) 은 실수 혹은 특정한 다른 순서집합의 기본적인 성질이다. 집합 X가 최소 상계 성질을 만족한다는 것은 X의 공집합이 아니고 상계를 갖는 모든 부분집합이 X에서 최소상계 (상한)을 갖는다는 것을 의미한다. 최소 상계 성질은 실수에 대한 완비성 공리의 한 형태이고, 때때로 데데킨트 완비성이라고 불리기도 한다. 이는 실해석학의 많은 기본적인 정리 (예를 들면 중간값 정리, 볼차노-바이어슈트라스 정리, 최대·최소 정리, 하이네-보렐 정리) 들을 증명하는데 사용된다.이는 때때로 실수의 구성에서 공리로 사용되고 (최소 상계 공리), 데데킨트 절단을 사용하여 실수를 구성하는데 사용된다. 순서론에서, 이 성질은 부분 순서 집합에 대한 완비성의 개념으로 일반화 될 수 있다. 조밀하고 최소 상계 성질을 갖는 선형 순서 집합을 선형 연속체라 한다. (ko)
- 在数学中，最小上界性 (亦称上确界性，英語：least-upper bound property, LUB) 是实数集和其他一些有序集的基础属性，与实数的完备性等价。 集合X具有最小上界性当且仅当X的任意具有上界的非空子集有最小上界 (上确界)。 (zh)
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- En mathématiques, un ensemble ordonné est dit posséder la propriété de la borne supérieure si tous ses sous-ensembles non vides et majorés possèdent une borne supérieure. De même, un ensemble ordonné possède la propriété de la borne inférieure si tous ses sous-ensembles non vides et minorés possèdent une borne inférieure. Il s'avère que ces deux propriétés sont équivalentes. On dit aussi parfois qu'un ensemble possédant la propriété de la borne supérieure est Dedekind complet. (fr)
- 수학에서 최소 상계 성질 (때때로 완비성 또는 상한 성질) 은 실수 혹은 특정한 다른 순서집합의 기본적인 성질이다. 집합 X가 최소 상계 성질을 만족한다는 것은 X의 공집합이 아니고 상계를 갖는 모든 부분집합이 X에서 최소상계 (상한)을 갖는다는 것을 의미한다. 최소 상계 성질은 실수에 대한 완비성 공리의 한 형태이고, 때때로 데데킨트 완비성이라고 불리기도 한다. 이는 실해석학의 많은 기본적인 정리 (예를 들면 중간값 정리, 볼차노-바이어슈트라스 정리, 최대·최소 정리, 하이네-보렐 정리) 들을 증명하는데 사용된다.이는 때때로 실수의 구성에서 공리로 사용되고 (최소 상계 공리), 데데킨트 절단을 사용하여 실수를 구성하는데 사용된다. 순서론에서, 이 성질은 부분 순서 집합에 대한 완비성의 개념으로 일반화 될 수 있다. 조밀하고 최소 상계 성질을 갖는 선형 순서 집합을 선형 연속체라 한다. (ko)
- 在数学中，最小上界性 (亦称上确界性，英語：least-upper bound property, LUB) 是实数集和其他一些有序集的基础属性，与实数的完备性等价。 集合X具有最小上界性当且仅当X的任意具有上界的非空子集有最小上界 (上确界)。 (zh)
- In der Mathematik ist die Supremumseigenschaft eine fundamentale Eigenschaft der reellen Zahlen, genauer ihrer Anordnung, und bestimmter anderer geordneter Mengen. Die Eigenschaft besagt, dass jede nichtleere und nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen eine kleinste obere Schranke, ein Supremum, besitzt. In der Ordnungstheorie kann die Supremumseigenschaft zu einem Vollständigkeitsbegriff für jede partiell geordnete Menge verallgemeinert werden. Eine dichte, total geordnete Menge, welche die Supremumseigenschaft erfüllt, nennt man . (de)
- In mathematics, the least-upper-bound property (sometimes called completeness or supremum property or l.u.b. property) is a fundamental property of the real numbers. More generally, a partially ordered set X has the least-upper-bound property if every non-empty subset of X with an upper bound has a least upper bound (supremum) in X. Not every (partially) ordered set has the least upper bound property. For example, the set of all rational numbers with its natural order does not have the least upper bound property. (en)
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- Supremumseigenschaft (de)
- Propriété de la borne supérieure (fr)
- Least-upper-bound property (en)
- 최소 상계 성질 (ko)
- 最小上界性 (zh)
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