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- En matemàtiques i més precisament en aritmètica, el mètode chakravala és un algorisme per resoldre les equacions diofàntiques equivalents a les de Pell-Fermat. Una equació diofàntica és una equació amb coeficients en els nombres enters i les solucions que es busquessin són enteres. L'equació tractada és equivalent a: Aquest mètode es va desenvolupar a l'Índia i les seves arrels es poden resseguir fins al segle v. Iniciat per Aryabhata, es desenvolupa més endavant per Brahmagupta i Bhaskara II. Selenius, en la seva avaluació del mètode chakravala, diu: En efecte cal esperar fins al Segle XVII perquè Europa descobreixi de manera independent els resultats dels treballs dels matemàtics indis. (ca)
- The chakravala method (Sanskrit: चक्रवाल विधि) is a cyclic algorithm to solve indeterminate quadratic equations, including Pell's equation. It is commonly attributed to Bhāskara II, (c. 1114 – 1185 CE) although some attribute it to Jayadeva (c. 950 ~ 1000 CE). Jayadeva pointed out that Brahmagupta's approach to solving equations of this type could be generalized, and he then described this general method, which was later refined by Bhāskara II in his Bijaganita treatise. He called it the Chakravala method: chakra meaning "wheel" in Sanskrit, a reference to the cyclic nature of the algorithm. C.-O. Selenius held that no European performances at the time of Bhāskara, nor much later, exceeded its marvellous height of mathematical complexity. This method is also known as the cyclic method and contains traces of mathematical induction. (en)
- En mathématiques et plus précisément en arithmétique, la méthode chakravala est un algorithme pour résoudre l'équation de Pell-Fermat. Cette équation est un exemple d'équation diophantienne, c'est-à-dire à coefficients entiers et dont on cherche les solutions entières. Plus précisément, c'est l'équation où n est un entier naturel non carré. Cette méthode fut développée en Inde et ses racines peuvent être retracées jusqu'au VIe siècle avec Aryabhata, suivi par Brahmagupta. Initiée par (en), elle fut développée plus avant par Bhāskara II. Selenius l'évalue par : « La méthode représente un algorithme de meilleure approximation de longueur minimale qui, en raison de plusieurs propriétés de minimisation, produit automatiquement […], à moindre coût […] et en évitant les grands nombres, les plus petites solutions de l'équation […] La méthode chakravāla précéda les méthodes européennes de plus de mille ans. Mais aucune performance européenne dans le champ entier de l'algèbre, beaucoup plus tard après Bhāskara […], n'égala la merveilleuse complexité et l'ingéniosité de chakravāla. » Il faut en effet attendre le XVIIe siècle pour que les Européens, qui ignoraient les travaux des mathématiciens indiens, découvrent des algorithmes — moins performants — résolvant le même problème. (fr)
- Metoda ćakrawala (चक्रवाल विधि) – algorytm pozwalający rozwiązywać nieoznaczone równania kwadratowe, w tym równanie Pella. Przypisywana jest zazwyczaj (ok. 1114–1185), choć niektórzy przypisują ją Dźajadewie (ok. 950–1000). Jayadeva odkrył, że metoda Brahmagupty rozwiązywania tego typu równań może być uogólniona, a następnie opisał ogólny proces, który został dopracowany przez Bhaskarę II w pracy . Algorytm został nazwany metodą ćakrawala od słowa ćakra, oznaczającego koło w sanskrycie, co odnosi się do jego cyklicznej natury. E.O. Selenius stwierdził, że żadne z ówczesnych, ani późniejszych dokonań matematyki europejskiej nie dorównuje potędze matematycznej złożoności metody Bhaskary. Metoda znana jest także jako metoda cykliczna i zawiera ślady indukcji matematycznej. (pl)
- Метод «чакравала» (санскр. चक्रवाल विधि) — это итерационный алгоритм решения квадратных уравнений, включая Уравнение Пелля. Обычно метод приписывают Бхаскаре II, (1114 – 1185), хотя некоторые указывают автором (950 ~ 1000 н.э.). Джаядева указал на то, что подход Брахмагупты для решения уравнений такого типа можно обобщить и описал этот метод обобщения. Метод позднее доработал Бхаскара II в своём трактате (Алгебра). Он назвал этот метод «чакравала» — чакра на санскрите означает «колесо», что указывает на циклическую натуру алгоритма. Селениус придерживается мнения, что никто из европейцев не достигал во времена Бхаскара и в более поздние времена столь изумительной высоты математической сложности. Метод известен также как циклический метод и содержит следы математической индукции. (ru)
- Em matemática e mais especificamente em aritmética, o Método chakravala (em sânscrito: चक्रवाल विधि), é um algoritmo cíclico para resolver equações quadráticas indeterminadas, incluindo a equação de Pell-Fermat. Esta equação é um exemplo de uma equação diofantina, ou seja, com coeficientes inteiros e cujas soluções inteiras são procuradas. Mais precisamente, é a equação onde n é um inteiro natural não quadrado. É comumente atribuído a Bhāskara Akaria (c. 1114 – 1185 EC) embora alguns o atribuam a Jayadeva (c. 950 ~ 1000 EC). Jayadeva apontou que a abordagem de Brahmagupta para resolver equações desse tipo poderia ser generalizada, e ele então descreveu esse método geral, que foi posteriormente refinado por Bhāskara Akaria em seu tratado Bijaganita. Ele o chamou de método Chakravala (chakra que significa "roda" em sânscrito, uma referência à natureza cíclica do algoritmo). o avalia por: "O método representa um algoritmo de melhor aproximação de comprimento mínimo que, devido a várias propriedades de minimização, produz automaticamente […], de forma barata […] e evitando grandes números, menores soluções da equação […] O método chakravāla precedeu os métodos europeus por mais de mil anos. Mas nenhuma conquista européia em todo o campo da álgebra , muito depois de Bhāskara […], igualou a maravilhosa complexidade e engenhosidade de chakravāla". Na verdade, foi só no Século XVII que os europeus, que desconheciam o trabalho dos matemáticos indianos, descobriram algoritmos – menos eficientes – para resolver o mesmo problema. Por isso, Hermann Hankel diz que o método chakravala é "a melhor coisa alcançada na teoria dos números antes de Lagrange." Este método também é conhecido como método cíclico e contém traços de indução matemática. (pt)
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- En matemàtiques i més precisament en aritmètica, el mètode chakravala és un algorisme per resoldre les equacions diofàntiques equivalents a les de Pell-Fermat. Una equació diofàntica és una equació amb coeficients en els nombres enters i les solucions que es busquessin són enteres. L'equació tractada és equivalent a: Aquest mètode es va desenvolupar a l'Índia i les seves arrels es poden resseguir fins al segle v. Iniciat per Aryabhata, es desenvolupa més endavant per Brahmagupta i Bhaskara II. Selenius, en la seva avaluació del mètode chakravala, diu: (ca)
- The chakravala method (Sanskrit: चक्रवाल विधि) is a cyclic algorithm to solve indeterminate quadratic equations, including Pell's equation. It is commonly attributed to Bhāskara II, (c. 1114 – 1185 CE) although some attribute it to Jayadeva (c. 950 ~ 1000 CE). Jayadeva pointed out that Brahmagupta's approach to solving equations of this type could be generalized, and he then described this general method, which was later refined by Bhāskara II in his Bijaganita treatise. He called it the Chakravala method: chakra meaning "wheel" in Sanskrit, a reference to the cyclic nature of the algorithm. C.-O. Selenius held that no European performances at the time of Bhāskara, nor much later, exceeded its marvellous height of mathematical complexity. (en)
- En mathématiques et plus précisément en arithmétique, la méthode chakravala est un algorithme pour résoudre l'équation de Pell-Fermat. Cette équation est un exemple d'équation diophantienne, c'est-à-dire à coefficients entiers et dont on cherche les solutions entières. Plus précisément, c'est l'équation où n est un entier naturel non carré. Cette méthode fut développée en Inde et ses racines peuvent être retracées jusqu'au VIe siècle avec Aryabhata, suivi par Brahmagupta. Initiée par (en), elle fut développée plus avant par Bhāskara II. (fr)
- Em matemática e mais especificamente em aritmética, o Método chakravala (em sânscrito: चक्रवाल विधि), é um algoritmo cíclico para resolver equações quadráticas indeterminadas, incluindo a equação de Pell-Fermat. Esta equação é um exemplo de uma equação diofantina, ou seja, com coeficientes inteiros e cujas soluções inteiras são procuradas. Mais precisamente, é a equação onde n é um inteiro natural não quadrado. Este método também é conhecido como método cíclico e contém traços de indução matemática. (pt)
- Metoda ćakrawala (चक्रवाल विधि) – algorytm pozwalający rozwiązywać nieoznaczone równania kwadratowe, w tym równanie Pella. Przypisywana jest zazwyczaj (ok. 1114–1185), choć niektórzy przypisują ją Dźajadewie (ok. 950–1000). Jayadeva odkrył, że metoda Brahmagupty rozwiązywania tego typu równań może być uogólniona, a następnie opisał ogólny proces, który został dopracowany przez Bhaskarę II w pracy . Algorytm został nazwany metodą ćakrawala od słowa ćakra, oznaczającego koło w sanskrycie, co odnosi się do jego cyklicznej natury. E.O. Selenius stwierdził, że żadne z ówczesnych, ani późniejszych dokonań matematyki europejskiej nie dorównuje potędze matematycznej złożoności metody Bhaskary. (pl)
- Метод «чакравала» (санскр. चक्रवाल विधि) — это итерационный алгоритм решения квадратных уравнений, включая Уравнение Пелля. Обычно метод приписывают Бхаскаре II, (1114 – 1185), хотя некоторые указывают автором (950 ~ 1000 н.э.). Джаядева указал на то, что подход Брахмагупты для решения уравнений такого типа можно обобщить и описал этот метод обобщения. Метод позднее доработал Бхаскара II в своём трактате (Алгебра). Он назвал этот метод «чакравала» — чакра на санскрите означает «колесо», что указывает на циклическую натуру алгоритма. Селениус придерживается мнения, что никто из европейцев не достигал во времена Бхаскара и в более поздние времена столь изумительной высоты математической сложности. (ru)
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