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- In mathematics, a bioctonion, or complex octonion, is a pair (p,q) where p and q are biquaternions. The product of two bioctonions is defined using biquaternion multiplication and the biconjugate p → p*: The bioctonion z = (p,q) has conjugate z* = (p*, – q). Then norm N(z) of bioctonion z is z z* = p p* + q q*, which is a complex quadratic form with eight terms. The bioctonion algebra is sometimes introduced as simply the complexification of real octonions, but in abstract algebra it is the result of the Cayley–Dickson construction that begins with the field of complex numbers, the trivial involution, and quadratic form z2. The algebra of bioctonions is an example of an octonion algebra. For any pair of bioctonions y and z, showing that N is a quadratic form admitting composition, and hence the bioctonions form a composition algebra. Complex octonions have been used to describe the generations of quarks and leptons. (en)
- 数学における双八元数（そうはちげんすう、英: bioctonion）または複素八元数（ふくそはちげんすう、英: complex octonion）は、 p, q の対 (p, q) として与えられる。二つの双八元数の積は、双四元数の乗法と双共軛 (biconjugate) p ↦ p* を用いて と定義される。
* 双八元数 z ≔ (p, q) の共軛は z* ≔ (p*, −q) とする。
* 双八元数 z のノルムは N(z) ≔ zz* (= pp* + qq*) と定義され、これは八つの項を持つ複素二次形式（エルミート二次形式）である。 双八元数全体の成す多元環（双八元数代数、双八元数環）は、単純に実係数の八元数体のとして導入されることもあるが、抽象代数学においては複素数体・自明な対合・二次形式 z2 の三つ組からのケイリー–ディクソン構成の結果として得られる。双八元数環は一般八元数環の一つの例である。 双八元数の任意の対 y, z に対して が成り立つから、これにより N は合成可能な二次形式であることが分かり、したがって双八元数環は合成代数を成す。 複素八元数はクォークやレプトンの世代を記述するのに用いられた。 (ja)
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- 数学における双八元数（そうはちげんすう、英: bioctonion）または複素八元数（ふくそはちげんすう、英: complex octonion）は、 p, q の対 (p, q) として与えられる。二つの双八元数の積は、双四元数の乗法と双共軛 (biconjugate) p ↦ p* を用いて と定義される。
* 双八元数 z ≔ (p, q) の共軛は z* ≔ (p*, −q) とする。
* 双八元数 z のノルムは N(z) ≔ zz* (= pp* + qq*) と定義され、これは八つの項を持つ複素二次形式（エルミート二次形式）である。 双八元数全体の成す多元環（双八元数代数、双八元数環）は、単純に実係数の八元数体のとして導入されることもあるが、抽象代数学においては複素数体・自明な対合・二次形式 z2 の三つ組からのケイリー–ディクソン構成の結果として得られる。双八元数環は一般八元数環の一つの例である。 双八元数の任意の対 y, z に対して が成り立つから、これにより N は合成可能な二次形式であることが分かり、したがって双八元数環は合成代数を成す。 複素八元数はクォークやレプトンの世代を記述するのに用いられた。 (ja)
- In mathematics, a bioctonion, or complex octonion, is a pair (p,q) where p and q are biquaternions. The product of two bioctonions is defined using biquaternion multiplication and the biconjugate p → p*: The bioctonion z = (p,q) has conjugate z* = (p*, – q). Then norm N(z) of bioctonion z is z z* = p p* + q q*, which is a complex quadratic form with eight terms. For any pair of bioctonions y and z, showing that N is a quadratic form admitting composition, and hence the bioctonions form a composition algebra. Complex octonions have been used to describe the generations of quarks and leptons. (en)
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- Bioctonion (en)
- 双八元数 (ja)
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