| dbo:abstract
|
- In mathematics, an alternating factorial is the absolute value of the alternating sum of the first n factorials of positive integers. This is the same as their sum, with the odd-indexed factorials multiplied by −1 if n is even, and the even-indexed factorials multiplied by −1 if n is odd, resulting in an alternation of signs of the summands (or alternation of addition and subtraction operators, if preferred). To put it algebraically, or with the recurrence relation in which af(1) = 1. The first few alternating factorials are 1, 1, 5, 19, 101, 619, 4421, 35899, 326981, 3301819, 36614981, 442386619, 5784634181, 81393657019 (sequence in the OEIS) For example, the third alternating factorial is 1! – 2! + 3!. The fourth alternating factorial is −1! + 2! − 3! + 4! = 19. Regardless of the parity of n, the last (nth) summand, n!, is given a positive sign, the (n – 1)th summand is given a negative sign, and the signs of the lower-indexed summands are alternated accordingly. This pattern of alternation ensures the resulting sums are all positive integers. Changing the rule so that either the odd- or even-indexed summands are given negative signs (regardless of the parity of n) changes the signs of the resulting sums but not their absolute values. Miodrag Zivković proved in 1999 that there are only a finite number of alternating factorials that are also prime numbers, since 3612703 divides af(3612702) and therefore divides af(n) for all n ≥ 3612702. As of 2006, the known primes and probable primes are af(n) for (sequence in the OEIS) n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 19, 41, 59, 61, 105, 160, 661, 2653, 3069, 3943, 4053, 4998, 8275, 9158, 11164 Only the values up to n = 661 have been proved prime in 2006. af(661) is approximately 7.818097272875 × 101578. (en)
- En matematiko, alterna faktorialo af(n) estas la absoluta valoro de la alterna sumo de la unuaj n faktorialoj. Ĉi tio estas:
* La sumo de faktorialoj m! por m=1 ... n kun la faktorialoj de neparaj m multiplikitaj per -1 se n estas para;
* La sumo de faktorialoj m! por m=1 ... n kun la faktorialoj de paraj m multiplikitaj per -1 se n estas nepara. Aŭ aŭ af(n) = n! - (n-1)! + (n-2)! - (n-3)! + ... +/- 1! aŭ per la en kiu af(1) = 1. Sendistinge de pareco de n, la lasta n-a termo n!, estas donita kun pozitiva signo, la (n-1)-a termo (n-1)! estas donita negativa signo, kaj tiel plu. La unuaj kelkaj alternaj faktorialoj estas 1, 1, 5, 19, 101, 619, 4421, 35899, 326981, 3301819, 36614981, 442386619, 5784634181, 81393657019af(1) = 1! = 1af(2) = - 1! + 2! = 1af(3) = 1! - 2! + 3! = 5af(4) = -1! + 2! - 3! + 4! = 19 Miodrag Zivković pruvis en 1999 ke estas nur finia kvanto de alternaj faktorialoj kiuj estas primoj, pro tio ke af(3612702) dividiĝas per 3612703 kaj pro tio af(n) por ĉiu n≥3612702 dividiĝas per 3612703 . Kiel en 2006, la sciataj primoj kaj estas af(n) por n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 19, 41, 59, 61, 105, 160, 661, 2653, 3069, 3943, 4053, 4998, 8275, 9158, 11164 Nur la valoroj supren ĝis n = 661 estas pruvitaj al esti primoj en 2006. af(661) estas proksimume 7,818097272875 × 101578. (eo)
- 交互階乗（こうごかいじょう、英: alternating factorial）は、自然数で、階乗数を以下の式にしたがって足し合わせた数である。 af(n) は n 番目の交互階乗を表す。例えば3番目の交互階乗は 1! − 2! + 3! = 5 であり、4番目の交互階乗は − 1! + 2! − 3! + 4! = 19 と計算される。交互階乗は次の漸化式の形で表すこともできる。 ただし af(1) = 1 である。交互階乗を1から小さい順に列記すると 1, 1, 5, 19, 101, 619, 4421, 35899, 326981, 3301819, 36614981, 442386619, 5784634181, 81393657019, … (A005165) 交互階乗は全て奇数である。また n 番目の階乗数と n 番目の交互階乗は互いに素である。 Miodrag Zivkovićは1999年に素数の交互階乗の個数が有限であることを af(3612702) が3612703で割り切れることから証明した。つまり n ≧ 3612702 において af(n) は全て3612703で割り切れる合成数である。現在 af(n) は以下の n の値をとるとき素数もしくは確率的素数となることが知られている。 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 19, 41, 59, 61, 105, 160, 661, 2653, 3069, 3943, 4053, 4998, 8275, 9158, 11164（A001272） af(661) が知られている中では最も大きい素数である。 (ja)
- Inom matematiken är alternerande fakulteten absoluta värdet av alternerande summan av de n första värdena på fakulteten. Algebraiskt kan den definieras som eller via differensekvationen där af(1) = 1. De första värdena på alternerande fakulteten är: 0, 1, 1, 5, 19, 101, 619, , , , , , , , , , , , , , , , … (talföljd i OEIS). bevisade 1999 att det finns bara ett ändligt antal värden på alternerande fakulteten som är primtal. (sv)
- Ряд знакочередующихся факториалов — это абсолютная величина знакочередующегося ряда факториалов первых n положительных чисел. То есть в этой сумме факториалы берутся со знаком минус, когда индекс чётен, а n нечётен, и наоборот, когда индекс нечётен, а n чётен. Алгебраически, или с помощью рекуррентной формулы где af(1) = 1. Первые несколько сумм знакочередующихся факториалов 1, 1, 5, 19, 101, 619, 4421, 35899, 326981, 3301819, 36614981, 442386619, 5784634181, 81393657019 (последовательность в OEIS) Например, третья сумма равна 1! − 2! + 3! = 5. Четвёртая сумма равна −1! + 2! - 3! + 4! = 19. Независимо от чётности числа n последний (n-й) член суммы, n!, всегда имеет положительный знак, а (n - 1)-й — отрицательный. Эта схема обеспечивает положительность сумм. Если изменить правило формирования суммы, чтобы независимо от чётности n знак члена суммы зависел только от чётности индекса, знак суммы будет меняться, хотя абсолютные значения будут теми же. Миодраг Живкович в 1999 доказал, что существует лишь конечное число сумм ряда знакочередующихся факториалов, являющихся простыми числами, поскольку 3612703 делит af(3612702), а потому делит af(n) для всех n ≥ 3612702. К 2006 году были известны простые и вероятно простые af(n) для (последовательность в OEIS) n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 19, 41, 59, 61, 105, 160, 661, 2653, 3069, 3943, 4053, 4998, 8275, 9158, 11164 Лишь для значений до n = 661 была доказана простота (на 2006). Значение af(661) примерно равно 7.818097272875 × 101578. (ru)
|
| rdfs:comment
|
- Inom matematiken är alternerande fakulteten absoluta värdet av alternerande summan av de n första värdena på fakulteten. Algebraiskt kan den definieras som eller via differensekvationen där af(1) = 1. De första värdena på alternerande fakulteten är: 0, 1, 1, 5, 19, 101, 619, , , , , , , , , , , , , , , , … (talföljd i OEIS). bevisade 1999 att det finns bara ett ändligt antal värden på alternerande fakulteten som är primtal. (sv)
- In mathematics, an alternating factorial is the absolute value of the alternating sum of the first n factorials of positive integers. This is the same as their sum, with the odd-indexed factorials multiplied by −1 if n is even, and the even-indexed factorials multiplied by −1 if n is odd, resulting in an alternation of signs of the summands (or alternation of addition and subtraction operators, if preferred). To put it algebraically, or with the recurrence relation in which af(1) = 1. The first few alternating factorials are (en)
- En matematiko, alterna faktorialo af(n) estas la absoluta valoro de la alterna sumo de la unuaj n faktorialoj. Ĉi tio estas:
* La sumo de faktorialoj m! por m=1 ... n kun la faktorialoj de neparaj m multiplikitaj per -1 se n estas para;
* La sumo de faktorialoj m! por m=1 ... n kun la faktorialoj de paraj m multiplikitaj per -1 se n estas nepara. Aŭ aŭ af(n) = n! - (n-1)! + (n-2)! - (n-3)! + ... +/- 1! aŭ per la en kiu af(1) = 1. Sendistinge de pareco de n, la lasta n-a termo n!, estas donita kun pozitiva signo, la (n-1)-a termo (n-1)! estas donita negativa signo, kaj tiel plu. (eo)
- 交互階乗（こうごかいじょう、英: alternating factorial）は、自然数で、階乗数を以下の式にしたがって足し合わせた数である。 af(n) は n 番目の交互階乗を表す。例えば3番目の交互階乗は 1! − 2! + 3! = 5 であり、4番目の交互階乗は − 1! + 2! − 3! + 4! = 19 と計算される。交互階乗は次の漸化式の形で表すこともできる。 ただし af(1) = 1 である。交互階乗を1から小さい順に列記すると 1, 1, 5, 19, 101, 619, 4421, 35899, 326981, 3301819, 36614981, 442386619, 5784634181, 81393657019, … (A005165) 交互階乗は全て奇数である。また n 番目の階乗数と n 番目の交互階乗は互いに素である。 Miodrag Zivkovićは1999年に素数の交互階乗の個数が有限であることを af(3612702) が3612703で割り切れることから証明した。つまり n ≧ 3612702 において af(n) は全て3612703で割り切れる合成数である。現在 af(n) は以下の n の値をとるとき素数もしくは確率的素数となることが知られている。 af(661) が知られている中では最も大きい素数である。 (ja)
- Ряд знакочередующихся факториалов — это абсолютная величина знакочередующегося ряда факториалов первых n положительных чисел. То есть в этой сумме факториалы берутся со знаком минус, когда индекс чётен, а n нечётен, и наоборот, когда индекс нечётен, а n чётен. Алгебраически, или с помощью рекуррентной формулы где af(1) = 1. Первые несколько сумм знакочередующихся факториалов 1, 1, 5, 19, 101, 619, 4421, 35899, 326981, 3301819, 36614981, 442386619, 5784634181, 81393657019 (последовательность в OEIS) (ru)
|
