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- In mathematics, is a divergent series, first considered by Euler, that sums the factorials of the natural numbers with alternating signs. Despite being divergent, it can be assigned a value of approximately 0.596347 by Borel summation. (en)
- Dalam matematika, adalah deret divergen yang menjumlahkan faktorial dari bilangan asli dengan tanda positif dan negatif yang berubah secara selang-seling. Walaupun hasilnya divergen, deret tersebut dapat mempunyai nilai sekitar 0,596347 berdasarkan . (in)
- En mathématiques, et plus précisément en analyse, la série alternée des factorielles est la série divergente 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ , en notations modernes : . Leonhard Euler est le premier à avoir considéré cette série, qu'il étudia par des méthodes de sommation formelle, ainsi qu'en lui associant une équation différentielle ; cela lui permit de lui attribuer une valeur finie. Il est plus simple pour la sommer d'utiliser la sommation de Borel : (formellement, puisque les deux séries divergent). Échangeant somme et intégrale, on obtient : La somme entre crochets converge vers 1/(1 + x) si x < 1. La remplaçant alors par 1/(1 + x) même pour les valeurs de x supérieures à 1, on obtient une intégrale convergente, ce qui autorise à écrire (au sens de Borel) : où e est la base des logarithmes népériens, et où Ei(z) est l'exponentielle intégrale. (fr)
- In matematica, la serie indeterminata fu considerata per la prima volta da Eulero, che applicò i metodi di sommabilità per assegnare un valore finito a questa serie. La serie è la somma alternata dei fattoriali, cioè che alternativamente sono sommati o sottratti. Un modo di assegnare un valore a questa serie è usando la somma di Borel, con cui si scrive che Se si scambiano la sommatoria e l'integrale (ignorando che nessuno dei due membri converge), si ottiene: La sommatoria nelle parentesi quadrate converge ed è uguale a se . Se si prolunga analiticamente ad ogni reale, si ricava un integrale convergente per la serie: dove è la funzione integrale esponenziale. Questa è per definizione la somma di Borel della serie. (it)
- 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + … は発散級数のひとつ。階乗に関する交項級数であり、総和の記号を用いて と表される。 この級数は通常の意味での和を持たないが、オイラーは微分方程式を用いる適当な形式総和法によりこの級数に有限な値を割り当てた。 この発散級数の値を知る簡単な方法の一つは、 を考えることである（式の両辺は通常の意味でともに無限大であり、ここでの等号はこのままでは正当化されない形式的な等号であることに注意）。ここで仮に無限和と積分とが（記号的に）交換できるものとすれば という式が得られることになるが、右辺の角括弧内の総和は (0 ≤) x < 1 のとき収束して 1/(1 + x) に等しい。さらに仮定を重ねて（1 ≤ x のときも収束性を無視して）角括弧内の総和を 1/(1 + x) に書き換えてよいものとすると、全体の積分が有限値に収束するものになり、ボレルの意味で と書くことが正当化できる（但し、e は自然対数の底、は指数積分である）。 (ja)
- 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ är inom matematiken den divergenta serien som först behandlades av Euler, som sökte resummationsmetoder för att överlåta ett ändligt värde till serien. Serien är en summa av fakulteter som alternerande adderas eller subtraheras. Ett enkelt sätt att summera den divergenta serien är att använda : Om vi byter ut summering och integration ges: Summeringen i hakparenteserna konvergerar och är lika med 1/(1 + x) om x < 1. Om vi byter summeringen med 1/(1 + x) oavsett om det konvergerar, får vi en konvergent integral för summering: där är . (sv)
- 數學上，發散級數： 是被歐拉首次研究，他應用重求和方法給級數賦予一個有限的值。此級數是被交替加減的階乘之總和。要給發散級數賦值，其中一個方法是用博雷爾和，其型式上寫成： 若我們對總和和積分進行轉乘（忽略兩者其實都是不收斂的），將得到： 在中括號中的總和收斂，並等於1/(1 + x)，若x < 1。若我們繼續對所有實數x分析1/(1 + x)，可以得到收斂積分的總和： 此處的是指數積分。這是根據博雷爾和對級數的定義。 (zh)
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- In mathematics, is a divergent series, first considered by Euler, that sums the factorials of the natural numbers with alternating signs. Despite being divergent, it can be assigned a value of approximately 0.596347 by Borel summation. (en)
- Dalam matematika, adalah deret divergen yang menjumlahkan faktorial dari bilangan asli dengan tanda positif dan negatif yang berubah secara selang-seling. Walaupun hasilnya divergen, deret tersebut dapat mempunyai nilai sekitar 0,596347 berdasarkan . (in)
- 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + … は発散級数のひとつ。階乗に関する交項級数であり、総和の記号を用いて と表される。 この級数は通常の意味での和を持たないが、オイラーは微分方程式を用いる適当な形式総和法によりこの級数に有限な値を割り当てた。 この発散級数の値を知る簡単な方法の一つは、 を考えることである（式の両辺は通常の意味でともに無限大であり、ここでの等号はこのままでは正当化されない形式的な等号であることに注意）。ここで仮に無限和と積分とが（記号的に）交換できるものとすれば という式が得られることになるが、右辺の角括弧内の総和は (0 ≤) x < 1 のとき収束して 1/(1 + x) に等しい。さらに仮定を重ねて（1 ≤ x のときも収束性を無視して）角括弧内の総和を 1/(1 + x) に書き換えてよいものとすると、全体の積分が有限値に収束するものになり、ボレルの意味で と書くことが正当化できる（但し、e は自然対数の底、は指数積分である）。 (ja)
- 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ är inom matematiken den divergenta serien som först behandlades av Euler, som sökte resummationsmetoder för att överlåta ett ändligt värde till serien. Serien är en summa av fakulteter som alternerande adderas eller subtraheras. Ett enkelt sätt att summera den divergenta serien är att använda : Om vi byter ut summering och integration ges: Summeringen i hakparenteserna konvergerar och är lika med 1/(1 + x) om x < 1. Om vi byter summeringen med 1/(1 + x) oavsett om det konvergerar, får vi en konvergent integral för summering: där är . (sv)
- 數學上，發散級數： 是被歐拉首次研究，他應用重求和方法給級數賦予一個有限的值。此級數是被交替加減的階乘之總和。要給發散級數賦值，其中一個方法是用博雷爾和，其型式上寫成： 若我們對總和和積分進行轉乘（忽略兩者其實都是不收斂的），將得到： 在中括號中的總和收斂，並等於1/(1 + x)，若x < 1。若我們繼續對所有實數x分析1/(1 + x)，可以得到收斂積分的總和： 此處的是指數積分。這是根據博雷爾和對級數的定義。 (zh)
- En mathématiques, et plus précisément en analyse, la série alternée des factorielles est la série divergente 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ , en notations modernes : . Leonhard Euler est le premier à avoir considéré cette série, qu'il étudia par des méthodes de sommation formelle, ainsi qu'en lui associant une équation différentielle ; cela lui permit de lui attribuer une valeur finie. Il est plus simple pour la sommer d'utiliser la sommation de Borel : (formellement, puisque les deux séries divergent). Échangeant somme et intégrale, on obtient : (fr)
- In matematica, la serie indeterminata fu considerata per la prima volta da Eulero, che applicò i metodi di sommabilità per assegnare un valore finito a questa serie. La serie è la somma alternata dei fattoriali, cioè che alternativamente sono sommati o sottratti. Un modo di assegnare un valore a questa serie è usando la somma di Borel, con cui si scrive che Se si scambiano la sommatoria e l'integrale (ignorando che nessuno dei due membri converge), si ottiene: dove è la funzione integrale esponenziale. Questa è per definizione la somma di Borel della serie. (it)
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- 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + … (en)
- 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + · · · (in)
- Série alternée des factorielles (fr)
- 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ... (it)
- 1−1+2−6+24−120+… (ja)
- 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (sv)
- 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (zh)
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