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Paradoxe de Richard リシャールのパラドックス مفارقة ريتشارد Парадокс Ришара Paradoks Richarda Paradosso di Richard Paradoja de Richard Richards Paradox Richard's paradox Paradoxo de Richard Paradoxa de Richard 理查德悖论
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リシャールのパラドックス（リシャールの逆説、Richard's paradox）はパラドックスのひとつ。 0から1までの実数をひとつ明確に定義する日本語の文をリシャール文と呼ぶことにし、このようなリシャール文を全て並べることを考える。日本語の文字種は明らかに有限であるから、有限のあらゆる正の自然数 n に対して、字数 n のリシャール文は高々有限個(しばしば 0 個)存在する。よって、リシャール文をその字数の順に、字数が同じもの同士は辞書順に並べることにすれば、あらゆるリシャール文を一列に並べて、自然数で番号付けができるはずである。 さて、次の文によってある実数を定義する: 整数部分を 0 とし、小数第 n 位の数を、第 n 番目のリシャール文によって定義される実数の小数第 n 位の数が 0 であれば 1、そうでなければ 0 、として定義される実数 この文は 0 から 1 までの実数をひとつ明確に定義しているのでリシャール文のひとつである。このリシャール文の番号を Q とすると、この文によって定義される実数の小数第 Q 位の数は第 Q 番目のリシャール文によって定義される実数の小数第 Q 位の数、つまり自分自身と異なっていなければならない。これは矛盾である。 なお 誤ってベリーのパラドックスがリシャールのパラドックスとして紹介されることがある。 Il paradosso di Richard è formulato da nel 1905. Immaginiamo un linguaggio in cui le proprietà aritmetiche dei numeri cardinali possano essere formulate e definite. La proprietà di essere un numero primo può essere definita nel modo seguente: "divisibile solo dall'unità e da sé stesso", la proprietà di essere un quadrato perfetto può essere definita come "essere prodotto di un intero per sé stesso" e così via. si definisce richardiano quel numero intero che non soddisfa la proprietà definita alla quale esso è correlato in maniera unica nell'insieme serialmente ordinato delle definizioni. 理查兹悖论是一个不真正自相矛盾的数学悖论。1905年法国数学家首次描写了这个悖论。今天它被用来显示仔细区分数学与元数学的重要性。 In logic, Richard's paradox is a semantical antinomy of set theory and natural language first described by the French mathematician Jules Richard in 1905. The paradox is ordinarily used to motivate the importance of distinguishing carefully between mathematics and metamathematics. Kurt Gödel specifically cites Richard's antinomy as a semantical analogue to his syntactical incompleteness result in the introductory section of "On Formally Undecidable Propositions in Principia Mathematica and Related Systems I". The paradox was also a motivation for the development of predicative mathematics. مفارقة ريتشارد في المنطق هي عبارة تضاد لغوي بين نظرية المجموعات واللغة الطبيعية، وصفها لأول مرة عالم الرياضيات الفرنسي جوليس ريتشارد في عام 1905. تستخدم المفارقة عادةً لتوضيح أهمية التفرقة بعناية بين الرياضيات وما وراء الرياضيات. استشهد كيرت جودل بمفارقة ريتشارد تحديدًا باعتبارها شبيهة دِلاليًا "بنتيجة عدم الاكتمال" في مقدمته لـ ""On Formally Undecidable Propositions in Principia Mathematica and Related Systems I". Парадо́кс Риша́ра — , впервые описанный французским математиком Жюлем Ришаром в 1905 году. En lógica, la Paradoja de Richard es una antinomia de la teoría de conjuntos y el lenguaje natural que fue descrita por primera vez por el matemático en 1905. La paradoja se usa comúnmente para denotar la importancia de distinguir entre las matemáticas y las metamatemáticas. Kurt Gödel citó específicamente la antinomia de Richard como un análogo semántico a su resultado de incompletitud en la introducción de Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados. La paradoja también fue una motivación para el desarrollo de las matemáticas impredicativas. Paradoks Richarda jest antynomią w teorii zbiorów i języku naturalnym po raz pierwszy opisaną w 1905 roku przez . Istnieje wiele sformułowań tego paradoksu, w oryginalnej postaci antynomia bazuje na modyfikacji metody przekątniowej Cantora. Paradoks Richarda jest często omawiany w kontekście rozróżnienia pomiędzy zdaniami matematyki i metamatematyki. Richards Paradox eine semantische Antinomie der Mengenlehre und der natürlichen Sprache, die zuerst vom französischen Mathematiker Jules Richard im Jahr 1905 beschrieben wurde. Das Paradoxon wird normalerweise verwendet, um die Wichtigkeit einer sorgfältigen Unterscheidung zwischen Mathematik und Metamathematik zu motivieren. Kurt Gödel zitierte Richards Antinomie als semantisches Analogon zu seinem Unvollständigkeitssatz. En teoria de conjunts, la Paradoxa de Richard apareix quan la teoria no està prou formalitzada. Va ser descrit pel matemàtic francès Jules Richard que la va comunicar per carta al director de la revista Revue Générale des Sciences Pures et Appliquées. Es va publicar al número del 30 de juny de 1905 a la revista, en forma d'article curt. Em lógica, o Paradoxo de Richard é uma antinomia semântica da teoria dos conjuntos e linguagem natural primeiro descrita pelo matemático francês Jules Richard durante 1905. O paradoxo é normalmente usado para motivar a importância de distinguir cuidadosamente entre a matemática e a metamatemática. O paradoxo era também uma motivação do desenvolvimento da matemática predicativa. Le paradoxe de Richard est le paradoxe suivant, qui apparaît lorsqu'une théorie des ensembles n'est pas suffisamment formalisée : « Si l'on numérote tous les nombres réels définissables en un nombre fini de mots, alors on peut construire, en utilisant l'argument de la diagonale de Cantor un nombre réel hors de cette liste. Pourtant ce nombre a été défini en un nombre fini de mots. »
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In logic, Richard's paradox is a semantical antinomy of set theory and natural language first described by the French mathematician Jules Richard in 1905. The paradox is ordinarily used to motivate the importance of distinguishing carefully between mathematics and metamathematics. Kurt Gödel specifically cites Richard's antinomy as a semantical analogue to his syntactical incompleteness result in the introductory section of "On Formally Undecidable Propositions in Principia Mathematica and Related Systems I". The paradox was also a motivation for the development of predicative mathematics. Paradoks Richarda jest antynomią w teorii zbiorów i języku naturalnym po raz pierwszy opisaną w 1905 roku przez . Istnieje wiele sformułowań tego paradoksu, w oryginalnej postaci antynomia bazuje na modyfikacji metody przekątniowej Cantora. Paradoks Richarda jest często omawiany w kontekście rozróżnienia pomiędzy zdaniami matematyki i metamatematyki. Парадо́кс Риша́ра — , впервые описанный французским математиком Жюлем Ришаром в 1905 году. Il paradosso di Richard è formulato da nel 1905. Immaginiamo un linguaggio in cui le proprietà aritmetiche dei numeri cardinali possano essere formulate e definite. La proprietà di essere un numero primo può essere definita nel modo seguente: "divisibile solo dall'unità e da sé stesso", la proprietà di essere un quadrato perfetto può essere definita come "essere prodotto di un intero per sé stesso" e così via. Possiamo notare come ogni definizione contenga solo un numero finito di parole, e perciò solo un numero finito di lettere dell'alfabeto. Dunque le definizioni vengono ordinate e numerate in serie, come? Una definizione seguirà la precedente se il numero di lettere della prima è minore, ne consegue che una definizione precederà un'altra se il suo numero di lettere è più piccolo rispetto al numero di lettere della definizione successiva. In caso di parità di numero di lettere allora l'ordine sarà stabilito secondo l'ordine alfabetico della prima lettera diversa. Come già introdotto prima queste definizioni verranno numerate, dunque ad ogni definizione corrisponderà un numero intero unico, il quale rappresenterà il posto che occupa la definizione nella serie (la definizione con il minor numero di lettere corrisponderà al numero 1, la successiva al 2 e così via). Visto che ogni definizione è associata a un numero intero, può accadere che, in alcuni casi, il numero assegnato alla proposizione possegga la proprietà presente nella definizione a esso correlata. Se, ad esempio, la proposizione "non divisibile per alcun intero diverso dall'unità e da sé stesso" fosse correlata al numero intero primo 17, allora esso avrebbe la proprietà definita dalla proposizione. Supponiamo anche di avere la proposizione "essere il prodotto di un intero per sé stesso" e che essa sia correlata al numero intero 15, ebbene il suddetto numero intero non possiede la proprietà definita dall'espressione. Tale stato di cose sarà definito richardiano, dunque ne consegue che 17 non ha la proprietà di essere richardiano. Conveniamo dunque nel dire che: si definisce richardiano quel numero intero che non soddisfa la proprietà definita alla quale esso è correlato in maniera unica nell'insieme serialmente ordinato delle definizioni. Un numero r è richardiano se, e solo se, non possiede la proprietà definita dall'espressione con la quale r è correlato. Prendiamo ora in questione l'espressione "r è richardiano" e ci domandiamo: r, correlato alla proposizione "r è richardiano" è richardiano? Cioè: r ha la proprietà espressa dalla proposizione a cui esso è correlato? Se r fosse richardiano, allora egli non dovrebbe soddisfare la proprietà espressa, ma poiché la proprietà espressa è proprio quella di essere richardiano ecco che incorriamo in una prima difficoltà. Se r non fosse richardiano, avrebbe la proprietà espressa: ma quindi sarebbe richardiano. Si crea dunque il paradosso di Richard. Possiamo evitare questo paradosso distinguendo attentamente fra proposizioni nell'ambito dell'aritmetica e intorno all'aritmetica, dunque fra proposizioni aritmetiche e meta-aritmetiche e dunque concludendo che il ragionamento fatto nella costruzione del paradosso di Richard sia ovviamente fallace e scorretto. La costruzione di r fa uso della procedura diagonale utilizzata da Cantor per dimostrare la non numerabilità dei numeri reali. Il paradosso di Richard – come quello di Berry e di – fa parte dei cosiddetti paradossi semantici. Il suo interesse nell'ambito dello studio dei fondamenti logici e la sua idea della rappresentazione della matematica aprirà la strada alla prova di incompletezza di Gödel Richards Paradox eine semantische Antinomie der Mengenlehre und der natürlichen Sprache, die zuerst vom französischen Mathematiker Jules Richard im Jahr 1905 beschrieben wurde. Das Paradoxon wird normalerweise verwendet, um die Wichtigkeit einer sorgfältigen Unterscheidung zwischen Mathematik und Metamathematik zu motivieren. Kurt Gödel zitierte Richards Antinomie als semantisches Analogon zu seinem Unvollständigkeitssatz. En lógica, la Paradoja de Richard es una antinomia de la teoría de conjuntos y el lenguaje natural que fue descrita por primera vez por el matemático en 1905. La paradoja se usa comúnmente para denotar la importancia de distinguir entre las matemáticas y las metamatemáticas. Kurt Gödel citó específicamente la antinomia de Richard como un análogo semántico a su resultado de incompletitud en la introducción de Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados. La paradoja también fue una motivación para el desarrollo de las matemáticas impredicativas. 理查兹悖论是一个不真正自相矛盾的数学悖论。1905年法国数学家首次描写了这个悖论。今天它被用来显示仔细区分数学与元数学的重要性。 リシャールのパラドックス（リシャールの逆説、Richard's paradox）はパラドックスのひとつ。 0から1までの実数をひとつ明確に定義する日本語の文をリシャール文と呼ぶことにし、このようなリシャール文を全て並べることを考える。日本語の文字種は明らかに有限であるから、有限のあらゆる正の自然数 n に対して、字数 n のリシャール文は高々有限個(しばしば 0 個)存在する。よって、リシャール文をその字数の順に、字数が同じもの同士は辞書順に並べることにすれば、あらゆるリシャール文を一列に並べて、自然数で番号付けができるはずである。 さて、次の文によってある実数を定義する: 整数部分を 0 とし、小数第 n 位の数を、第 n 番目のリシャール文によって定義される実数の小数第 n 位の数が 0 であれば 1、そうでなければ 0 、として定義される実数 この文は 0 から 1 までの実数をひとつ明確に定義しているのでリシャール文のひとつである。このリシャール文の番号を Q とすると、この文によって定義される実数の小数第 Q 位の数は第 Q 番目のリシャール文によって定義される実数の小数第 Q 位の数、つまり自分自身と異なっていなければならない。これは矛盾である。 なお 誤ってベリーのパラドックスがリシャールのパラドックスとして紹介されることがある。 مفارقة ريتشارد في المنطق هي عبارة تضاد لغوي بين نظرية المجموعات واللغة الطبيعية، وصفها لأول مرة عالم الرياضيات الفرنسي جوليس ريتشارد في عام 1905. تستخدم المفارقة عادةً لتوضيح أهمية التفرقة بعناية بين الرياضيات وما وراء الرياضيات. استشهد كيرت جودل بمفارقة ريتشارد تحديدًا باعتبارها شبيهة دِلاليًا "بنتيجة عدم الاكتمال" في مقدمته لـ ""On Formally Undecidable Propositions in Principia Mathematica and Related Systems I". Em lógica, o Paradoxo de Richard é uma antinomia semântica da teoria dos conjuntos e linguagem natural primeiro descrita pelo matemático francês Jules Richard durante 1905. O paradoxo é normalmente usado para motivar a importância de distinguir cuidadosamente entre a matemática e a metamatemática. O paradoxo era também uma motivação do desenvolvimento da matemática predicativa. En teoria de conjunts, la Paradoxa de Richard apareix quan la teoria no està prou formalitzada. Va ser descrit pel matemàtic francès Jules Richard que la va comunicar per carta al director de la revista Revue Générale des Sciences Pures et Appliquées. Es va publicar al número del 30 de juny de 1905 a la revista, en forma d'article curt. Le paradoxe de Richard est le paradoxe suivant, qui apparaît lorsqu'une théorie des ensembles n'est pas suffisamment formalisée : « Si l'on numérote tous les nombres réels définissables en un nombre fini de mots, alors on peut construire, en utilisant l'argument de la diagonale de Cantor un nombre réel hors de cette liste. Pourtant ce nombre a été défini en un nombre fini de mots. » Son auteur, le mathématicien français Jules Richard, professeur au lycée de Dijon, le décrivit dans une lettre au directeur de la Revue générale des Sciences Pures et Appliquées. Ce dernier décida de la publier, sous forme d'un court article, dans le numéro du 30 juin 1905 de cette revue. Il a joué un rôle important dans les recherches sur les fondements des mathématiques, en particulier au début du XXe siècle, et a suscité depuis sa publication en 1905 de nombreux commentaires.
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