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Statements

Subject Item

dbr:Alternating_series

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Alternating series Знакочередующийся ряд متسلسلة متناوبة 교대급수 Serie alternata Alternerande serie 交項級数 Alternierende Reihe 交错级数 Знакопереміжний ряд Alterna serio Szereg naprzemienny Série alternée Alternerende reeks Série alternada Serie alternada Sèrie alternada

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في الرياضيات، متسلسلة متناوبة هي متسلسلة غير منتهية تأخذ الشكل التالي: . En matemàtiques, una sèrie que alterna és una sèrie infinita de la forma amb an ≥ 0 (o an ≤ 0) per a tot n. Una suma finita d'aquesta classe és un suma alternada. Una sèrie alternada convergeix si el terme an convergeix a 0 monòtonament. L'error E introduït per aproximar una sèrie alternada amb la seva suma parcial de n termes ve donat per |E|<|an+1|. Un condició suficient perquè la sèrie convergeixi és que convergeixi absolutament. Però això és sovint una condició massa dura de fet: no és una condició necessària. Per exemple, la sèrie harmònica divergeix, mentre la versió que alternada In mathematics, an alternating series is an infinite series of the form or with an > 0 for all n. The signs of the general terms alternate between positive and negative. Like any series, an alternating series converges if and only if the associated sequence of partial sums converges. In de wiskundige analyse is een alternerende reeks een reeks waarvan de termen afwisselend positief en negatief zijn. Een voorbeeld is de reeks: Als een alternerende reeks absoluut convergeert, convergeert de alternerende reeks zelf ook. Dit betekent echter niet dat elke convergerende alternerende reeks ook absoluut moet convergeren. Een voorbeeld waarbij dit niet het geval is, is de harmonische reeks. Deze reeks convergeert niet, echter de alternerende reeks convergeert naar ln 2. . ook convergeert. Знакочередующийся ряд — математический ряд, члены которого попеременно принимают значения противоположных знаков, то есть: . En alternerade serie är i matematiken en serie där termerna växlar tecken: En sådan serie är konvergent om och endast om dess termer konvergerar mot 0 monotont (Leibniz kriterium). Ett tillräckligt villkor för att en alternerande serie ska konvergera är att den är absolutkonvergent. Ett exempel på en konvergerande alternerande serie är: Dock är den inte absolutkonvergent, ty serien: divergerar. 交错级数是形如或的级数（an ≥ 0）。格兰迪级数是交错级数中的特殊情况。 Знакоперемі́жний ряд — математичний ряд, члени якого почергово набувають значень із протилежними знаками: . Як і будь-який ряд, знакопереміжний ряд є тоді і тільки тоді, коли відповідна послідовність часткових сум є збіжною. 数学、とくに解析学における交項級数（こうこうきゅうすう）または交代級数（こうたいきゅうすう、英: alternating series）とは項の正負が交互に入れ替わる無限級数 である。同様の有限級数をしばしば交代和 (alternating sum) と呼ぶ。 En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, une série alternée est un cas particulier de série à termes réels, dont la forme particulière permet d'avoir des résultats de convergence notables. Une série à termes réels est dite alternée si ses termes sont de signes alternés, c'est-à-dire si elle est de la forme : avec ai des nombres réels positifs. En matematiko, alterna serio estas malfinia serio de formo kun an ≥ 0 por ĉiuj n (aŭ an ≤ 0 por ĉiuj n). Finia sumo de ĉi tiu speco estas alterna sumo. Alterna serio konverĝas se la termoj an konverĝas al 0 monotone. La eraro E de aproksimado de la alterna serio per ĝia de n eroj estas ne pli granda ol la unua nesumigita ero: |E| < |an+1| Sufiĉa kondiĉo por ke la serio konverĝu estas ke ĝi konverĝas absolute. Sed ĉi tiu estas ofte tro forta kondiĉo, ĝi estas ne necesa. Ekzemple, la malkonverĝas, sed ĝia la alterna versio konverĝas al log 2. konverĝas. Pruvo Estu In matematica, e più precisamente in analisi matematica, una serie alternata è una serie i cui termini sono alternativamente positivi o negativi. Una definizione alternativa è che una serie alternata è una serie del tipo dove gli ai sono tutti positivi (o tutti negativi). Condizione sufficiente ma non necessaria per la convergenza di una serie alternata è che essa sia assolutamente convergente, ovvero che la serie sia convergente. converge. Em matemática, série alternada é uma série do tipo: É convergente se ≥ > 0, para todo k, e se . 해석학에서 교대급수(交代級數, 영어: alternating series)는 양과 음의 항이 번갈아 가며 나타나는 급수이다. Alternierende Reihen (von lateinisch: alternare - abwechseln) sind unendliche Reihen und gehören als solche in das mathematische Teilgebiet der Analysis. En matemáticas, una serie alternada es una serie infinita del tipo con an > 0. Una suma finita de este tipo es una suma alternada. Szereg naprzemienny (także szereg przemienny, szereg alternujący bądź szereg znakozmienny) – szereg liczbowy, którego wyrazy są na przemian dodatnie i ujemne. Szereg naprzemienny można przedstawić w postaci: gdzie dla każdego Z definicji wynika, że iloczyn dowolnych dwóch sąsiednich wyrazów szeregu jest ujemny. Kryterium Leibniza orzeka, że szereg naprzemienny, którego ciąg wyrazów jest nierosnący i zbieżny do 0 jest zbieżny.

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Alternating Series

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AlternatingSeries

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数学、とくに解析学における交項級数（こうこうきゅうすう）または交代級数（こうたいきゅうすう、英: alternating series）とは項の正負が交互に入れ替わる無限級数 である。同様の有限級数をしばしば交代和 (alternating sum) と呼ぶ。 In mathematics, an alternating series is an infinite series of the form or with an > 0 for all n. The signs of the general terms alternate between positive and negative. Like any series, an alternating series converges if and only if the associated sequence of partial sums converges. In matematica, e più precisamente in analisi matematica, una serie alternata è una serie i cui termini sono alternativamente positivi o negativi. Una definizione alternativa è che una serie alternata è una serie del tipo dove gli ai sono tutti positivi (o tutti negativi). Condizione sufficiente ma non necessaria per la convergenza di una serie alternata è che essa sia assolutamente convergente, ovvero che la serie sia convergente. Un criterio molto potente per stabilire la convergenza di queste serie è il criterio di Leibniz: esso afferma che se la successione an è monotona decrescente e il suo limite è 0, allora la serie alternata converge. 交错级数是形如或的级数（an ≥ 0）。格兰迪级数是交错级数中的特殊情况。 في الرياضيات، متسلسلة متناوبة هي متسلسلة غير منتهية تأخذ الشكل التالي: . Знакоперемі́жний ряд — математичний ряд, члени якого почергово набувають значень із протилежними знаками: . Як і будь-який ряд, знакопереміжний ряд є тоді і тільки тоді, коли відповідна послідовність часткових сум є збіжною. Szereg naprzemienny (także szereg przemienny, szereg alternujący bądź szereg znakozmienny) – szereg liczbowy, którego wyrazy są na przemian dodatnie i ujemne. Szereg naprzemienny można przedstawić w postaci: gdzie dla każdego Z definicji wynika, że iloczyn dowolnych dwóch sąsiednich wyrazów szeregu jest ujemny. Kryterium Leibniza orzeka, że szereg naprzemienny, którego ciąg wyrazów jest nierosnący i zbieżny do 0 jest zbieżny. In de wiskundige analyse is een alternerende reeks een reeks waarvan de termen afwisselend positief en negatief zijn. Een voorbeeld is de reeks: Als een alternerende reeks absoluut convergeert, convergeert de alternerende reeks zelf ook. Dit betekent echter niet dat elke convergerende alternerende reeks ook absoluut moet convergeren. Een voorbeeld waarbij dit niet het geval is, is de harmonische reeks. Deze reeks convergeert niet, echter de alternerende reeks convergeert naar ln 2. Een algemener criterium voor de convergentie van een alternerende reeks is het criterium van Leibniz. Dit stelt dat als de rij monotoon daalt en convergeert naar nul, de alternerende reeks . ook convergeert. En matematiko, alterna serio estas malfinia serio de formo kun an ≥ 0 por ĉiuj n (aŭ an ≤ 0 por ĉiuj n). Finia sumo de ĉi tiu speco estas alterna sumo. Alterna serio konverĝas se la termoj an konverĝas al 0 monotone. La eraro E de aproksimado de la alterna serio per ĝia de n eroj estas ne pli granda ol la unua nesumigita ero: |E| < |an+1| Sufiĉa kondiĉo por ke la serio konverĝu estas ke ĝi konverĝas absolute. Sed ĉi tiu estas ofte tro forta kondiĉo, ĝi estas ne necesa. Ekzemple, la malkonverĝas, sed ĝia la alterna versio konverĝas al log 2. Pli ofte donanta jesan rezulton provo por konverĝo de alterna serio estas alterna seria provo: se la vico an estas monotone malkreskanta kaj strebas al nulo, tiam la serio konverĝas. Pruvo Estu Se la vico an strebas al nulo kaj estas monotona malkreskanta (almenaŭ ekde certa n), eblas montri ke la vico de partaj sumoj estas koŝia vico. Alprenante ke m, (tio ke la vico estante monotona malkreskanta garantias ke ; noto ke formale oni bezonas enkalkuli ĉu n estas para aŭ nepara, sed ĉi tio ne ŝanĝas la ideon de la pruvo) Ĉar kiam , la vico de partaj sumoj estas koŝia vico, kaj tiel la serio estas konverĝa. Pro tio ke la pritakso pli supre ne dependas de n, ĝi ankaŭ montras ke Konverĝa alterna serio kiu ne konverĝas absolute estas ekzemplo de kondiĉa konverĝa serio. Tiam aplikeblas al ĝia reordigoj. En matemàtiques, una sèrie que alterna és una sèrie infinita de la forma amb an ≥ 0 (o an ≤ 0) per a tot n. Una suma finita d'aquesta classe és un suma alternada. Una sèrie alternada convergeix si el terme an convergeix a 0 monòtonament. L'error E introduït per aproximar una sèrie alternada amb la seva suma parcial de n termes ve donat per |E|<|an+1|. Un condició suficient perquè la sèrie convergeixi és que convergeixi absolutament. Però això és sovint una condició massa dura de fet: no és una condició necessària. Per exemple, la sèrie harmònica divergeix, mentre la versió que alternada convergeix al logaritme natural de 2. Un test més ampli per a la convergència d'una sèrie alternada és el : si la successió és monòtona decreixent i tendeix a zero, llavors la sèrie convergeix. La suma parcial es pot fer servir per aproximar la suma d'una sèrie alternada convergent. Si és monòtona decreixent i tendeix a zero, llavors l'error en aquesta aproximació és menor que . Aquesta última observació és la base del test de Leibniz. En efecte, si la successió tendeix a zero i és monòtona decreixent (com a mínim des d'un cert punt), es pot fàcilment demostrar que la successió de sumes parcials és una Successió de Cauchy. Assumint (la successió que és monòtona decreixent garanteix que ; fixeu-vos que formalment es necessita tenir en compte si és parell o senar, però això no canvia la idea de la demostració) Com que quan , la successió de sumes parcials és Cauchy, i per tant la sèrie és convergent. Com que l'estimació anterior no depèn de , també demostra que Les sèries alternades convergents que no convergeixen absolutament són exemples de sèries condicionalment convergents. En particular, el s'aplica a les seves reordenacions. En matemáticas, una serie alternada es una serie infinita del tipo con an > 0. Una suma finita de este tipo es una suma alternada. Alternierende Reihen (von lateinisch: alternare - abwechseln) sind unendliche Reihen und gehören als solche in das mathematische Teilgebiet der Analysis. En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, une série alternée est un cas particulier de série à termes réels, dont la forme particulière permet d'avoir des résultats de convergence notables. Une série à termes réels est dite alternée si ses termes sont de signes alternés, c'est-à-dire si elle est de la forme : avec ai des nombres réels positifs. Le principal critère de convergence concernant les séries alternées permet de montrer que certaines séries alternées non absolument convergentes sont convergentes, notamment la série harmonique alternée. De tels exemples appartiennent à la famille des séries semi-convergentes. Dans ce cas, un théorème de Riemann assure que l'on peut toujours réordonner les termes de la série pour la faire converger vers n'importe quel réel, et même diverger. 해석학에서 교대급수(交代級數, 영어: alternating series)는 양과 음의 항이 번갈아 가며 나타나는 급수이다. Знакочередующийся ряд — математический ряд, члены которого попеременно принимают значения противоположных знаков, то есть: . En alternerade serie är i matematiken en serie där termerna växlar tecken: En sådan serie är konvergent om och endast om dess termer konvergerar mot 0 monotont (Leibniz kriterium). Ett tillräckligt villkor för att en alternerande serie ska konvergera är att den är absolutkonvergent. Ett exempel på en konvergerande alternerande serie är: Dock är den inte absolutkonvergent, ty serien: divergerar. Em matemática, série alternada é uma série do tipo: É convergente se ≥ > 0, para todo k, e se .

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