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- In geometric group theory, Gromov's theorem on groups of polynomial growth, first proved by Mikhail Gromov, characterizes finitely generated groups of polynomial growth, as those groups which have nilpotent subgroups of finite index. (en)
- En théorie géométrique des groupes, le théorème de Gromov sur les groupes à croissance polynomiale, démontré par Mikhaïl Gromov, s'énonce ainsi : Théorème — Un groupe de type fini est à croissance polynomiale si et seulement s'il possède un sous-groupe nilpotent d'indice fini. La croissance d'un groupe de type fini est une notion de qui quantifie le volume d'une boule de rayon lorsque tend vers l'infini. Un groupe de type fini est dit à croissance polynomiale lorsque, si l'on fixe une partie génératrice symétrique (i.e. stable par passage à l'inverse) de , il existe deux réels strictement positifs tels que toute boule (pour la distance des mots par rapport à la partie ) de rayon a un volume borné par . Cette définition dépend a priori de la partie génératrice choisie, mais on peut montrer que s'il existe un couple qui convient pour , alors pour toute autre partie génératrice symétrique il existe tel que le couple convient. Le degré de croissance polynomiale de est alors défini comme la borne inférieure des réels apparaissant dans une telle majoration. Un groupe est dit nilpotent lorsque sa suite centrale descendante stationne au sous-groupe trivial. Joseph A. Wolf a montré que les groupes nilpotents de type fini sont à croissance polynomiale. La réciproque a été démontrée par Gromov en utilisant une notion de convergence pour les espaces métriques, la distance de Gromov-Hausdorff, maintenant largement utilisée en géométrie. D'autres preuves ont été découvertes depuis, dont celle de Kleiner. La formule de Bass-Guivarc'h établit que le degré de croissance polynomiale de G est où rang désigne le (en), i. e. le nombre maximum d'éléments indépendants et sans torsion du groupe abélien. En particulier, le théorème de Gromov et la formule de Bass-Guivarc'h impliquent que le degré de croissance polynomiale est un entier dès qu'il est fini. Terence Tao et , élaborant l'argument utilisé dans la preuve de Kleiner du théorème de Gromov, ont fourni une version quantitative du théorème, avec des constantes explicites portant sur l'indice fini du sous-groupe nilpotent dont on affirme l'existence et sur le degré de croissance polynomiale – en particulier, cette notion asymptotique est ramenée à la vérification d'une borne supérieure sur le volume d'une certaine boule de grand rayon. (fr)
- Теорема Громова о группах полиномиального роста утверждает, что все конечнопорождённые группы полиномиального роста почти нильпотентны, то есть, обладают нильпотентной подгруппой конечного индекса. Теорема доказана Громовым в 1981.В той же статье вводится так называемая сходимость по Громову — Хаусдорфу.Доказательство существенно использует так называемую альтернативу Титса. (ru)
- Теоре́ма Гро́мова про гру́пи поліноміа́льного зроста́ння стверджує, що всі скінченнопороджені групи поліноміального зростання майже нільпотентні, тобто мають нільпотентну підгрупу скінченного індексу. Теорему довів Громов 1981 року. У тій самій статті вводиться так звана збіжність за Громовом — Гаусдорфом. Доведення суттєво використовує так звану альтернативу Тітса . (uk)
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- Теорема Громова о группах полиномиального роста утверждает, что все конечнопорождённые группы полиномиального роста почти нильпотентны, то есть, обладают нильпотентной подгруппой конечного индекса. Теорема доказана Громовым в 1981.В той же статье вводится так называемая сходимость по Громову — Хаусдорфу.Доказательство существенно использует так называемую альтернативу Титса. (ru)
- Теоре́ма Гро́мова про гру́пи поліноміа́льного зроста́ння стверджує, що всі скінченнопороджені групи поліноміального зростання майже нільпотентні, тобто мають нільпотентну підгрупу скінченного індексу. Теорему довів Громов 1981 року. У тій самій статті вводиться так звана збіжність за Громовом — Гаусдорфом. Доведення суттєво використовує так звану альтернативу Тітса . (uk)
- En théorie géométrique des groupes, le théorème de Gromov sur les groupes à croissance polynomiale, démontré par Mikhaïl Gromov, s'énonce ainsi : Théorème — Un groupe de type fini est à croissance polynomiale si et seulement s'il possède un sous-groupe nilpotent d'indice fini. Un groupe est dit nilpotent lorsque sa suite centrale descendante stationne au sous-groupe trivial. La formule de Bass-Guivarc'h établit que le degré de croissance polynomiale de G est où rang désigne le (en), i. e. le nombre maximum d'éléments indépendants et sans torsion du groupe abélien. (fr)
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- Satz von Gromov (de)
- Gromov's theorem on groups of polynomial growth (en)
- Théorème de Gromov sur les groupes à croissance polynomiale (fr)
- Теорема Громова о группах полиномиального роста (ru)
- Теорема Громова про групи поліноміального зростання (uk)
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