In mathematics, Picard–Lefschetz theory studies the topology of a complex manifold by looking at the critical points of a holomorphic function on the manifold. It was introduced by Émile Picard for complex surfaces in his book , and extended to higher dimensions by Solomon Lefschetz. It is a complex analog of Morse theory that studies the topology of a real manifold by looking at the critical points of a real function. Pierre Deligne and Nicholas Katz extended Picard–Lefschetz theory to varieties over more general fields, and Deligne used this generalization in his proof of the Weil conjectures.
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| - Théorie de Picard-Lefschetz (fr)
- 피카르-렙셰츠 이론 (ko)
- ピカール・レフシェッツ理論 (ja)
- Picard–Lefschetz theory (en)
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| - En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, la théorie de Picard-Lefschetz est un ensemble de techniques permettant d’étudier la topologie des variétés complexes à l'aide des points critiques de fonctions holomorphes définies sur la variété. Elle fut construite en 1897 par Émile Picard pour les surfaces (les variétés de dimension 2), et étendue aux dimensions supérieures par Solomon Lefschetz en 1924. C'est un analogue complexe de la théorie de Morse, laquelle utilise les mêmes techniques pour étudier les variétés réelles. Pierre Deligne et Nicholas Katz ont encore étendu la théorie à des variétés sur des corps quelconques, et Deligne a utilisé cette généralisation dans sa preuve des conjectures de Weil en 1974. (fr)
- In mathematics, Picard–Lefschetz theory studies the topology of a complex manifold by looking at the critical points of a holomorphic function on the manifold. It was introduced by Émile Picard for complex surfaces in his book , and extended to higher dimensions by Solomon Lefschetz. It is a complex analog of Morse theory that studies the topology of a real manifold by looking at the critical points of a real function. Pierre Deligne and Nicholas Katz extended Picard–Lefschetz theory to varieties over more general fields, and Deligne used this generalization in his proof of the Weil conjectures. (en)
- 미분위상수학과 대수기하학에서 피카르-렙셰츠 이론(영어: Picard–Lefshetz theory)은 복소다양체 위의 정칙함수의 특이점 주위의 모노드로미를 연구하는 이론이다. 모스 이론의 복소수 버전이라고 생각할 수 있다. (ko)
- 数学において、ピカール・レフシェッツ理論は複素多様体上の位相的性質を、多様体上の正則関数の臨界点を見ることによって調べる理論である。この理論はエミール・ピカールが複素曲面に対して著書 内で導入し、 において高次元へ拡張された。ピカール・レフシェッツ理論は、実多様体の位相的性質を実関数の臨界点によって調べるモース理論の複素版である。 においてピカール・レフシェッツ理論はさらに一般の体上に拡張され、ドリーニュはこの一般化をヴェイユ予想の証明の中で用いた。 (ja)
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| - En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, la théorie de Picard-Lefschetz est un ensemble de techniques permettant d’étudier la topologie des variétés complexes à l'aide des points critiques de fonctions holomorphes définies sur la variété. Elle fut construite en 1897 par Émile Picard pour les surfaces (les variétés de dimension 2), et étendue aux dimensions supérieures par Solomon Lefschetz en 1924. C'est un analogue complexe de la théorie de Morse, laquelle utilise les mêmes techniques pour étudier les variétés réelles. Pierre Deligne et Nicholas Katz ont encore étendu la théorie à des variétés sur des corps quelconques, et Deligne a utilisé cette généralisation dans sa preuve des conjectures de Weil en 1974. (fr)
- In mathematics, Picard–Lefschetz theory studies the topology of a complex manifold by looking at the critical points of a holomorphic function on the manifold. It was introduced by Émile Picard for complex surfaces in his book , and extended to higher dimensions by Solomon Lefschetz. It is a complex analog of Morse theory that studies the topology of a real manifold by looking at the critical points of a real function. Pierre Deligne and Nicholas Katz extended Picard–Lefschetz theory to varieties over more general fields, and Deligne used this generalization in his proof of the Weil conjectures. (en)
- 미분위상수학과 대수기하학에서 피카르-렙셰츠 이론(영어: Picard–Lefshetz theory)은 복소다양체 위의 정칙함수의 특이점 주위의 모노드로미를 연구하는 이론이다. 모스 이론의 복소수 버전이라고 생각할 수 있다. (ko)
- 数学において、ピカール・レフシェッツ理論は複素多様体上の位相的性質を、多様体上の正則関数の臨界点を見ることによって調べる理論である。この理論はエミール・ピカールが複素曲面に対して著書 内で導入し、 において高次元へ拡張された。ピカール・レフシェッツ理論は、実多様体の位相的性質を実関数の臨界点によって調べるモース理論の複素版である。 においてピカール・レフシェッツ理論はさらに一般の体上に拡張され、ドリーニュはこの一般化をヴェイユ予想の証明の中で用いた。 (ja)
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