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In mathematics, noncommutative harmonic analysis is the field in which results from Fourier analysis are extended to topological groups that are not commutative. Since locally compact abelian groups have a well-understood theory, Pontryagin duality, which includes the basic structures of Fourier series and Fourier transforms, the major business of non-commutative harmonic analysis is usually taken to be the extension of the theory to all groups G that are locally compact. The case of compact groups is understood, qualitatively and after the Peter–Weyl theorem from the 1920s, as being generally analogous to that of finite groups and their character theory.

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  • Noncommutative harmonic analysis
  • Analyse harmonique non commutative
  • 非可換調和解析
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  • L'analyse harmonique non commutative est une branche des mathématiques qui est parvenue à maturité vers la fin des années 1970 ; elle généralise l'analyse harmonique classique et consiste, comme cette dernière (qui remonte au XVIIIe siècle), à développer une fonction en composantes fondamentales. Elle a des applications dans de nombreux domaines : les équations aux dérivées partielles qui, avec leurs problèmes aux bords, ont des groupes de symétrie non commutatifs ; la Mécanique quantique ; récemment, les sciences de l'ingénieur (traitement d'images, robotique, chimie, théorie des systèmes dynamiques non linéaires, etc.) ; la théorie des nombres ( (en), (en)).
  • In mathematics, noncommutative harmonic analysis is the field in which results from Fourier analysis are extended to topological groups that are not commutative. Since locally compact abelian groups have a well-understood theory, Pontryagin duality, which includes the basic structures of Fourier series and Fourier transforms, the major business of non-commutative harmonic analysis is usually taken to be the extension of the theory to all groups G that are locally compact. The case of compact groups is understood, qualitatively and after the Peter–Weyl theorem from the 1920s, as being generally analogous to that of finite groups and their character theory.
  • 数学の一分野としての非可換調和解析(ひかかんちょうわかいせき、英: noncommutative harmonic analysis)は、フーリエ解析における結果を可換とは限らない位相群に対するものへ拡張することを研究する。の調和解析においては、フーリエ級数やフーリエ変換の基本構造などを含む深い理論(ポントリャーギン双対性)が知られているので、非可換調和解析の主要な行動原理としては、それらの理論を任意の局所コンパクト群 G に対する理論へ拡張することを考えるのが普通である。コンパクト群の場合には、1920年代以降により定性的に理解されていて、それは一般に有限群とその指標理論の類似対応物となっている。 故に非可換調和解析の主な課題は、G がコンパクトでも可換でもないような局所コンパクト群の場合である。そういった群の中には興味深い例として、多くのリー群および p-進体上の代数群などが含まれる。これらは数理物理学、および当代の数論(特に)においても興味深くよく応用される。
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  • L'analyse harmonique non commutative est une branche des mathématiques qui est parvenue à maturité vers la fin des années 1970 ; elle généralise l'analyse harmonique classique et consiste, comme cette dernière (qui remonte au XVIIIe siècle), à développer une fonction en composantes fondamentales. Elle a des applications dans de nombreux domaines : les équations aux dérivées partielles qui, avec leurs problèmes aux bords, ont des groupes de symétrie non commutatifs ; la Mécanique quantique ; récemment, les sciences de l'ingénieur (traitement d'images, robotique, chimie, théorie des systèmes dynamiques non linéaires, etc.) ; la théorie des nombres ( (en), (en)). L'analyse harmonique, à ses débuts, considérait des fonctions périodiques et en réalisait la décomposition en série de Fourier. Une fonction périodique (de période 1, après normalisation) peut être considérée comme définie sur le tore , et la théorie des groupes commutatifs localement compacts montre que l'« espace dual » du tore, sur lequel dont définis les coefficients de Fourier, est l'ensemble des entiers relatifs, qui est de nouveau un groupe abélien ; aussi les coefficients de Fourier d'une fonction périodique forment-ils une suite de nombres complexes. Réciproquement, quand on réalise la synthèse de Fourier, on passe par la « formule de Plancherel » des coefficients de Fourier, définis sur , à la fonction périodique dont ils sont issus, définie sur qui est le « dual » de . Ceci est un cas particulier du théorème de dualité de Lev Pontryagin et Egbert van Kampen, qui montre que le « bidual » d'un groupe localement compact commutatif G s'identifie à G. D'autre part, on peut associer à une fonction définie sur la droite réelle sa transformée de Fourier, elle aussi définie sur , qui est son propre dual ; puis on peut faire l'opération inverse, par la formule de Plancherel. L'analyse harmonique consiste donc à associer à une fonction, définie sur un groupe topologique G (qu'on supposera être un groupe de Lie quand on voudra définir sur ce groupe, par exemple, la notion de dérivée), une autre fonction, définie sur l'« espace dual » de ce groupe. Celui-ci est défini comme étant l'ensemble des classes d'équivalence des représentations unitaires irréductibles de G ; lorsque G est un groupe « apprivoisé », par exemple un groupe de Lie semi-simple, cet espace est muni d'une « topologie naturelle » et d'une mesure « canonique », la (en). Lorsque le groupe G est commutatif, ces représentations irréductibles s'identifient aux caractères de G ; est alors de nouveau un groupe commutatif localement compact, et la mesure de Plancherel est la mesure de Haar sur : ceci est lié au fait que, dans ce cas, toutes les représentations unitaires irréductibles de G sont de dimension (ou « degré ») 1. Sur un groupe non commutatif, ce n'est plus le cas, et déjà sur un groupe fini ou compact non commutatif, les « coefficients de Fourier » d'une fonction, qui constituent la « cotransformée de Fourier » de cette fonction, sont des matrices. On peut encore définir les caractères comme étant les traces des représentations irréductibles : dans le cas d'un groupe compact, ce sont des traces au sens usuel (traces de matrices) ; dans le cas d'un groupe non compact, ce sont des traces dans un sens généralisé qui est fondé à la fois sur la notion d'opérateur à trace et sur celle de distribution (« caractères de Harish-Chandra »). La « décomposition de Fourier » sur un groupe non commutatif non compact comporte une partie discrète, analogue aux coefficients de Fourier d'une fonction périodique : c'est la « série discrète » ; et une partie continue, analogue à la transformée de Fourier d'une fonction sur la droite réelle : c'est la « série principale ». La partie purement formelle de l'analyse harmonique non commutative peut être présentée assez simplement, par généralisations successives, en partant des développements en série de Fourier et de la transformation de Fourier sur la droite réelle puis sur un groupe commutatif, en envisageant ensuite le cas d'un groupe compact, enfin en montrant comment le « formalisme de Peter-Weyl » peut s'étendre au cas d'un groupe non compact. En revanche, dès qu'on veut, comme l'a fait Harish-Chandra, dépasser le cadre purement formel et expliciter dans le cas général la formule de Plancherel, qui permet de réaliser la synthèse de Fourier à partir des caractères, l'analyse harmonique non commutative est « hérissée de difficultés conceptuelles » et « nécessite des moyens techniques considérables », suivant les expressions de Jean Dieudonné. Le groupe des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels et de déterminant 1 est le groupe non compact semi-simple de la plus petite dimension possible ; tout en restant relativement simple, il a une structure suffisamment riche pour donner un bon aperçu des points fondamentaux de la théorie générale.
  • 数学の一分野としての非可換調和解析(ひかかんちょうわかいせき、英: noncommutative harmonic analysis)は、フーリエ解析における結果を可換とは限らない位相群に対するものへ拡張することを研究する。の調和解析においては、フーリエ級数やフーリエ変換の基本構造などを含む深い理論(ポントリャーギン双対性)が知られているので、非可換調和解析の主要な行動原理としては、それらの理論を任意の局所コンパクト群 G に対する理論へ拡張することを考えるのが普通である。コンパクト群の場合には、1920年代以降により定性的に理解されていて、それは一般に有限群とその指標理論の類似対応物となっている。 故に非可換調和解析の主な課題は、G がコンパクトでも可換でもないような局所コンパクト群の場合である。そういった群の中には興味深い例として、多くのリー群および p-進体上の代数群などが含まれる。これらは数理物理学、および当代の数論(特に)においても興味深くよく応用される。 期待すべきことはフォンノイマンの基本的な仕事の結果として知られる。即ちフォンノイマンは、G のが I-型ならば、G のユニタリ表現としての L2(G) は既約表現のに分解されることを示した。これはつまり、ユニタリ表現の同型類全体の成す集合(にを入れたユニタリ双対群)で径数付けられることを意味する。プランシュレルの定理の類似は、ユニタリ双対群上の測度であるプランシュレル測度をそれによる直積分をとることと同一視することによって抽象的に与えられる(ポントリャーギン双対性の場合、プランシュレル測度は G の上のあるハール測度に一致するので、従ってその正規化だけが問題である)。一般の局所コンパクト群の場合、あるいは可算離散群の場合でさえも、そのフォンノイマン群環は必ずしも I-型とは限らず、そして G の正則表現が(ユニタリかつ完全可約であったとしても)既約表現の言葉で書けないことが起こり得る。例えば無限対称群がそうで、そのフォンノイマン群環は、超有限 II1-型因子環になる。更なる理論ではプランシュレル測度は離散と連続の部分に分解される。およびのクラスに対しては、非常に詳しい理論が得られている。
  • In mathematics, noncommutative harmonic analysis is the field in which results from Fourier analysis are extended to topological groups that are not commutative. Since locally compact abelian groups have a well-understood theory, Pontryagin duality, which includes the basic structures of Fourier series and Fourier transforms, the major business of non-commutative harmonic analysis is usually taken to be the extension of the theory to all groups G that are locally compact. The case of compact groups is understood, qualitatively and after the Peter–Weyl theorem from the 1920s, as being generally analogous to that of finite groups and their character theory. The main task is therefore the case of G that is locally compact, not compact and not commutative. The interesting examples include many Lie groups, and also algebraic groups over p-adic fields. These examples are of interest and frequently applied in mathematical physics, and contemporary number theory, particularly automorphic representations. What to expect is known as the result of basic work of John von Neumann. He showed that if the von Neumann group algebra of G is of type I, then L2(G) as a unitary representation of G is a direct integral of irreducible representations. It is parametrized therefore by the unitary dual, the set of isomorphism classes of such representations, which is given the hull-kernel topology. The analogue of the Plancherel theorem is abstractly given by identifying a measure on the unitary dual, the Plancherel measure, with respect to which the direct integral is taken. (For Pontryagin duality the Plancherel measure is some Haar measure on the dual group to G, the only issue therefore being its normalization.) For general locally compact groups, or even countable discrete groups, the von Neumann group algebra need not be of type I and the regular representation of G cannot be written in terms of irreducible representations, even though it is unitary and completely reducible. An example where this happens is the infinite symmetric group, where the von Neumann group algebra is the hyperfinite type II1 factor. The further theory divides up the Plancherel measure into a discrete and a continuous part. For semisimple groups, and classes of solvable Lie groups, a very detailed theory is available.
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