| rdfs:comment
| - In mathematics, the syzygetic pencil or Hesse pencil, named for Otto Hesse, is a pencil (one-dimensional family) of cubic plane elliptic curves in the complex projective plane, defined by the equation Each curve in the family is determined by a pair of parameter values (not both zero) and consists of the points in the plane whose homogeneous coordinates satisfy the equation for those parameters. Multiplying both and by the same scalar does not change the curve, so there is only one degree of freedom in selecting a curve from the pencil, but the two-parameter form given above allows either or (but not both) to be set to zero. (en)
- В математике сизигетический пучок или пучок Гессе (по имени немецкого математика Людвига Отто Гессе) — это пучок (одномерное семейство) плоских кубических эллиптических кривых на комплексной проективной плоскости, удовлетворяющих уравнению Девять общих точек пучка Гессе являются точками перегиба каждой кривой из пучка. Любая прямая, проходящая как минимум через пару из этих девяти точек, содержит в точности три из них. Девять точек и двенадцать прямых через тройки точек образуют конфигурацию Гессе. (ru)
|
| has abstract
| - In mathematics, the syzygetic pencil or Hesse pencil, named for Otto Hesse, is a pencil (one-dimensional family) of cubic plane elliptic curves in the complex projective plane, defined by the equation Each curve in the family is determined by a pair of parameter values (not both zero) and consists of the points in the plane whose homogeneous coordinates satisfy the equation for those parameters. Multiplying both and by the same scalar does not change the curve, so there is only one degree of freedom in selecting a curve from the pencil, but the two-parameter form given above allows either or (but not both) to be set to zero. Each curve in the pencil passes through the nine points of the complex projective plane whose homogeneous coordinates are some permutation of 0, –1, and a cube root of unity. There are three roots of unity, and six permutations per root, giving 18 choices for the homogeneous coordinates of each point, but they are equivalent in pairs giving only nine points. The family of cubics through these nine points forms the Hesse pencil. More generally, one can replace the complex numbers by any field containing a cube root of unity and define the Hesse pencil over this field to be the family of cubics through these nine points. The nine common points of the Hesse pencil are the inflection points of each of the cubics in the pencil. Any line that passes through at least two of these nine points passes through exactly three of them; the nine points and twelve lines through triples of points form the Hesse configuration. Every elliptic curve is birationally equivalent to a curve of the Hesse pencil; this is the Hessian form of an elliptic curve. However, the parameters of the Hessian form may belong to an extension field of the field of definition of the original curve. (en)
- В математике сизигетический пучок или пучок Гессе (по имени немецкого математика Людвига Отто Гессе) — это пучок (одномерное семейство) плоских кубических эллиптических кривых на комплексной проективной плоскости, удовлетворяющих уравнению Каждая кривая в семействе определяется парой параметров (не равных нулю одновременно) и состоит из точек на плоскости, однородные координаты которых удовлетворяют уравнению для этих параметров. Умножение обоих параметров и на одну и ту же скалярную величину не меняет кривую, так что имеется лишь одна степень свободы, но двухпараметрический вид, приведённый выше, позволяет либо , либо (но не обоим) принимать нулевое значение. Каждая кривая пучка проходит через девять точек комплексной проективной плоскости, однородные координаты которых являются некоторыми перестановками 0, −1 и кубического корня из единицы. Существует три корня из единицы и шесть перестановок для каждого корня, что даёт 18 вариантов однородных координат, но они попарно эквивалентны, так что получаем девять точек. Семейство кубических кривых через эти девять точек образует пучок Гессе. Более обще, можно заменить комплексные числа на любое поле, содержащее кубические корни из единицы, и определить пучок Гессе над этим полем как семейство кубических прямых, проходящих через эти девять точек. Девять общих точек пучка Гессе являются точками перегиба каждой кривой из пучка. Любая прямая, проходящая как минимум через пару из этих девяти точек, содержит в точности три из них. Девять точек и двенадцать прямых через тройки точек образуют конфигурацию Гессе. Любая эллиптическая кривая бирационально эквивалентна кривой из пучка Гессе. Это является . Однако параметры гессиановой формы могут принадлежать расширению поля, на котором задана исходная кривая. (ru)
|
![[RDF Data]](/fct/images/sw-rdf-blue.png)
![[cxml]](/fct/images/cxml_doc.png)
![[csv]](/fct/images/csv_doc.png)
![[text]](/fct/images/ntriples_doc.png)
![[turtle]](/fct/images/n3turtle_doc.png)
![[ld+json]](/fct/images/jsonld_doc.png)
![[rdf+json]](/fct/images/json_doc.png)
![[rdf+xml]](/fct/images/xml_doc.png)
![[atom+xml]](/fct/images/atom_doc.png)
![[html]](/fct/images/html_doc.png)