In mathematics, the fundamental theorem of linear algebra is a collection of statements regarding vector spaces and linear algebra, popularized by Gilbert Strang. The naming of these results is not universally accepted. More precisely, let f be a linear map between two finite-dimensional vector spaces, represented by a m×n matrix M of rank r, then:
* r is the dimension of the column space of M, which represents the image of f;
* n – r is the dimension of the null space of M, which represents the kernel of f;
* m – r is the dimension of the cokernel of f.
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| rdfs:label
| - Fundamental theorem of linear algebra (en)
- Théorème fondamental de l'algèbre linéaire (fr)
- 線型代数学の基本定理 (ja)
- Ядро та образ лінійного оператора (uk)
- 线性代数基本定理 (zh)
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| rdfs:comment
| - 数学の分野における線型代数学の基本定理（せんけいだいすうがくのきほんていり、英: fundamental theorem of linear algebra）とは、ベクトル空間に関するいくつかの定理である。それらの定理においては、ある m×n 行列 A の階数 r や、その特異値分解 に関する内容が、具体的にまとめられている。はじめに、各行列 （行列 は 個の行と 個の列を持つ）は、「四つの基本部分空間」を導く。それらを次の表に示す： 続いて、次が成立する： 1.
* において、 である。すなわち零空間は、行空間の直交補空間である。 2.
* において、 である。すなわち左零空間は、列空間の直交補空間である。 各部分空間の次元は階数・退化次数の定理によって関連付けられており、上表の定理に従う。 また、これら全ての空間は、基底の選び方に依らず、本質的に定義される。そのような場合この定理は、抽象的ベクトル空間や作用素および双対空間として、 および を用いて次のように言い直すことが出来る： の核および像は、 の余核および余像に、それぞれ等しい。 (ja)
- В лінійній алгебрі і функціональному аналізі для лінійного оператора Ядром лінійного оператора називається наступна підмножина : вона утворює лінійний підпростір в просторі Образом лінійного відображення називається наступна підмножина : вона утворює лінійний підпростір в просторі Ядро оператора ще називають нуль-простором оператора і позначають: (uk)
- 线性代数基本定理是秩为 r 的 m×n 矩阵A的奇异值分解: 对于矩阵 (有行及列)产生了四个基本线性子空间: Secondly: 1.
* In , , 也就是, 零空间与行空间的正交补相同. 2.
* In , , 也就是, 左零空间为列空间的正交补. 子空间的维数遵从秩-零化度定理. 进一步, 所有这些空间本质地定义于– 不必考虑基的选择 – 抽象向量空间, 算子, 对偶空间 与: 的核与像是的上核与余象. (zh)
- In mathematics, the fundamental theorem of linear algebra is a collection of statements regarding vector spaces and linear algebra, popularized by Gilbert Strang. The naming of these results is not universally accepted. More precisely, let f be a linear map between two finite-dimensional vector spaces, represented by a m×n matrix M of rank r, then:
* r is the dimension of the column space of M, which represents the image of f;
* n – r is the dimension of the null space of M, which represents the kernel of f;
* m – r is the dimension of the cokernel of f. (en)
- En mathématiques, le théorème fondamental de l'algèbre linéaire est un ensemble d'énoncés concernant les espaces vectoriels et l'algèbre linéaire, popularisé par Gilbert Strang. La dénomination de ces résultats n'est pas universellement acceptée. Plus précisément, soit f une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimension finie, représentés par une matrice m×n M de rang r, alors : La transposée MT de M est la matrice du dual f* de f . Il s'ensuit que l'on a aussi : Les deux premières assertions sont aussi appelées le théorème du rang, qu'on peut résumer en .On a également : (fr)
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| - In mathematics, the fundamental theorem of linear algebra is a collection of statements regarding vector spaces and linear algebra, popularized by Gilbert Strang. The naming of these results is not universally accepted. More precisely, let f be a linear map between two finite-dimensional vector spaces, represented by a m×n matrix M of rank r, then:
* r is the dimension of the column space of M, which represents the image of f;
* n – r is the dimension of the null space of M, which represents the kernel of f;
* m – r is the dimension of the cokernel of f. The transpose MT of M is the matrix of the dual f* of f. It follows that one has also:
* r is the dimension of the row space of M, which represents the image of f*;
* m – r is the dimension of the left null space of M, which represents the kernel of f*;
* n – r is the dimension of the cokernel of f*. The two first assertions are also called the rank–nullity theorem. (en)
- En mathématiques, le théorème fondamental de l'algèbre linéaire est un ensemble d'énoncés concernant les espaces vectoriels et l'algèbre linéaire, popularisé par Gilbert Strang. La dénomination de ces résultats n'est pas universellement acceptée. Plus précisément, soit f une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimension finie, représentés par une matrice m×n M de rang r, alors :
* r = rg(M) est la dimension de l'espace colonne de M, qui représente l'image de f ;
* n – r = dim ker(M) est la dimension du noyau de M, qui représente ker(M), le noyau de f;
* m – r est la dimension du conoyau de f. La transposée MT de M est la matrice du dual f* de f . Il s'ensuit que l'on a aussi :
* r = rg(M) est la dimension de l'espace colonne de M, qui représente l'image de f*;
* m – r = dim ker(MT) est la dimension du noyau à gauche de M, qui représente le noyau de f*;
* n – r est la dimension du conoyau de f*. Les deux premières assertions sont aussi appelées le théorème du rang, qu'on peut résumer en .On a également :
* Ker(M) est égal à l'orthogonal de Im(MT)
* Ker(M) et Im(MT) sont en somme directe dans De plus, en considérant la décomposition en valeurs singulières de M = UΣVT, alors les colonnes de U et V forment des bases orthonormales des quatre sous-espaces fondamentaux de M :
* les r premières colonnes de U forment une base orthonormale de Im(M)
* les r premières colonnes de V forment une base orthonormale de Im(MT)
* les m-r premières colonnes de U forment une base orthonormale de Ker(MT)
* les n-r premières colonnes de V forment une base orthonormale de Ker(M)Démonstration On note M1, M2, ..., Mm les vecteurs ligne de M. Alors : Le reste se déduit du théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert. (fr)
- 数学の分野における線型代数学の基本定理（せんけいだいすうがくのきほんていり、英: fundamental theorem of linear algebra）とは、ベクトル空間に関するいくつかの定理である。それらの定理においては、ある m×n 行列 A の階数 r や、その特異値分解 に関する内容が、具体的にまとめられている。はじめに、各行列 （行列 は 個の行と 個の列を持つ）は、「四つの基本部分空間」を導く。それらを次の表に示す： 続いて、次が成立する： 1.
* において、 である。すなわち零空間は、行空間の直交補空間である。 2.
* において、 である。すなわち左零空間は、列空間の直交補空間である。 各部分空間の次元は階数・退化次数の定理によって関連付けられており、上表の定理に従う。 また、これら全ての空間は、基底の選び方に依らず、本質的に定義される。そのような場合この定理は、抽象的ベクトル空間や作用素および双対空間として、 および を用いて次のように言い直すことが出来る： の核および像は、 の余核および余像に、それぞれ等しい。 (ja)
- В лінійній алгебрі і функціональному аналізі для лінійного оператора Ядром лінійного оператора називається наступна підмножина : вона утворює лінійний підпростір в просторі Образом лінійного відображення називається наступна підмножина : вона утворює лінійний підпростір в просторі Ядро оператора ще називають нуль-простором оператора і позначають: (uk)
- 线性代数基本定理是秩为 r 的 m×n 矩阵A的奇异值分解: 对于矩阵 (有行及列)产生了四个基本线性子空间: Secondly: 1.
* In , , 也就是, 零空间与行空间的正交补相同. 2.
* In , , 也就是, 左零空间为列空间的正交补. 子空间的维数遵从秩-零化度定理. 进一步, 所有这些空间本质地定义于– 不必考虑基的选择 – 抽象向量空间, 算子, 对偶空间 与: 的核与像是的上核与余象. (zh)
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