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- Die Sorgenfrey-Ebene ist ein nach dem Mathematiker Robert Henry Sorgenfrey benanntes Beispiel aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie. (de)
- En el ámbito de la topología, el plano de Sorgenfrey a menudo es mencionado como un contraejemplo de muchas conjeturas que parecerían plausibles. El mismo consiste del de dos copias de la , que es la bajo el intervalo topológico semiabierto. La línea y el plano de Sorgenfrey han sido nombrados en honor al matemático estadounidense Robert Sorgenfrey. Una base del plano de Sorgenfrey, expresada como , es por lo tanto el grupo de rectángulos que incluyen el borde oeste, el vértice suroeste, y el borde sur, y omiten el vértice sureste, el borde este, el vértice noreste, el borde norte, y el vértice noroeste. Los conjuntos abiertos en son uniones de estos rectángulos. (es)
- In topology, the Sorgenfrey plane is a frequently-cited counterexample to many otherwise plausible-sounding conjectures. It consists of the product of two copies of the Sorgenfrey line, which is the real line under the half-open interval topology. The Sorgenfrey line and plane are named for the American mathematician Robert Sorgenfrey. A basis for the Sorgenfrey plane, denoted from now on, is therefore the set of rectangles that include the west edge, southwest corner, and south edge, and omit the southeast corner, east edge, northeast corner, north edge, and northwest corner. Open sets in are unions of such rectangles. is an example of a space that is a product of Lindelöf spaces that is not itself a Lindelöf space. The so-called anti-diagonal is an uncountable discrete subset of this space, and this is a non-separable subset of the separable space . It shows that separability does not inherit to closed subspaces. Note that and are closed sets; it can be proved that they cannot be separated by open sets, showing that is not normal. Thus it serves as a counterexample to the notion that the product of normal spaces is normal; in fact, it shows that even the finite product of perfectly normal spaces need not be normal. (en)
- En mathématiques, le plan de Sorgenfrey est un espace topologique souvent utilisé, à plusieurs titres, comme contre-exemple. C'est le produit S×S de la droite de Sorgenfrey S par elle-même. Robert Sorgenfrey a démontré que le plan S×S est non normal (donc non paracompact), tandis que la droite S est paracompacte (donc normale). (fr)
- In topologia, il piano di Sorgenfrey è un controesempio spesso citato per confutare congetture apparentemente plausibili. Consiste nel prodotto della retta di Sorgenfrey (la retta reale dotata della topologia del limite inferiore) con se stessa. La retta e il piano di Sorgenfrey prendono il nome dal matematico statunitense . Una base per il piano di Sorgenfrey, denotato d'ora in poi con , è costituita dall'insieme dei rettangoli che includono il lato sinistro, lo spigolo sinistro inferiore e il lato inferiore mentre non includono lo spigolo inferiore destro, il lato destro, lo spigolo superiore destro, il lato superiore e lo spigolo superiore sinistro. Gli aperti di questa topologia sono costituiti dalle unioni di tali rettangoli. è un esempio di spazio non di Lindelöf ma che è prodotto di spazi di Lindelöf. È anche un esempio di spazio non normale ma che è prodotto di spazi normali. Di questo spazio consideriamo la diagonale secondaria , questo è un sottoinsieme discreto che come sottospazio topologico risulta non essere separabile nonostante il piano di Sorgenfrey lo sia. Ciò dimostra che la separabilità non è ereditata dalla topologia del sottoinsieme. Da notare che e sono insiemi chiusi che non possono essere separati con insiemi aperti; ciò mostra che non è uno spazio normale. (it)
- Em topologia, o plano de Sorgenfrey é frequentemente citado como contra-exemplo para várias conjecturas de outro modo plausíveis. Ele consiste do espaço produto de duas cópias da linha de Sorgenfrey, que é a reta real com a topologia dos intervalos semi-abertos. A reta de Sorgenfrey e seu plano recebem tal nome em homenagem ao matemático Americano Robert Sorgenfrey. Uma base para o plano de Sorgenfrey, denotado por a partir de agora, é portanto o conjunto dos retângulos que incluem o lado esquerdo, o canto sudoeste, e o lado inferior, e omite o canto sudeste, o lado direito, o canto nordeste, o lado superior, e o canto noroeste. Abertos de são uniões de tais retângulos. é um exemplo de um espaço que é produto de espaços de Lindelöf que não é um espaço de Lindelöf. É também um exemplo de um espaço que é produto de espaços normais e não é normal.A chamada , Δ = { (x, −x) | x ∈ R } é um deste espaço, e é um do espaço separável X. Isto mostra que a separabilidade não é herdada para subespaços fechados. Note que K = { (x, −x) | x ∈ Q } eΔ\K são conjuntos fechados que não podem ser separados por conjuntos abertos, mostrando que X não é normal. (pt)
- 在拓撲學，Sorgenfrey平面是一个經常引用到的反例。它是兩條Sorgenfrey線的積（Sorgenfrey線是賦予了下限拓撲的實數線）。Sorgenfrey線和Sorgenfrey平面是以美國數學家 Robert Sorgenfrey命名。 Sorgenfrey平面（現在開始用 表示）的其中一組基是所有「包含左邊、左下頂點、下邊而不包含其他邊、頂點」的長方形。上的開集則是這種長方形的並集。 能作為很多拓撲學上聽起來很可能正確的陳述的反例子。其一，它是林德勒夫空間的積，但它自己不是林德勒夫空間。其二，反對角線是上的一個不可數離散子集，所以它是不可分的，但是可分的。這個例子展示了可分空間的閉子集不一定是可分的。其三，和是閉集，而且可以證明它們不能被鄰域分離，所以不是正則空間。這展示了正則空間的積不一定是正則的，甚至展示了更強的結果：有限個完美正則空間的積也不一定是正則的。 (zh)
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- Die Sorgenfrey-Ebene ist ein nach dem Mathematiker Robert Henry Sorgenfrey benanntes Beispiel aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie. (de)
- En mathématiques, le plan de Sorgenfrey est un espace topologique souvent utilisé, à plusieurs titres, comme contre-exemple. C'est le produit S×S de la droite de Sorgenfrey S par elle-même. Robert Sorgenfrey a démontré que le plan S×S est non normal (donc non paracompact), tandis que la droite S est paracompacte (donc normale). (fr)
- 在拓撲學，Sorgenfrey平面是一个經常引用到的反例。它是兩條Sorgenfrey線的積（Sorgenfrey線是賦予了下限拓撲的實數線）。Sorgenfrey線和Sorgenfrey平面是以美國數學家 Robert Sorgenfrey命名。 Sorgenfrey平面（現在開始用 表示）的其中一組基是所有「包含左邊、左下頂點、下邊而不包含其他邊、頂點」的長方形。上的開集則是這種長方形的並集。 能作為很多拓撲學上聽起來很可能正確的陳述的反例子。其一，它是林德勒夫空間的積，但它自己不是林德勒夫空間。其二，反對角線是上的一個不可數離散子集，所以它是不可分的，但是可分的。這個例子展示了可分空間的閉子集不一定是可分的。其三，和是閉集，而且可以證明它們不能被鄰域分離，所以不是正則空間。這展示了正則空間的積不一定是正則的，甚至展示了更強的結果：有限個完美正則空間的積也不一定是正則的。 (zh)
- En el ámbito de la topología, el plano de Sorgenfrey a menudo es mencionado como un contraejemplo de muchas conjeturas que parecerían plausibles. El mismo consiste del de dos copias de la , que es la bajo el intervalo topológico semiabierto. La línea y el plano de Sorgenfrey han sido nombrados en honor al matemático estadounidense Robert Sorgenfrey. (es)
- In topology, the Sorgenfrey plane is a frequently-cited counterexample to many otherwise plausible-sounding conjectures. It consists of the product of two copies of the Sorgenfrey line, which is the real line under the half-open interval topology. The Sorgenfrey line and plane are named for the American mathematician Robert Sorgenfrey. (en)
- In topologia, il piano di Sorgenfrey è un controesempio spesso citato per confutare congetture apparentemente plausibili. Consiste nel prodotto della retta di Sorgenfrey (la retta reale dotata della topologia del limite inferiore) con se stessa. La retta e il piano di Sorgenfrey prendono il nome dal matematico statunitense . (it)
- Em topologia, o plano de Sorgenfrey é frequentemente citado como contra-exemplo para várias conjecturas de outro modo plausíveis. Ele consiste do espaço produto de duas cópias da linha de Sorgenfrey, que é a reta real com a topologia dos intervalos semi-abertos. A reta de Sorgenfrey e seu plano recebem tal nome em homenagem ao matemático Americano Robert Sorgenfrey. (pt)
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