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- In der Mathematik sind symmetrische Räume eine Klasse von Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit einem besonders hohen Grad an Symmetrien. Sie sind eine wichtige Klasse von Beispielen in Geometrie und Topologie und finden Anwendung unter anderem in Darstellungstheorie, harmonischer Analysis, Zahlentheorie, Modulformen und Physik. (de)
- In mathematics, a symmetric space is a Riemannian manifold (or more generally, a pseudo-Riemannian manifold) whose group of symmetries contains an inversion symmetry about every point. This can be studied with the tools of Riemannian geometry, leading to consequences in the theory of holonomy; or algebraically through Lie theory, which allowed Cartan to give a complete classification. Symmetric spaces commonly occur in differential geometry, representation theory and harmonic analysis. In geometric terms, a complete, simply connected Riemannian manifold is a symmetric space if and only if its curvature tensor is invariant under parallel transport. More generally, a Riemannian manifold (M, g) is said to be symmetric if and only if, for each point p of M, there exists an isometry of M fixing p and acting on the tangent space as minus the identity (every symmetric space is complete, since any geodesic can be extended indefinitely via symmetries about the endpoints). Both descriptions can also naturally be extended to the setting of pseudo-Riemannian manifolds. From the point of view of Lie theory, a symmetric space is the quotient G/H of a connected Lie group G by a Lie subgroup H which is (a connected component of) the invariant group of an involution of G. This definition includes more than the Riemannian definition, and reduces to it when H is compact. Riemannian symmetric spaces arise in a wide variety of situations in both mathematics and physics. Their central role in the theory of holonomy was discovered by Marcel Berger. They are important objects of study in representation theory and harmonic analysis as well as in differential geometry. (en)
- En mathématiques, et plus spécifiquement en géométrie différentielle, un espace symétrique est une variété, espace courbe sur lequel on peut définir une généralisation convenable de la notion de symétrie centrale. La définition précise de la notion d'espace symétrique dépend du type de structure dont on munit la variété. Le plus couramment, on entend par espace symétrique une variété munie d'une métrique riemannienne pour laquelle l'application de symétrie le long des géodésiques constitue une isométrie. Il est intéressant de considérer la notion plus large d'espace localement symétrique (lorsque les symétries géodésiques, définies localement, sont des isométries locales). En effet, ce sont aussi les variétés riemanniennes pour lesquelles le tenseur de Riemann a une dérivée covariante nulle. Cette condition généralise celle d'« (en) » et ne doit pas être confondue avec elle (puisque pour ces dernières c'est la courbure sectionnelle qui est constante). Les espaces symétriques possèdent encore d'autres caractérisations remarquables. Ce sont notamment des espaces homogènes, quotients de groupes de Lie. Ils ont été introduits et classifiés par Élie Cartan dans les années 1920. Les espaces symétriques constituent un cadre naturel pour généraliser l'analyse harmonique classique sur les sphères. Dans une acception plus large, un espace symétrique est une variété différentielle munie, en chaque point, d'une involution dont ce point est un point fixe isolé, et vérifiant certaines conditions. Lorsqu'il n'y pas de risque de confusion, les espaces riemanniens symétriques sont simplement appelés espaces symétriques. Les espaces à courbure constante, la plupart des espaces homogènes usuels de la géométrie différentielle sont soit des espaces symétriques (riemanniens ou non) soit ce que l'on appelle variétés de drapeaux généralisées (généralisation des espaces projectifs, des grassmanniennes, des quadriques projectives). (fr)
- ( 이 문서는 특별한 동차 공간에 관한 것입니다. 약한 분리 공리를 만족시키는 위상 공간에 대해서는 R0 공간 문서를 참고하십시오.) 리만 기하학과 리 군론에서 대칭 공간(對稱空間, 영어: symmetric space)은 일반점의 안정자군이 어떤 대합에 의하여 정의되는 동차 공간이다. (ko)
- Симетричний простір — ріманів многовид, група ізометрій якого містить центральні симетрії з центром в будь-якій точці. Початок вивченню симетричних просторів було покладено Елі Картаном. Зокрема їм була отримана їх класифікація в 1926 році. (uk)
- Симметрическое пространство — риманово многообразие, группа изометрий которого содержит центральные симметрии с центром в любой точке. (ru)
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- In der Mathematik sind symmetrische Räume eine Klasse von Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit einem besonders hohen Grad an Symmetrien. Sie sind eine wichtige Klasse von Beispielen in Geometrie und Topologie und finden Anwendung unter anderem in Darstellungstheorie, harmonischer Analysis, Zahlentheorie, Modulformen und Physik. (de)
- ( 이 문서는 특별한 동차 공간에 관한 것입니다. 약한 분리 공리를 만족시키는 위상 공간에 대해서는 R0 공간 문서를 참고하십시오.) 리만 기하학과 리 군론에서 대칭 공간(對稱空間, 영어: symmetric space)은 일반점의 안정자군이 어떤 대합에 의하여 정의되는 동차 공간이다. (ko)
- Симетричний простір — ріманів многовид, група ізометрій якого містить центральні симетрії з центром в будь-якій точці. Початок вивченню симетричних просторів було покладено Елі Картаном. Зокрема їм була отримана їх класифікація в 1926 році. (uk)
- Симметрическое пространство — риманово многообразие, группа изометрий которого содержит центральные симметрии с центром в любой точке. (ru)
- In mathematics, a symmetric space is a Riemannian manifold (or more generally, a pseudo-Riemannian manifold) whose group of symmetries contains an inversion symmetry about every point. This can be studied with the tools of Riemannian geometry, leading to consequences in the theory of holonomy; or algebraically through Lie theory, which allowed Cartan to give a complete classification. Symmetric spaces commonly occur in differential geometry, representation theory and harmonic analysis. (en)
- En mathématiques, et plus spécifiquement en géométrie différentielle, un espace symétrique est une variété, espace courbe sur lequel on peut définir une généralisation convenable de la notion de symétrie centrale. La définition précise de la notion d'espace symétrique dépend du type de structure dont on munit la variété. Le plus couramment, on entend par espace symétrique une variété munie d'une métrique riemannienne pour laquelle l'application de symétrie le long des géodésiques constitue une isométrie. (fr)
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