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- زجاجة كلاين في الرياضيات هي مثال على سطح غير قابل للتوجيه، حيث أنه لا يمكن التمييز بين داخل وخارج السطح.وكان أول وصف لزجاجة كلاين في عام 1882 من قبل عالم الرياضيات فيليكس كلاين الألماني. الاسم العلمي و الأكثر دقة لزجاجة كلاين هو Fläche Kleinsche «سطح كلاين» ولكن الترجمة الخاطئة أدت في نهاية المطاف إلى اعتماد هذا المصطلح في اللغة الألمانية كذلك، وهي عبارة عن سطح له وجه واحد (ليس له وجهان (داخلي و خارجي) وليس له حدود (مثل الكرة) (ar)
- En topologia, una ampolla de Klein és una superfície (una varietat topològica bidimensional) no orientable d'una única cara, i té la característica d'Euler igual a 0. A diferència d'una cinta de Möbius, superfície que tampoc és orientable, una ampolla de Klein no té vores ni fronteres. No en té tampoc l'esfera, però sí que és orientable. L'ampolla de Klein va ser descrita per primera vegada l'any 1882 pel matemàtic alemany Felix Klein. El seu cognom és l'origen del nom de l'objecte matemàtic. Un espai euclidià de tres o menys dimensions no pot contenir l'ampolla de Klein, i per això és un objecte que no es pot construir en l'espai físic. Tot i això, se'n solen fer representacions tridimensionals mitjançant una immersió. D'aquesta manera, s'obté una superfície que s'interseca amb si mateixa, com la que es mostra a la imatge de la dreta. En realitat, l'ampolla de Klein no s'interseca amb si mateixa, sinó que és localment homeomorfa a . (ca)
- Kleinova láhev je plošný geometrický útvar, který si lze zjednodušeně představovat jako uzavřenou nádobu, která nemá vnitřek ani vnějšek. Nelze ji realizovat v trojrozměrném prostoru, aniž by se protínala – to je možno v prostoru nejméně čtyřrozměrném. Pro Kleinovu láhev nelze rozhodnout, který bod prostoru je „venku“ a který „uvnitř“ (tato vlastnost se v topologii nazývá neorientovatelnost). Z toho přímo plyne, že tato plocha má jen jeden povrch. Byla pojmenována po německém matematikovi Felixi Kleinovi, který ji roku 1882 jako první popsal. Dalším útvarem s podobnými vlastnostmi je Möbiova páska. (cs)
- Die Kleinsche Flasche (auch Kleinscher Schlauch) wurde erstmals 1881 von dem deutschen Mathematiker Felix Klein beschrieben. Sie ist ein Beispiel einer nicht-orientierbaren Fläche. Umgangssprachlich formuliert hat sie die Eigenschaft, dass innen und außen nicht unterschieden werden können, oder anders formuliert, dass sie nur eine einzige Seite besitzt, die gleichzeitig innen und außen ist. Auf der Kleinschen Fläche kann deshalb, so wie beim Möbiusband, kein stetiger Normalenvektor definiert werden. Im Gegensatz zum Möbiusband hat diese Fläche keinen Rand. (de)
- Στην τοπολογία, ένα κλάδο των μαθηματικών, η Φιάλη του Κλάιν ή το Μπουκάλι του Κλάιν, είναι ένα παράδειγμα μιας μη-προσανατολιζόμενης επιφάνειας. Είναι μια δισδιάστατη πολλαπλότητα πάνω στην οποία δεν μπορεί να οριστεί ένα σύστημα για τον προσδιορισμό ενός κάθετου διανύσματος. Με απλά λόγια, είναι μια μονόπλευρη επιφάνεια στην οποία, αν περπατήσει κανείς επάνω της, θα μπορούσε να φτάσει στο σημείο στο οποίο ξεκίνησε, αλλά ανάποδος, δηλαδή με το κεφάλι να είναι προς την κατεύθυνση την οποία ήταν τα πόδια του. Άλλα μη-προσανατολιζόμενα αντικείμενα περιλαμβάνουν τη λωρίδα του Μέμπιους και το πραγματικό προβολικό επίπεδο. Ενώ μια λωρίδα του Μέμπιους είναι μια επιφάνεια με σύνορο, η φιάλη του Κλάιν δεν έχει σύνορο (για σύγκριση, μια σφαίρα είναι μια προσανατολιζόμενη επιφάνεια χωρίς σύνορο). Η φιάλη του Κλάιν περιγράφηκε για πρώτη φορά το 1882 από τον Γερμανό μαθηματικό Φέλιξ Κλάιν. Είναι πιθανό να είχε ονομαστεί αρχικά ως η επιφάνεια του Κλάιν ("Kleinsche Fläche") και στη συνέχεια να παρερμηνεύτηκε ως η φιάλη του Κλάιν ("Kleinsche Flasche"), η οποία μπορεί να οδήγησε τελικά στην υιοθέτηση αυτού του όρου και στη γερμανική γλώσσα. (el)
- En matematiko, la botelo de Klein estas certa sternaĵo, tio estas, surfaco. Ĝi estas kompakta kaj ne-orientebla (sen malsamaj ena kaj ekstera flankoj). Botelo de Klein ne povas esti enigita en kutiman tri-dimensian eŭklidan spacon sen sekco de si. Ĝia eŭlera karakterizo estas 0. Aliaj rilatantaj ne-orienteblaj objektoj estas la filmo de Möbius kaj la reela projekcia ebeno. Rilatantaj orienteblaj objektoj estas cilindro, sfero kaj toro. Filmo de Möbius kaj cilindro estas du dimensiaj surfacoj kun rando; botelo de Klein, reela projekcia ebeno, sfero kaj toro ne havas randon. La botelo de Klein estis unua priskribis en 1882 per la germana matematikisto Felix Klein. Ĝi estis originale nomata kiel Kleinsche Fläche, "surfaco de Klein"; tamen, ĉi tiu estis malĝuste interpretita kiel Kleinsche Flasche, "Botelo de Klein". Finfine la lasta varianto estis adoptita ankaŭ en la germana lingvo. (eo)
- En topología, una botella de Klein es una superficie no orientable abierta cuya característica de Euler es igual a 0; no tiene interior ni exterior. Otros objetos no orientables relacionados son la banda de Möbius y el plano proyectivo real. Mientras que una banda de Möbius es una superficie con un solo borde, una botella de Klein no tiene borde. Tampoco lo tiene una esfera, aunque ésta sí es orientable. La botella de Klein fue descrita por primera vez en 1882 por el matemático alemán Felix Klein. El nombre original del objeto no fue el de botella de Klein (en alemán Kleinsche Flasche), sino el de Superficie de Klein (en alemán Kleinsche Fläche). El traductor de la primera referencia al objeto del alemán al inglés confundió las palabras. Como la apariencia de la representación tridimensional recuerda a una botella, casi nadie se dio cuenta del error. (es)
- Topologian, Klein botila bi dimentsioko gainazal ez-orientagarri mota bat da. Möbius xingolek ez bezala, Klein botilek ez dute . 1882an deskribatu zuen aurrenekoz Felix Klein alemaniar matematikariak. Hasieran Kleinsche Fläche ("Klein gainazala") izena eduki behar bazuen ere, itzulpen akats baten ondorioz Kleinsche Flasche ("Klein botila") izena hartu zuen eta azkenean termino berria alemanera pasatu zen. (eu)
- In topology, a branch of mathematics, the Klein bottle (/ˈklaɪn/) is an example of a non-orientable surface; it is a two-dimensional manifold against which a system for determining a normal vector cannot be consistently defined. Informally, it is a one-sided surface which, if traveled upon, could be followed back to the point of origin while flipping the traveler upside down. Other related non-orientable objects include the Möbius strip and the real projective plane. While a Möbius strip is a surface with boundary, a Klein bottle has no boundary. For comparison, a sphere is an orientable surface with no boundary. The concept of a Klein bottle was first described in 1882 by the German mathematician Felix Klein. (en)
- Dalam topologi, cabang dari matematika, Lubang Klein atau Botol Klein (/ˈklaɪn/) adalah contoh dari dari permukaan; ini adalah dua dimensi manifold yang dengannya sistem untuk menentukan tidak dapat didefinisikan secara konsisten. Secara informal, ini adalah permukaan satu sisi yang, jika dilalui, dapat diikuti kembali ke titik asal sambil membalikkan pengelana secara terbalik. Objek non-orientasi terkait lainnya termasuk pita Möbius dan . Sedangkan pita Möbius adalah permukaan dengan batas, botol Klein tidak memiliki batas. Sebagai perbandingan, bola adalah permukaan yang dapat diorientasikan tanpa batas. Lubang Klein pertama kali dijelaskan pada tahun 1882 oleh matematikawan asal Jerman Felix Klein. Mungkin awalnya dinamai Kleinsche Fläche ("Permukaan Klein") dan kemudian disalahartikan sebagai Kleinsche Flasche ("Lubang klein"), yang pada akhirnya mungkin telah menyebabkan adopsi istilah ini terdapat dalam bahasa Jerman. (in)
- En mathématiques, la bouteille de Klein (prononcé kla.in) est une surface fermée, sans bord et non orientable, c'est-à-dire une surface pour laquelle il n'est pas possible de définir un « intérieur » et un « extérieur ». La bouteille de Klein a été décrite pour la première fois en 1882 par le mathématicien allemand Felix Klein. Son nom provient possiblement d’une confusion ou d’un jeu de mots entre les termes Klein Fläche (« surface de Klein ») et Klein Flasche (« bouteille de Klein »). La bouteille de Klein est étroitement liée au ruban de Möbius et à des immersions du plan projectif réel telles que la surface de Boy. C'est un des exemples les plus simples de variété abstraite, car c'est une surface qui ne peut être représentée convenablement dans l'espace à trois dimensions. Mathématiquement, on dit qu'elle possède une immersion de classe C∞ dans l'espace ℝ3 de dimension trois, mais n'y possède pas de plongement continu. (fr)
- In matematica, la bottiglia di Klein (detta anche otre di Klein) è una superficie non-orientabile, cioè una superficie per la quale non c'è distinzione fra "interno" ed "esterno". La bottiglia di Klein è stata descritta per la prima volta nel 1882 dal matematico tedesco Felix Klein. È strettamente correlata al nastro di Möbius e alle immersioni del piano proiettivo reale come la superficie di Boy. (it)
- 수학에서 클라인 병(Klein甁, 영어: Klein bottle) 또는 클라인 대롱은 뫼비우스의 띠를 닫아 만든 2차원 곡면으로, 방향을 정할 수 없다. 즉 안과 바깥의 구별이 없기 때문에 클라인 병을 따라가다 보면 뒷면으로 갈 수 있다. 2차원의 방향을 정할 수 없는 평면으로는 이외에도 뫼비우스의 띠와 사영 평면이 있다. 우리는 클라인 병을 쉽게 상상하기 힘든데, 그 이유는 우리가 사는 공간은 3차원이지만 클라인 병은 3차원 공간에서 존재할 수 없기 때문이다. 다만 4차원 공간에서 존재할 수는 있다.
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* (ko)
- Butelka Kleina – jednostronna powierzchnia (nieorientowalna rozmaitość dwuwymiarowa) bez brzegu, przykład rozmaitości topologicznej dwuwymiarowej. Opisana w 1882 przez niemieckiego matematyka Felixa Kleina. (pl)
- クラインの壺（クラインのつぼ、英: Klein bottle、独: Kleinsche Flasche）は、境界も表裏の区別も持たない（2次元）曲面の一種で、主に位相幾何学で扱われる。 ユークリッド空間に埋め込むには4次元、曲率0とすると5次元が必要である。3次元空間には通常の方法では埋め込み不可能だが、射影して強引に埋め込むと、自己交差する3次元空間内の曲面になる。その形を壺になぞらえたものである。 ドイツの数学者フェリックス・クラインにより考案された。クラインの管、クラインの瓶とも呼ばれる。この通称は英語に翻訳する際の錯誤によるものである。原語であるドイツ語では「Kleinsche Fläche（クラインの面）」であり、これが英語に翻訳される際、Fläche（面）がFlasche（瓶）と取り違えられ、bottleと訳された。現在ではドイツ語圏でも、Kleinsche Flascheのほうで定着している。 クラインの壺は、下図のように矢印を付けた正方形の対辺を矢印の向きが合うように貼り合わせて作ることができる。
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* 前述のように3次元空間内に実現するためには自己交差が必要であるが、クラインの壺そのものに交差はない。そのことを強調するために自己交差の部分をぼかして図示されることがある。 表裏の区別を持たない2次元曲面には他にメビウスの帯がある。メビウスの帯が2次元のテープ状のものをひねり表をたどっていくとそのまま裏に行き着くようにしたのに対し、クラインの壺は3次元のチューブをひねり内部をたどると外部に行き着くようにしたものである。また二つのメビウスの帯をそのふちに沿って貼り合わせるとクラインの壺ができる（上の図で、ここで示した順序とは逆に、青いほうの辺を先に貼り合わせるとメビウスの帯になる）。 (ja)
- In de wiskunde is de kleinfles een niet-oriënteerbaar oppervlak, informeel gesproken een oppervlak (een twee-dimensionale variëteit) zonder aanwijsbare "binnen" en "buitenkant", dit omdat ze geleidelijk in elkaar overgaan. Andere gerelateerde niet-georiënteerde objecten zijn onder andere de möbiusband en het reële projectieve vlak. Terwijl een möbiusband een tweedimensionaal begrensd oppervlak heeft, kent een kleinfles geen begrenzing. Ter vergelijking: een sfeer heeft een oriënteerbaar onbegrensd oppervlak. De Klein-fles werd genoemd naar de wiskundige Felix Klein. (nl)
- Em matemática, a garrafa de Klein é um exemplo de uma superfície não orientável; informalmente, ela é uma superfície (uma variedade bidimensional) em que as noções de direita, esquerda, cima, baixo, dentro e fora não podem ser definidas de maneira consistente. Entre as estruturas relacionadas que também não são orientáveis estão incluídos o e a faixa de Möbius. Enquanto uma faixa de Möbius é uma , uma garrafa de Klein não possui borda (a título de comparação, uma esfera é uma superfície orientável sem borda). Uma garrafa de Klein é um espaço topológico obtido pela colagem de duas fitas de Möbius. O nome se refere ao matemático Felix Klein. (pt)
- Kleinflaska eller kleinyta som det först kallades, är en konstruktion som fascinerat människor sedan den beskrevs första gången år 1882 av matematikern Felix Klein efter vilken den också är uppkallad. Kleinflaska är egentligen inte en flaska i ordets rätta mening utan en ensidig yta, där man antingen kan se det som att den saknar yttre eller inre yta eller där den tänkta inre/yttre ytan är samma. Ett möbiusband är ett band med endast en yta och en kantlinje. En kleinflaska är som ett möbiusband, men utan kantlinje. Det går enkelt att "bevisa" att den bara har en kontinuerlig yta genom att dra ett streck på "alla" ytor utan att lyfta pennan (något man inte kan göra på ett vanligt band). (sv)
- Пляшка Кляйна — замкнена одностороння поверхня, що не має країв. Вперше описана у 1882 році німецьким математиком Ф. Кляйном. (uk)
- 在数学领域中，克莱因瓶（德語：Kleinsche Flasche）是指一种无定向性的平面，比如二维平面，就没有“内部”和“外部”之分。克莱因瓶最初的概念提出是由德国数学家费利克斯·克莱因提出的。克莱因瓶和莫比乌斯带非常相像。 要想像克萊因瓶的結構，可先試想一個底部鏤空的紅酒瓶。現在延長其頸部，向外扭曲後伸進瓶子的內部，再與底部的洞相連接。 和我们平时用来喝水的杯子不一样，这个物体没有“边”，它的表面不会终结。它也不类似于气球，一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面（所以说它没有内外部之分）。 其名稱可能源自德語中的「Kleinsche Fläche」（克萊因平面），後來被誤解為「Kleinsche Flasche」（克萊因瓶）。德語最終也沿用了「克萊因瓶」這種稱呼。 (zh)
- Бутылка Клейна (или бутылка Кляйна) — неориентируемая (односторонняя) поверхность, описана в 1881 году немецким математиком Феликсом Клейном.Тесно связана с лентой Мёбиуса и проективной плоскостью.Название, по-видимому, происходит от схожести написания слов нем. Fläche (поверхность) и нем. Flasche (бутылка). (ru)
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- زجاجة كلاين في الرياضيات هي مثال على سطح غير قابل للتوجيه، حيث أنه لا يمكن التمييز بين داخل وخارج السطح.وكان أول وصف لزجاجة كلاين في عام 1882 من قبل عالم الرياضيات فيليكس كلاين الألماني. الاسم العلمي و الأكثر دقة لزجاجة كلاين هو Fläche Kleinsche «سطح كلاين» ولكن الترجمة الخاطئة أدت في نهاية المطاف إلى اعتماد هذا المصطلح في اللغة الألمانية كذلك، وهي عبارة عن سطح له وجه واحد (ليس له وجهان (داخلي و خارجي) وليس له حدود (مثل الكرة) (ar)
- Die Kleinsche Flasche (auch Kleinscher Schlauch) wurde erstmals 1881 von dem deutschen Mathematiker Felix Klein beschrieben. Sie ist ein Beispiel einer nicht-orientierbaren Fläche. Umgangssprachlich formuliert hat sie die Eigenschaft, dass innen und außen nicht unterschieden werden können, oder anders formuliert, dass sie nur eine einzige Seite besitzt, die gleichzeitig innen und außen ist. Auf der Kleinschen Fläche kann deshalb, so wie beim Möbiusband, kein stetiger Normalenvektor definiert werden. Im Gegensatz zum Möbiusband hat diese Fläche keinen Rand. (de)
- Topologian, Klein botila bi dimentsioko gainazal ez-orientagarri mota bat da. Möbius xingolek ez bezala, Klein botilek ez dute . 1882an deskribatu zuen aurrenekoz Felix Klein alemaniar matematikariak. Hasieran Kleinsche Fläche ("Klein gainazala") izena eduki behar bazuen ere, itzulpen akats baten ondorioz Kleinsche Flasche ("Klein botila") izena hartu zuen eta azkenean termino berria alemanera pasatu zen. (eu)
- In matematica, la bottiglia di Klein (detta anche otre di Klein) è una superficie non-orientabile, cioè una superficie per la quale non c'è distinzione fra "interno" ed "esterno". La bottiglia di Klein è stata descritta per la prima volta nel 1882 dal matematico tedesco Felix Klein. È strettamente correlata al nastro di Möbius e alle immersioni del piano proiettivo reale come la superficie di Boy. (it)
- 수학에서 클라인 병(Klein甁, 영어: Klein bottle) 또는 클라인 대롱은 뫼비우스의 띠를 닫아 만든 2차원 곡면으로, 방향을 정할 수 없다. 즉 안과 바깥의 구별이 없기 때문에 클라인 병을 따라가다 보면 뒷면으로 갈 수 있다. 2차원의 방향을 정할 수 없는 평면으로는 이외에도 뫼비우스의 띠와 사영 평면이 있다. 우리는 클라인 병을 쉽게 상상하기 힘든데, 그 이유는 우리가 사는 공간은 3차원이지만 클라인 병은 3차원 공간에서 존재할 수 없기 때문이다. 다만 4차원 공간에서 존재할 수는 있다.
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- Butelka Kleina – jednostronna powierzchnia (nieorientowalna rozmaitość dwuwymiarowa) bez brzegu, przykład rozmaitości topologicznej dwuwymiarowej. Opisana w 1882 przez niemieckiego matematyka Felixa Kleina. (pl)
- In de wiskunde is de kleinfles een niet-oriënteerbaar oppervlak, informeel gesproken een oppervlak (een twee-dimensionale variëteit) zonder aanwijsbare "binnen" en "buitenkant", dit omdat ze geleidelijk in elkaar overgaan. Andere gerelateerde niet-georiënteerde objecten zijn onder andere de möbiusband en het reële projectieve vlak. Terwijl een möbiusband een tweedimensionaal begrensd oppervlak heeft, kent een kleinfles geen begrenzing. Ter vergelijking: een sfeer heeft een oriënteerbaar onbegrensd oppervlak. De Klein-fles werd genoemd naar de wiskundige Felix Klein. (nl)
- Em matemática, a garrafa de Klein é um exemplo de uma superfície não orientável; informalmente, ela é uma superfície (uma variedade bidimensional) em que as noções de direita, esquerda, cima, baixo, dentro e fora não podem ser definidas de maneira consistente. Entre as estruturas relacionadas que também não são orientáveis estão incluídos o e a faixa de Möbius. Enquanto uma faixa de Möbius é uma , uma garrafa de Klein não possui borda (a título de comparação, uma esfera é uma superfície orientável sem borda). Uma garrafa de Klein é um espaço topológico obtido pela colagem de duas fitas de Möbius. O nome se refere ao matemático Felix Klein. (pt)
- Kleinflaska eller kleinyta som det först kallades, är en konstruktion som fascinerat människor sedan den beskrevs första gången år 1882 av matematikern Felix Klein efter vilken den också är uppkallad. Kleinflaska är egentligen inte en flaska i ordets rätta mening utan en ensidig yta, där man antingen kan se det som att den saknar yttre eller inre yta eller där den tänkta inre/yttre ytan är samma. Ett möbiusband är ett band med endast en yta och en kantlinje. En kleinflaska är som ett möbiusband, men utan kantlinje. Det går enkelt att "bevisa" att den bara har en kontinuerlig yta genom att dra ett streck på "alla" ytor utan att lyfta pennan (något man inte kan göra på ett vanligt band). (sv)
- Пляшка Кляйна — замкнена одностороння поверхня, що не має країв. Вперше описана у 1882 році німецьким математиком Ф. Кляйном. (uk)
- 在数学领域中，克莱因瓶（德語：Kleinsche Flasche）是指一种无定向性的平面，比如二维平面，就没有“内部”和“外部”之分。克莱因瓶最初的概念提出是由德国数学家费利克斯·克莱因提出的。克莱因瓶和莫比乌斯带非常相像。 要想像克萊因瓶的結構，可先試想一個底部鏤空的紅酒瓶。現在延長其頸部，向外扭曲後伸進瓶子的內部，再與底部的洞相連接。 和我们平时用来喝水的杯子不一样，这个物体没有“边”，它的表面不会终结。它也不类似于气球，一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面（所以说它没有内外部之分）。 其名稱可能源自德語中的「Kleinsche Fläche」（克萊因平面），後來被誤解為「Kleinsche Flasche」（克萊因瓶）。德語最終也沿用了「克萊因瓶」這種稱呼。 (zh)
- Бутылка Клейна (или бутылка Кляйна) — неориентируемая (односторонняя) поверхность, описана в 1881 году немецким математиком Феликсом Клейном.Тесно связана с лентой Мёбиуса и проективной плоскостью.Название, по-видимому, происходит от схожести написания слов нем. Fläche (поверхность) и нем. Flasche (бутылка). (ru)
- En topologia, una ampolla de Klein és una superfície (una varietat topològica bidimensional) no orientable d'una única cara, i té la característica d'Euler igual a 0. A diferència d'una cinta de Möbius, superfície que tampoc és orientable, una ampolla de Klein no té vores ni fronteres. No en té tampoc l'esfera, però sí que és orientable. L'ampolla de Klein va ser descrita per primera vegada l'any 1882 pel matemàtic alemany Felix Klein. El seu cognom és l'origen del nom de l'objecte matemàtic. (ca)
- Kleinova láhev je plošný geometrický útvar, který si lze zjednodušeně představovat jako uzavřenou nádobu, která nemá vnitřek ani vnějšek. Nelze ji realizovat v trojrozměrném prostoru, aniž by se protínala – to je možno v prostoru nejméně čtyřrozměrném. Pro Kleinovu láhev nelze rozhodnout, který bod prostoru je „venku“ a který „uvnitř“ (tato vlastnost se v topologii nazývá neorientovatelnost). Z toho přímo plyne, že tato plocha má jen jeden povrch. (cs)
- Στην τοπολογία, ένα κλάδο των μαθηματικών, η Φιάλη του Κλάιν ή το Μπουκάλι του Κλάιν, είναι ένα παράδειγμα μιας μη-προσανατολιζόμενης επιφάνειας. Είναι μια δισδιάστατη πολλαπλότητα πάνω στην οποία δεν μπορεί να οριστεί ένα σύστημα για τον προσδιορισμό ενός κάθετου διανύσματος. Με απλά λόγια, είναι μια μονόπλευρη επιφάνεια στην οποία, αν περπατήσει κανείς επάνω της, θα μπορούσε να φτάσει στο σημείο στο οποίο ξεκίνησε, αλλά ανάποδος, δηλαδή με το κεφάλι να είναι προς την κατεύθυνση την οποία ήταν τα πόδια του. Άλλα μη-προσανατολιζόμενα αντικείμενα περιλαμβάνουν τη λωρίδα του Μέμπιους και το πραγματικό προβολικό επίπεδο. Ενώ μια λωρίδα του Μέμπιους είναι μια επιφάνεια με σύνορο, η φιάλη του Κλάιν δεν έχει σύνορο (για σύγκριση, μια σφαίρα είναι μια προσανατολιζόμενη επιφάνεια χωρίς σύνορο). (el)
- En matematiko, la botelo de Klein estas certa sternaĵo, tio estas, surfaco. Ĝi estas kompakta kaj ne-orientebla (sen malsamaj ena kaj ekstera flankoj). Botelo de Klein ne povas esti enigita en kutiman tri-dimensian eŭklidan spacon sen sekco de si. Ĝia eŭlera karakterizo estas 0. Aliaj rilatantaj ne-orienteblaj objektoj estas la filmo de Möbius kaj la reela projekcia ebeno. Rilatantaj orienteblaj objektoj estas cilindro, sfero kaj toro. Filmo de Möbius kaj cilindro estas du dimensiaj surfacoj kun rando; botelo de Klein, reela projekcia ebeno, sfero kaj toro ne havas randon. (eo)
- En topología, una botella de Klein es una superficie no orientable abierta cuya característica de Euler es igual a 0; no tiene interior ni exterior. Otros objetos no orientables relacionados son la banda de Möbius y el plano proyectivo real. Mientras que una banda de Möbius es una superficie con un solo borde, una botella de Klein no tiene borde. Tampoco lo tiene una esfera, aunque ésta sí es orientable. (es)
- In topology, a branch of mathematics, the Klein bottle (/ˈklaɪn/) is an example of a non-orientable surface; it is a two-dimensional manifold against which a system for determining a normal vector cannot be consistently defined. Informally, it is a one-sided surface which, if traveled upon, could be followed back to the point of origin while flipping the traveler upside down. Other related non-orientable objects include the Möbius strip and the real projective plane. While a Möbius strip is a surface with boundary, a Klein bottle has no boundary. For comparison, a sphere is an orientable surface with no boundary. (en)
- Dalam topologi, cabang dari matematika, Lubang Klein atau Botol Klein (/ˈklaɪn/) adalah contoh dari dari permukaan; ini adalah dua dimensi manifold yang dengannya sistem untuk menentukan tidak dapat didefinisikan secara konsisten. Secara informal, ini adalah permukaan satu sisi yang, jika dilalui, dapat diikuti kembali ke titik asal sambil membalikkan pengelana secara terbalik. Objek non-orientasi terkait lainnya termasuk pita Möbius dan . Sedangkan pita Möbius adalah permukaan dengan batas, botol Klein tidak memiliki batas. Sebagai perbandingan, bola adalah permukaan yang dapat diorientasikan tanpa batas. (in)
- En mathématiques, la bouteille de Klein (prononcé kla.in) est une surface fermée, sans bord et non orientable, c'est-à-dire une surface pour laquelle il n'est pas possible de définir un « intérieur » et un « extérieur ». La bouteille de Klein a été décrite pour la première fois en 1882 par le mathématicien allemand Felix Klein. Son nom provient possiblement d’une confusion ou d’un jeu de mots entre les termes Klein Fläche (« surface de Klein ») et Klein Flasche (« bouteille de Klein »). (fr)
- クラインの壺（クラインのつぼ、英: Klein bottle、独: Kleinsche Flasche）は、境界も表裏の区別も持たない（2次元）曲面の一種で、主に位相幾何学で扱われる。 ユークリッド空間に埋め込むには4次元、曲率0とすると5次元が必要である。3次元空間には通常の方法では埋め込み不可能だが、射影して強引に埋め込むと、自己交差する3次元空間内の曲面になる。その形を壺になぞらえたものである。 ドイツの数学者フェリックス・クラインにより考案された。クラインの管、クラインの瓶とも呼ばれる。この通称は英語に翻訳する際の錯誤によるものである。原語であるドイツ語では「Kleinsche Fläche（クラインの面）」であり、これが英語に翻訳される際、Fläche（面）がFlasche（瓶）と取り違えられ、bottleと訳された。現在ではドイツ語圏でも、Kleinsche Flascheのほうで定着している。 クラインの壺は、下図のように矢印を付けた正方形の対辺を矢印の向きが合うように貼り合わせて作ることができる。
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* 前述のように3次元空間内に実現するためには自己交差が必要であるが、クラインの壺そのものに交差はない。そのことを強調するために自己交差の部分をぼかして図示されることがある。 (ja)
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