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- Riemannsche Normalkoordinaten (nach Bernhard Riemann; auch Normalkoordinaten oder Exponentialkoordinaten) bilden ein besonderes Koordinatensystem, welches in der Differentialgeometrie betrachtet wird. Hier wird der Tangentialraum an als lokale Karte der Mannigfaltigkeit in einer Umgebung von verwendet. Solche Koordinaten sind einfach zu handhaben und finden daher auch Anwendung in der allgemeinen Relativitätstheorie. (de)
- En géométrie différentielle, les coordonnées normales d'un point p dans une variété différentielle munie d'une connexion affine symétrique sont un système de coordonnées locales au voisinage de p obtenu par une application exponentielle à l'espace tangent à p. Dans un système de coordonnées normales, les symboles de Christoffel de la connexion disparaissent au point p. En coordonnées normales, associées à une connexion de Levi-Civita d'une variété riemannienne, on peut en outre faire en sorte que le tenseur métrique soit le symbole de Kronecker au point p, et que les dérivées partielles premières de la métrique à p disparaissent. Un résultat classique de la géométrie différentielle établit que les coordonnées normales à un point existent toujours sur une variété munie d'une connexion affine symétrique. Dans ces coordonnées, la dérivée covariante se réduit à une dérivée partielle (autour de p seulement), et les géodésiques passant par p sont localement des fonctions linéaires de t (paramètre affine). Cette idée a été mise en œuvre par Albert Einstein dans la théorie de la relativité générale : le principe d'équivalence utilise les coordonnées normales via les référentiels inertiels. Les coordonnées normales existent toujours pour une connexion de Levi-Civita d'une variété riemannienne ou pseudo-riemannienne. À l'inverse, il n'y a pas moyen de définir des coordonnées normales pour un espace de Finsler. (fr)
- In differential geometry, normal coordinates at a point p in a differentiable manifold equipped with a symmetric affine connection are a local coordinate system in a neighborhood of p obtained by applying the exponential map to the tangent space at p. In a normal coordinate system, the Christoffel symbols of the connection vanish at the point p, thus often simplifying local calculations. In normal coordinates associated to the Levi-Civita connection of a Riemannian manifold, one can additionally arrange that the metric tensor is the Kronecker delta at the point p, and that the first partial derivatives of the metric at p vanish. A basic result of differential geometry states that normal coordinates at a point always exist on a manifold with a symmetric affine connection. In such coordinates the covariant derivative reduces to a partial derivative (at p only), and the geodesics through p are locally linear functions of t (the affine parameter). This idea was implemented in a fundamental way by Albert Einstein in the general theory of relativity: the equivalence principle uses normal coordinates via inertial frames. Normal coordinates always exist for the Levi-Civita connection of a Riemannian or Pseudo-Riemannian manifold. By contrast, in general there is no way to define normal coordinates for Finsler manifolds in a way that the exponential map are twice-differentiable. (en)
- Нормальные координаты — локальная система координат в окрестности точки риманова многообразия (или, более общо, многообразия с аффинной связностью) полученная из координат на касательном пространстве в данной точке применением экспоненциального отображения. В базовой точке нормальной системы координат символы Кристоффеля обнуляются;это часто упрощает вычисления. (ru)
- 简正坐标又叫做正则坐标，是用来描述和计算分子内部运动的一个坐标体系。 (zh)
- Нормальна система координат — локальна система координат в околі точки ріманового многовиду (або, більш загально, многовиду з афінною зв'язністю), що одержується із координат на дотичному просторі в даній точці застосуванням експоненційного відображення. (uk)
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- Riemannsche Normalkoordinaten (nach Bernhard Riemann; auch Normalkoordinaten oder Exponentialkoordinaten) bilden ein besonderes Koordinatensystem, welches in der Differentialgeometrie betrachtet wird. Hier wird der Tangentialraum an als lokale Karte der Mannigfaltigkeit in einer Umgebung von verwendet. Solche Koordinaten sind einfach zu handhaben und finden daher auch Anwendung in der allgemeinen Relativitätstheorie. (de)
- Нормальные координаты — локальная система координат в окрестности точки риманова многообразия (или, более общо, многообразия с аффинной связностью) полученная из координат на касательном пространстве в данной точке применением экспоненциального отображения. В базовой точке нормальной системы координат символы Кристоффеля обнуляются;это часто упрощает вычисления. (ru)
- 简正坐标又叫做正则坐标，是用来描述和计算分子内部运动的一个坐标体系。 (zh)
- Нормальна система координат — локальна система координат в околі точки ріманового многовиду (або, більш загально, многовиду з афінною зв'язністю), що одержується із координат на дотичному просторі в даній точці застосуванням експоненційного відображення. (uk)
- In differential geometry, normal coordinates at a point p in a differentiable manifold equipped with a symmetric affine connection are a local coordinate system in a neighborhood of p obtained by applying the exponential map to the tangent space at p. In a normal coordinate system, the Christoffel symbols of the connection vanish at the point p, thus often simplifying local calculations. In normal coordinates associated to the Levi-Civita connection of a Riemannian manifold, one can additionally arrange that the metric tensor is the Kronecker delta at the point p, and that the first partial derivatives of the metric at p vanish. (en)
- En géométrie différentielle, les coordonnées normales d'un point p dans une variété différentielle munie d'une connexion affine symétrique sont un système de coordonnées locales au voisinage de p obtenu par une application exponentielle à l'espace tangent à p. Dans un système de coordonnées normales, les symboles de Christoffel de la connexion disparaissent au point p. En coordonnées normales, associées à une connexion de Levi-Civita d'une variété riemannienne, on peut en outre faire en sorte que le tenseur métrique soit le symbole de Kronecker au point p, et que les dérivées partielles premières de la métrique à p disparaissent. (fr)
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- Riemannsche Normalkoordinaten (de)
- Coordonnées normales (fr)
- Normal coordinates (en)
- Нормальные координаты (ru)
- Нормальна система координат (uk)
- 简正坐标 (zh)
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