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- In mathematics, the exponential sheaf sequence is a fundamental short exact sequence of sheaves used in complex geometry. Let M be a complex manifold, and write OM for the sheaf of holomorphic functions on M. Let OM* be the subsheaf consisting of the non-vanishing holomorphic functions. These are both sheaves of abelian groups. The exponential function gives a sheaf homomorphism because for a holomorphic function f, exp(f) is a non-vanishing holomorphic function, and exp(f + g) = exp(f)exp(g). Its kernel is the sheaf 2πiZ of locally constant functions on M taking the values 2πin, with n an integer. The exponential sheaf sequence is therefore The exponential mapping here is not always a surjective map on sections; this can be seen for example when M is a punctured disk in the complex plane. The exponential map is surjective on the stalks: Given a germ g of an holomorphic function at a point P such that g(P) ≠ 0, one can take the logarithm of g in a neighborhood of P. The long exact sequence of sheaf cohomology shows that we have an exact sequence for any open set U of M. Here H0 means simply the sections over U, and the sheaf cohomology H1(2πiZ|U) is the singular cohomology of U. One can think of H1(2πiZ|U) as associating an integer to each loop in U. For each section of OM*, the connecting homomorphism to H1(2πiZ|U) gives the winding number for each loop. So this homomorphism is therefore a generalized winding number and measures the failure of U to be contractible. In other words, there is a potential topological obstruction to taking a global logarithm of a non-vanishing holomorphic function, something that is always locally possible. A further consequence of the sequence is the exactness of Here H1(OM*) can be identified with the Picard group of holomorphic line bundles on M. The connecting homomorphism sends a line bundle to its first Chern class. (en)
- 복소기하학에서, 지수열(指數列, 영어: exponential sequence)은 복소수의 지수 함수로부터 유도되는 층들의 긴 완전열이다. (ko)
- 指数層系列（しすうそうけいれつ、exponential sheaf sequence）（指数完全系列とも言う）は、数学では複素幾何学で使われる層（コホモロジー）の基本的な短完全系列のことである。 M を複素多様体とし、M 上の正則函数の層を OM と記し、0 にならない正則函数からなる部分層を OM* と表すとする。これらは両方とも、アーベル群の層である。指数函数は層の準同型 をもたらす。正則函数 f に対し、exp(f) は 0 にならない正則函数であり、exp (f + g) = exp (f) exp (g) となるので、この準同型のは、M 上の整数 n で 値 2πin を持つ局所定数函数の層 2πiZ である。指数層系列は、従って、 である。ただし、この指数写像は、いつも切断上で全射とは限らない。指数層系列を見るには、たとえば、M を複素平面上の穴あき円板とすると、指数写像は、茎上で全射である。点 P で g(P) ≠ 0 を満たすような正則函数の芽(germ) g が与えられると、P の近傍で g の対数として取ることができる。層コホモロジーの長完全系列は、M の任意の開集合 U に対し、完全系列 が得られることを示している。ここに H0 は単に U 上の切断を意味し、層コホモロジー H1(2πiZ|U) は U の特異コホモロジーである。従って、関連する準同型は、一般化された回転数であり、U が可縮であることを妨げる度合いを測っている。言い換えると、0 にならない正則函数の大域的対数をとることができ、局所的には常に完全系列がえられるための位相的障害が存在する。 この系列の別の結果は、系列 が完全系列性である。ここに、H1(OM*) は、M 上の正則ラインバンドルのピカール群と同一視することができる。この準同型は、ラインバンドルを第一チャーン類へ写像する。 (ja)
- Em matemática, a sequência de feixe exponencial é uma fundamental de feixes usada em geometria complexa. (pt)
- Экспоненциальная точная последовательность — фундаментальная короткая точная последовательность пучков, используемая в комплексной алгебраической геометрии. (ru)
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- 복소기하학에서, 지수열(指數列, 영어: exponential sequence)은 복소수의 지수 함수로부터 유도되는 층들의 긴 완전열이다. (ko)
- Em matemática, a sequência de feixe exponencial é uma fundamental de feixes usada em geometria complexa. (pt)
- Экспоненциальная точная последовательность — фундаментальная короткая точная последовательность пучков, используемая в комплексной алгебраической геометрии. (ru)
- In mathematics, the exponential sheaf sequence is a fundamental short exact sequence of sheaves used in complex geometry. Let M be a complex manifold, and write OM for the sheaf of holomorphic functions on M. Let OM* be the subsheaf consisting of the non-vanishing holomorphic functions. These are both sheaves of abelian groups. The exponential function gives a sheaf homomorphism for any open set U of M. Here H0 means simply the sections over U, and the sheaf cohomology H1(2πiZ|U) is the singular cohomology of U. A further consequence of the sequence is the exactness of (en)
- 指数層系列（しすうそうけいれつ、exponential sheaf sequence）（指数完全系列とも言う）は、数学では複素幾何学で使われる層（コホモロジー）の基本的な短完全系列のことである。 M を複素多様体とし、M 上の正則函数の層を OM と記し、0 にならない正則函数からなる部分層を OM* と表すとする。これらは両方とも、アーベル群の層である。指数函数は層の準同型 をもたらす。正則函数 f に対し、exp(f) は 0 にならない正則函数であり、exp (f + g) = exp (f) exp (g) となるので、この準同型のは、M 上の整数 n で 値 2πin を持つ局所定数函数の層 2πiZ である。指数層系列は、従って、 である。ただし、この指数写像は、いつも切断上で全射とは限らない。指数層系列を見るには、たとえば、M を複素平面上の穴あき円板とすると、指数写像は、茎上で全射である。点 P で g(P) ≠ 0 を満たすような正則函数の芽(germ) g が与えられると、P の近傍で g の対数として取ることができる。層コホモロジーの長完全系列は、M の任意の開集合 U に対し、完全系列 この系列の別の結果は、系列 (ja)
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- Exponential sheaf sequence (en)
- 지수열 (ko)
- 指数層系列 (ja)
- Sequência de feixe exponencial (pt)
- Экспоненциальная точная последовательность (ru)
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