This HTML5 document contains 99 embedded RDF statements represented using HTML+Microdata notation.

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Namespace Prefixes

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Statements

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dbr:Mitchell's_embedding_theorem
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Mitchell's embedding theorem ミッチェルの埋め込み定理 Einbettungssatz von Mitchell Théorème de plongement de Mitchell
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ミッチェルの埋め込み定理（ミッチェルのうめこみていり、英: Mitchell's embedding theorem）、あるいはフレイド・ミッチェルの定理 (Freyd–Mitchell theorem)、充満埋め込み定理 (full embedding theorem) は、アーベル圏についての結果である。定理が本質的に述べているのは、これらの圏はかなり抽象的に定義されるが実は加群のであるということである。この定理によりこれらの圏において元ごとの diagram chasing による証明を用いることができる。 正確なステートメントは以下のようになる： A が小さなアーベル圏であれば、ある環 R とある完全忠実充満関手 F: A → R-Mod が存在する。（ただし R は 1 を持ち、可換とは限らない。また、R-Mod はすべての左 R 加群の圏である。） Mitchell's embedding theorem, also known as the Freyd–Mitchell theorem or the full embedding theorem, is a result about abelian categories; it essentially states that these categories, while rather abstractly defined, are in fact concrete categories of modules. This allows one to use element-wise diagram chasing proofs in these categories. The theorem is named after and Peter Freyd. Le théorème de plongement de Mitchell, aussi connu sous le nom du théorème de Freyd-Mitchell, est un énoncé important portant sur les catégories abéliennes ; il énonce que ces catégories, bien que définies abstraitement, sont en fait des catégories concrètes de modules. Ceci permet alors de partir à la chasse au diagramme dans de telles catégories. Der Einbettungssatz von Mitchell ist ein mathematisches Resultat über abelsche Kategorien.Es sagt aus, dass diese zunächst sehr abstrakt definierten Kategorien sich durchaus als konkrete Kategorien von Moduln auffassen lassen.Als Folge hiervon darf etwa das Beweisverfahren durch elementweise Diagrammjagd in beliebigen abelschen Kategorien verwendet werden. Der Satz ist nach benannt.
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Le théorème de plongement de Mitchell, aussi connu sous le nom du théorème de Freyd-Mitchell, est un énoncé important portant sur les catégories abéliennes ; il énonce que ces catégories, bien que définies abstraitement, sont en fait des catégories concrètes de modules. Ceci permet alors de partir à la chasse au diagramme dans de telles catégories. Précisément, le théorème s'énonce ainsi : pour A une petite catégorie abélienne, il existe un anneau R, unitaire et non commutatif en général, ainsi qu'un foncteur F: A → R-Mod, plein, fidèle et exact, de la catégorie A dans la catégorie des R-modules à gauche. Ce foncteur F établit une équivalence entre A et une sous catégorie pleine de R-Mod compatible avec les notions de noyaux et conoyaux et donc compatible avec la notion de suite exacte. Cependant, ce foncteur ne conserve pas les propriétés d'un objet de A d'être projectif ou injectif (un module sur un anneau est toujours injectif et projectif sur la catégorie constituée par lui-même et 0 et comme seuls morphismes 0, et les multiples de l'identité). Mitchell's embedding theorem, also known as the Freyd–Mitchell theorem or the full embedding theorem, is a result about abelian categories; it essentially states that these categories, while rather abstractly defined, are in fact concrete categories of modules. This allows one to use element-wise diagram chasing proofs in these categories. The theorem is named after and Peter Freyd. Der Einbettungssatz von Mitchell ist ein mathematisches Resultat über abelsche Kategorien.Es sagt aus, dass diese zunächst sehr abstrakt definierten Kategorien sich durchaus als konkrete Kategorien von Moduln auffassen lassen.Als Folge hiervon darf etwa das Beweisverfahren durch elementweise Diagrammjagd in beliebigen abelschen Kategorien verwendet werden. Der Satz ist nach benannt. ミッチェルの埋め込み定理（ミッチェルのうめこみていり、英: Mitchell's embedding theorem）、あるいはフレイド・ミッチェルの定理 (Freyd–Mitchell theorem)、充満埋め込み定理 (full embedding theorem) は、アーベル圏についての結果である。定理が本質的に述べているのは、これらの圏はかなり抽象的に定義されるが実は加群のであるということである。この定理によりこれらの圏において元ごとの diagram chasing による証明を用いることができる。 正確なステートメントは以下のようになる： A が小さなアーベル圏であれば、ある環 R とある完全忠実充満関手 F: A → R-Mod が存在する。（ただし R は 1 を持ち、可換とは限らない。また、R-Mod はすべての左 R 加群の圏である。） 関手 F は A と R-Mod の充満部分圏の間の圏同値を、A で計算された核と余核が R-Mod で計算された通常の核と余核に対応するように、与える。そのような同値は必ず加法的である。定理はしたがって本質的に次のことを言っている。A の対象は R 加群と考えることができ、射は R 線型写像と考えることができ、射の核、余核、完全列、和は加群の場合と同様に決定される。しかしながら、A における射影的対象と単射的対象は必ずしも射影的、単射的 R 加群と対応しているわけではない。
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