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Cauchyscher Integralsatz Teorema de la integral de Cauchy Twierdzenie podstawowe Cauchy’ego Teorema integral de Cauchy 코시 적분 정리 Teorema de integral de Cauchy Cauchy's integral theorem Інтегральна теорема Коші مبرهنة التكامل لكوشي Koŝia integrala teoremo Интегральная теорема Коши Cauchys integralsats Teorema integrale di Cauchy 柯西积分定理 Cauchyova–Goursatova věta コーシーの積分定理 Théorème intégral de Cauchy
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En matemáticas, el teorema integral de Cauchy (también conocido como el teorema de Cauchy-Goursat) en el análisis complejo, es una declaración importante sobre integrales de línea para las funciones holomórficas en el plano complejo. Esencialmente, dice que si dos trayectorias diferentes conectan los mismos dos puntos, y una función es holomorfa por todas partes entre las dos trayectorias, entonces las dos integrales de la trayectoria de la función serán iguales. El teorema integral de Cauchy, descubierto por Augustin Louis Cauchy en 1825, es parte fundamental del cálculo integral de variable compleja. Der cauchysche Integralsatz (nach Augustin Louis Cauchy) ist einer der wichtigsten Sätze der Funktionentheorie. Er handelt von Kurvenintegralen für holomorphe (auf einer offenen Menge komplex-differenzierbare) Funktionen. Im Kern besagt er, dass zwei dieselben Punkte verbindende Wege das gleiche Wegintegral besitzen, falls die Funktion überall zwischen den zwei Wegen holomorph ist. Der Satz gewinnt seine Bedeutung unter anderem daraus, dass man ihn zum Beweis der cauchyschen Integralformel und des Residuensatzes benutzt. Cauchyova–Goursatova věta (také Cauchyova věta nebo Cauchyova věta o integrálech) je věta z oblasti komplexní analýzy. Říká, že integrály holomorfních funkcí po uzavřených křivkách jsou za určitých podmínek vždy nulové. Je pojmenována po svých autorech: v jednodušší podobě (jen pro pravoúhlé oblasti) větu vyslovil roku 1814 Augustin Louis Cauchy a později ji zobecnil . Jedním z důsledků věty je Cauchyův vzorec, umožňující počítat hodnoty holomorfních funkcí uvnitř nějaké oblasti z hodnot na její hranici. Oba integrály lze upravit pomocí Greenovy věty: Na análise complexa, o teorema integral de Cauchy caracteriza uma importante propriedade das funções holomorfas definidas em abertos simplesmente conexos no plano complexo. Cauchys integralsats i komplex analys är ett viktigt verktyg för beräkningar av kurvintegraler i det komplexa talplanet. Satsen fastslår att kurvintegralerna över två kurvor med samma ändpunkter för en funktion som är analytisk innanför kurvorna är desamma. Integralsatsen för en sluten kurva lyder: låt U ⊂ C och låt f : U → C vara en analytisk funktion definierad på det enkelt sammanhängande området U. Då gäller för kurvan C ⊂ U med samma start- och slutpunkt: 복소해석학에서 코시 적분 정리(-積分定理, 영어: Cauchy's integral theorem)는 단일 연결 열린집합 위의 정칙 함수의 경로 적분이 경로와 무관하다는 정리이다. في الرياضيات وبالتحديد في التحليل المركب، مبرهنة التكامل لكوشي (بالإنجليزية: Cauchy's integral theorem)‏ أو مبرهنة كوشي-غورسات، هي مبرهنة مهمة تتعلق بتكامل المسارات لدى دالة تامة الشكل. سميت هذه المبرهنة هكذا نسبة إلى كل من أوغستين لوي كوشي وإيدوارد غورسات. Twierdzenie podstawowe Cauchy’ego – twierdzenie analizy zespolonej orzekające, że dla funkcji holomorficznej całka z niej po drodze zamkniętej – tzw. całka okrężna – jest równa zero. Twierdzenie to było sformułowane i udowodnione przez Augustina Cauchy’ego, który wyprowadził z niego szereg podstawowych własności funkcji analitycznych. Twierdzenie to ma wiele nazw: twierdzenie Cauchy’ego o całce krzywoliniowej bądź twierdzenie całkowe Cauchy’ego, ale również twierdzenie Cauchy’ego-Goursata, czy nawet lemat Goursata (nie mylić z lematem Goursata w teorii grup). El teorema de la integral de Cauchy, descobert per Augustin Louis Cauchy el 1825, és part fonamental del càlcul integral de variable complexa. Il teorema integrale di Cauchy è un teorema di analisi complessa. コーシーの積分定理（コーシーのせきぶんていり、英: Cauchy's integral theorem）は、コーシーの第1定理ともいわれる、オーギュスタン＝ルイ・コーシーによって示された、数学、特に微分積分学において、複素平面上のある領域において正則な関数の複素積分についての定理である。 柯西积分定理（或稱柯西－古薩定理），是一个关于复平面上全纯函数的路径积分的重要定理。柯西积分定理说明，如果从一点到另一点有两个不同的路径，而函数在两个路径之间处处是全纯的，则函数的两个路径积分是相等的。另一个等价的说法是，单连通闭合区域上的全纯函数沿着任何可求长闭合曲线的积分是0. Koŝia integrala teoremo – teoremo de kompleksa analitiko kiu diras ke, integralo de , kiu estas difinita en fermita vojo estas nulo. Teoremo esprimis kaj pruvis Augustina Cauchy. En analyse complexe, le théorème intégral de Cauchy, ou de Cauchy-Goursat, est un important résultat concernant les intégrales curvilignes de fonctions holomorphes dans le plan complexe. D'après ce théorème, si deux chemins différents relient les deux mêmes points et si une fonction est holomorphe « entre » les deux chemins, alors les deux intégrales de cette fonction suivant ces chemins sont égales. Інтегра́льна теоре́ма Коші́ (також теорема Коші — Гурса) — одна з основних теорем комплексного аналізу. Перші варіанти теореми сформулював та довів Оґюстен-Луї Коші у 1825 році, при слабших вимогах теорему довів французький математик Едуард Гурса у 1883 році. Интегральная теорема Коши — утверждение из теории функций комплексной переменной. In mathematics, the Cauchy integral theorem (also known as the Cauchy–Goursat theorem) in complex analysis, named after Augustin-Louis Cauchy (and Édouard Goursat), is an important statement about line integrals for holomorphic functions in the complex plane. Essentially, it says that if is holomorphic in a simply connected domain Ω, then for any simply closed contour in Ω, that contour integral is zero.
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Na análise complexa, o teorema integral de Cauchy caracteriza uma importante propriedade das funções holomorfas definidas em abertos simplesmente conexos no plano complexo. In mathematics, the Cauchy integral theorem (also known as the Cauchy–Goursat theorem) in complex analysis, named after Augustin-Louis Cauchy (and Édouard Goursat), is an important statement about line integrals for holomorphic functions in the complex plane. Essentially, it says that if is holomorphic in a simply connected domain Ω, then for any simply closed contour in Ω, that contour integral is zero. في الرياضيات وبالتحديد في التحليل المركب، مبرهنة التكامل لكوشي (بالإنجليزية: Cauchy's integral theorem)‏ أو مبرهنة كوشي-غورسات، هي مبرهنة مهمة تتعلق بتكامل المسارات لدى دالة تامة الشكل. سميت هذه المبرهنة هكذا نسبة إلى كل من أوغستين لوي كوشي وإيدوارد غورسات. Der cauchysche Integralsatz (nach Augustin Louis Cauchy) ist einer der wichtigsten Sätze der Funktionentheorie. Er handelt von Kurvenintegralen für holomorphe (auf einer offenen Menge komplex-differenzierbare) Funktionen. Im Kern besagt er, dass zwei dieselben Punkte verbindende Wege das gleiche Wegintegral besitzen, falls die Funktion überall zwischen den zwei Wegen holomorph ist. Der Satz gewinnt seine Bedeutung unter anderem daraus, dass man ihn zum Beweis der cauchyschen Integralformel und des Residuensatzes benutzt. Die erste Formulierung des Satzes stammt von 1814, als Cauchy ihn für rechteckige Gebiete bewies. Dies verallgemeinerte er in den nächsten Jahren, allerdings setzte er dabei den jordanschen Kurvensatz als selbstverständlich voraus. Moderne Beweise kommen durch das Lemma von Goursat ohne diese tiefgreifende Aussage aus der Topologie aus. Интегральная теорема Коши — утверждение из теории функций комплексной переменной. Koŝia integrala teoremo – teoremo de kompleksa analitiko kiu diras ke, integralo de , kiu estas difinita en fermita vojo estas nulo. Teoremo esprimis kaj pruvis Augustina Cauchy. El teorema de la integral de Cauchy, descobert per Augustin Louis Cauchy el 1825, és part fonamental del càlcul integral de variable complexa. Twierdzenie podstawowe Cauchy’ego – twierdzenie analizy zespolonej orzekające, że dla funkcji holomorficznej całka z niej po drodze zamkniętej – tzw. całka okrężna – jest równa zero. Twierdzenie to było sformułowane i udowodnione przez Augustina Cauchy’ego, który wyprowadził z niego szereg podstawowych własności funkcji analitycznych. Twierdzenie to ma wiele nazw: twierdzenie Cauchy’ego o całce krzywoliniowej bądź twierdzenie całkowe Cauchy’ego, ale również twierdzenie Cauchy’ego-Goursata, czy nawet lemat Goursata (nie mylić z lematem Goursata w teorii grup). En analyse complexe, le théorème intégral de Cauchy, ou de Cauchy-Goursat, est un important résultat concernant les intégrales curvilignes de fonctions holomorphes dans le plan complexe. D'après ce théorème, si deux chemins différents relient les deux mêmes points et si une fonction est holomorphe « entre » les deux chemins, alors les deux intégrales de cette fonction suivant ces chemins sont égales. 복소해석학에서 코시 적분 정리(-積分定理, 영어: Cauchy's integral theorem)는 단일 연결 열린집합 위의 정칙 함수의 경로 적분이 경로와 무관하다는 정리이다. Il teorema integrale di Cauchy è un teorema di analisi complessa. Інтегра́льна теоре́ма Коші́ (також теорема Коші — Гурса) — одна з основних теорем комплексного аналізу. Перші варіанти теореми сформулював та довів Оґюстен-Луї Коші у 1825 році, при слабших вимогах теорему довів французький математик Едуард Гурса у 1883 році. En matemáticas, el teorema integral de Cauchy (también conocido como el teorema de Cauchy-Goursat) en el análisis complejo, es una declaración importante sobre integrales de línea para las funciones holomórficas en el plano complejo. Esencialmente, dice que si dos trayectorias diferentes conectan los mismos dos puntos, y una función es holomorfa por todas partes entre las dos trayectorias, entonces las dos integrales de la trayectoria de la función serán iguales. El teorema integral de Cauchy, descubierto por Augustin Louis Cauchy en 1825, es parte fundamental del cálculo integral de variable compleja. Cauchys integralsats i komplex analys är ett viktigt verktyg för beräkningar av kurvintegraler i det komplexa talplanet. Satsen fastslår att kurvintegralerna över två kurvor med samma ändpunkter för en funktion som är analytisk innanför kurvorna är desamma. Integralsatsen för en sluten kurva lyder: låt U ⊂ C och låt f : U → C vara en analytisk funktion definierad på det enkelt sammanhängande området U. Då gäller för kurvan C ⊂ U med samma start- och slutpunkt: Cauchyova–Goursatova věta (také Cauchyova věta nebo Cauchyova věta o integrálech) je věta z oblasti komplexní analýzy. Říká, že integrály holomorfních funkcí po uzavřených křivkách jsou za určitých podmínek vždy nulové. Je pojmenována po svých autorech: v jednodušší podobě (jen pro pravoúhlé oblasti) větu vyslovil roku 1814 Augustin Louis Cauchy a později ji zobecnil . Jedním z důsledků věty je Cauchyův vzorec, umožňující počítat hodnoty holomorfních funkcí uvnitř nějaké oblasti z hodnot na její hranici. Věta zní takto: Nechť G je jednoduše souvislá a otevřená množina komplexních čísel a f je holomorfní funkce definovaná v G. Nechť C je Jordanova křivka (tj. jednoduchá uzavřená rektifikovatelná křivka) v G, která je po částech hladká. Pak integrál f po křivce C se rovná nule. Zapsáno rovnicí: Nejjednodušší důkaz se zakládá na tom, že se integrál rozepíše na reálnou a imaginární část, pomocí Greenovy věty převede na integrál přes vnitřek křivky C a na základě Cauchyho–Riemannových podmínek se ukáže, že integrand se rovná konstantně nule. Jestliže tedy a , pak Oba integrály lze upravit pomocí Greenovy věty: přičemž integrandy jsou podle Cauchyho–Riemannových podmínek nulové, čímž je tvrzení dokázáno. Opačné tvrzení, tedy že z nulovosti integrálů po uzavřených křivkách vyplývá holomorfnost funkce, se nazývá Morerova věta. Větu lze dále zobecnit pro případ, že uvnitř křivky C se nacházejí oblasti, na kterých funkce f není holomorfní nebo není definovaná, ale tyto oblasti jsme schopni omezit po částech hladkými Jordanovými křivkami. Obecná Cauchyova–Goursatova věta zní: Nechť C a C1, ..., Cn jsou po částech hladké a souhlasně orientované Jordanovy křivky, nechť C1, ..., Cn leží uvnitř C a vnitřky křivek C1, ..., Cn jsou navzájem disjunktní. Nechť f je holomorfní na křivce C a na jejím vnitřku s případnou výjimkou vnitřků křivek C1, ..., Cn. Pak platí コーシーの積分定理（コーシーのせきぶんていり、英: Cauchy's integral theorem）は、コーシーの第1定理ともいわれる、オーギュスタン＝ルイ・コーシーによって示された、数学、特に微分積分学において、複素平面上のある領域において正則な関数の複素積分についての定理である。 柯西积分定理（或稱柯西－古薩定理），是一个关于复平面上全纯函数的路径积分的重要定理。柯西积分定理说明，如果从一点到另一点有两个不同的路径，而函数在两个路径之间处处是全纯的，则函数的两个路径积分是相等的。另一个等价的说法是，单连通闭合区域上的全纯函数沿着任何可求长闭合曲线的积分是0.
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