| dbo:abstract
|
- En álgebra, el objeto cero de una estructura algebraica dada es, en el sentido explicado a continuación, el objeto más simple de dicha estructura. Se trata de un conjunto unitario, y como magma tiene una estructura de grupo trivial, que también es abeliano. La estructura de grupo abeliana antes mencionada generalmente se identifica con la adición, y el único elemento se llama cero, por lo que el objeto en sí se denota típicamente como {0}. Es habitual referirse al "objeto trivial" (de una categoría especificada) ya que cada objeto trivial es isomórfico a cualquier otro (bajo un isomorfismo único). (es)
- In algebra, the zero object of a given algebraic structure is, in the sense explained below, the simplest object of such structure. As a set it is a singleton, and as a magma has a trivial structure, which is also an abelian group. The aforementioned abelian group structure is usually identified as addition, and the only element is called zero, so the object itself is typically denoted as {0}. One often refers to the trivial object (of a specified category) since every trivial object is isomorphic to any other (under a unique isomorphism). Instances of the zero object include, but are not limited to the following:
* As a group, the zero group or trivial group.
* As a ring, the zero ring or trivial ring.
* As an algebra over a field or algebra over a ring, the trivial algebra.
* As a module (over a ring R), the zero module. The term trivial module is also used, although it may be ambiguous, as a trivial G-module is a G-module with a trivial action.
* As a vector space (over a field R), the zero vector space, zero-dimensional vector space or just zero space. These objects are described jointly not only based on the common singleton and trivial group structure, but also because of . In the last three cases the scalar multiplication by an element of the base ring (or field) is defined as: κ0 = 0 , where κ ∈ R. The most general of them, the zero module, is a finitely-generated module with an empty generating set. For structures requiring the multiplication structure inside the zero object, such as the trivial ring, there is only one possible, 0 × 0 = 0, because there are no non-zero elements. This structure is associative and commutative. A ring R which has both an additive and multiplicative identity is trivial if and only if 1 = 0, since this equality implies that for all r within R, In this case it is possible to define division by zero, since the single element is its own multiplicative inverse. Some properties of {0} depend on exact definition of the multiplicative identity; see below. Any trivial algebra is also a trivial ring. A trivial algebra over a field is simultaneously a zero vector space considered . Over a commutative ring, a trivial algebra is simultaneously a zero module. The trivial ring is an example of a rng of square zero. A trivial algebra is an example of a zero algebra. The zero-dimensional vector space is an especially ubiquitous example of a zero object, a vector space over a field with an empty basis. It therefore has dimension zero. It is also a trivial group over addition, and a trivial module . (en)
- В алгебре (разделе математики), многие алгебраические структуры имеют тривиальные, то есть простейшие объекты. Как множества, они состоят из одного элемента, обозначаемого символом «0», а сам объект — как «{0}», или просто «0» смотря по контексту (например, в точных последовательностях). Объекты, соответствующие тривиальным случаям, важны для унификации рассуждений: например, удобнее сказать, что «решения уравнения T x = 0 всегда составляют линейное пространство», нежели делать оговорку «… либо множество {0}». Важнейшими из таких объектов являются:
* Тривиальная группа, простейшая из групп.Является также простейшей из абелевых групп, и все нижеперечисленные объекты наследуют её структуру, понимаемую как сложение.
* Тривиальное кольцо, простейшее из колец.
* Нулевой (тривиальный, или пустопорождённый) модуль, простейший из модулей над заданным кольцом R).
* Нулевое (или нульмерное) линейное пространство над полем R, простейшее из линейных пространств.
* Нулевая алгебра, простейшая из алгебр над кольцом или над полем R. В трёх последних случаях умножение на скаляр определяется как κ0 = 0 , где κ ∈ R. Всякая нулевая алгебра также тривиальна как кольцо. Нулевая алгебра над полем является нулевым линейным пространством, а над кольцом — нулевым модулем. (ru)
- В алгебрі (розділі математики) багато алгебраїчних структур мають тривіальні, тобто найпростіші об'єкти. Як множини, вони складаються з одного елементу, що позначається символом «0», а сам об'єкт — «{0}» або просто «0» залежно від контексту (наприклад, в точних послідовностях). Об'єкти, відповідні тривіальним випадкам, важливі для уніфікації міркувань: наприклад, зручніше сказати, що «рішення рівняння T x = 0 завжди складає лінійний простір», ніж робити застереження «... або множина {0}». Найважливішими з таких об'єктів є:
* Тривіальна група, найпростіша з груп. Є також найпростішою з абелевих груп, і всі перелічені нижче об'єкти наслідують її структуру, відому як додавання
* Тривіальне кільце, найпростіше з кілець.
* Нульовий (тривіальний) модуль, найпростіший з модулів над заданим кільцем R.
* Нульовий лінійний простір над полем R, найпростіший з лінійних просторів.
* Нульова алгебра, найпростіша з алгебр над кільцем або над полем R. У трьох останніх випадках множення на скаляр визначається як κ0 = 0, де κ ∈ R. Будь-яка нульова алгебра також тривіальна як кільце. Нульова алгебра над полем є нульовим лінійним простором, а над кільцем — нульовим модулем. (uk)
|
| rdfs:comment
|
- En álgebra, el objeto cero de una estructura algebraica dada es, en el sentido explicado a continuación, el objeto más simple de dicha estructura. Se trata de un conjunto unitario, y como magma tiene una estructura de grupo trivial, que también es abeliano. La estructura de grupo abeliana antes mencionada generalmente se identifica con la adición, y el único elemento se llama cero, por lo que el objeto en sí se denota típicamente como {0}. Es habitual referirse al "objeto trivial" (de una categoría especificada) ya que cada objeto trivial es isomórfico a cualquier otro (bajo un isomorfismo único). (es)
- In algebra, the zero object of a given algebraic structure is, in the sense explained below, the simplest object of such structure. As a set it is a singleton, and as a magma has a trivial structure, which is also an abelian group. The aforementioned abelian group structure is usually identified as addition, and the only element is called zero, so the object itself is typically denoted as {0}. One often refers to the trivial object (of a specified category) since every trivial object is isomorphic to any other (under a unique isomorphism). κ0 = 0 , where κ ∈ R. (en)
- В алгебре (разделе математики), многие алгебраические структуры имеют тривиальные, то есть простейшие объекты. Как множества, они состоят из одного элемента, обозначаемого символом «0», а сам объект — как «{0}», или просто «0» смотря по контексту (например, в точных последовательностях). Объекты, соответствующие тривиальным случаям, важны для унификации рассуждений: например, удобнее сказать, что «решения уравнения T x = 0 всегда составляют линейное пространство», нежели делать оговорку «… либо множество {0}». Важнейшими из таких объектов являются: (ru)
- В алгебрі (розділі математики) багато алгебраїчних структур мають тривіальні, тобто найпростіші об'єкти. Як множини, вони складаються з одного елементу, що позначається символом «0», а сам об'єкт — «{0}» або просто «0» залежно від контексту (наприклад, в точних послідовностях). Об'єкти, відповідні тривіальним випадкам, важливі для уніфікації міркувань: наприклад, зручніше сказати, що «рішення рівняння T x = 0 завжди складає лінійний простір», ніж робити застереження «... або множина {0}». Найважливішими з таких об'єктів є: (uk)
|
