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- Le problème des quatre cubes consiste à demander si tout entier relatif est la somme de quatre cubes d'entiers relatifs. En faisant X = T, Y = T, Z = - T + 1 dans l'identité on obtient l'identité qui montre que dans tout anneau, tout multiple de 6 (si on entend par là un élément de cet anneau de la forme 6a, a étant lui-même un élément de l'anneau) est somme de quatre cubes. Puisque tout entier relatif est congru dans ℤ à son propre cube modulo 6, il en résulte que tout entier relatif est la somme de cinq cubes d'entiers relatifs. Selon une conjecture encore ouverte, tout entier relatif serait la somme de quatre cubes d'entiers relatifs. En 1966, V. A. Demjanenko a prouvé que tout entier relatif qui n'est congru ni à 4 ni à - 4 modulo 9 est la somme de quatre cubes d'entiers relatifs. Pour cela, il a notamment utilisé les identités suivantes : Ces identités (et celles qu'on en tire par passage aux opposés) montrent immédiatement que tout entier relatif qui n'est congru ni à 4 ni à -4 modulo 9 et n'est congru ni à 2 ni à -2 modulo 18 est somme de quatre cubes d'entiers relatifs. À l'aide de raisonnements plus subtils, Demjanenko a prouvé que les entiers relatifs congrus à 2 ou à - 2 modulo 18 sont eux aussi sommes de quatre cubes d'entiers relatifs. Le problème ne se pose donc plus que pour les entiers relatifs congrus à 4 ou à -4 modulo 9. On a par exemple (fr)
- The sum of four cubes problem asks whether every integer is the sum of four cubes of integers. It is conjectured the answer is affirmative, but this conjecture has been neither proved nor disproved. Some of the cubes may be negative numbers, in contrast to Waring's problem on sums of cubes, where they are required to be positive. The substitutions , , and in the identity lead to the identitywhich shows that every integer multiple of 6 is the sum of four cubes. (More generally, the same proof shows that every multiple of 6 in every ring is the sum of four cubes.) Since every integer is congruent to its own cube modulo 6, it follows that every rational integer is the sum of five cubes of integers. In 1966, V. A. Demjanenko proved that any integer that is congruent neither to 4 nor to −4 modulo 9 is the sum of four cubes of integers. For this, he used the following identities: andThese identities (and those derived from them by passing to opposites) immediately show that any integer which is congruent neither to 4 nor to −4 modulo 9 and is congruent neither to 2 nor to −2 modulo 18 is a sum of four cubes of rational integers. Using more subtle reasonings, Demjanenko proved that integers congruent to 2 or to −2 modulo 18 are also sums of four cubes of integers. The problem therefore only arises for integers congruent to 4 or to −4 modulo 9. One example is but it is not known if every such integer can be written as a sum of four cubes. (en)
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- Le problème des quatre cubes consiste à demander si tout entier relatif est la somme de quatre cubes d'entiers relatifs. En faisant X = T, Y = T, Z = - T + 1 dans l'identité on obtient l'identité qui montre que dans tout anneau, tout multiple de 6 (si on entend par là un élément de cet anneau de la forme 6a, a étant lui-même un élément de l'anneau) est somme de quatre cubes. Puisque tout entier relatif est congru dans ℤ à son propre cube modulo 6, il en résulte que tout entier relatif est la somme de cinq cubes d'entiers relatifs. (fr)
- The sum of four cubes problem asks whether every integer is the sum of four cubes of integers. It is conjectured the answer is affirmative, but this conjecture has been neither proved nor disproved. Some of the cubes may be negative numbers, in contrast to Waring's problem on sums of cubes, where they are required to be positive. The substitutions , , and in the identity lead to the identitywhich shows that every integer multiple of 6 is the sum of four cubes. (More generally, the same proof shows that every multiple of 6 in every ring is the sum of four cubes.) (en)
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- Problème des quatre cubes (fr)
- Sum of four cubes problem (en)
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