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- Die Schramm-Löwner-Evolution (SLE, auch Stochastische Löwner Evolution, wobei im Englischen meist Loewner geschrieben wird) aus dem Gebiet der stochastischen Geometrie bezeichnet eine einparametrige Familie von ebenen Kurven, die mit einem Zufallsgesetz gebildet werden. Sie sind konform invariant, was Verbindungen zur komplexen Analysis schafft, und ermöglichten Fortschritte in der strengen Behandlung vieler Modelle der statistischen Mechanik und ihres Verhaltens am kritischen Punkt (Ising-Modell, Perkolationstheorie, Selbstmeidende Pfade, verschiedene Random Walk Varianten wie Loop Erased Random Walk, LERW), dem sogenannten Skalierungsgrenzfall, der einen Phasenübergang beschreibt, in dem das Modell skaleninvariant und damit konform invariant wird. Die Kurven sind Beispiele für Fraktale. Eingeführt wurde die SLE 2000 von Oded Schramm, wobei sich das Loewner auf einen dabei verwendeten Beitrag aus der Funktionentheorie von Charles Loewner von 1923 bezog. Die SLE war ab den 2000er Jahren eines der aktivsten Forschungsgebiete der Wahrscheinlichkeitstheorie mit zwei Fields-Medaillen für Forschung auf diesem Gebiet (Wendelin Werner, Stanislaw Smirnow). (de)
- In probability theory, the Schramm–Loewner evolution with parameter κ, also known as stochastic Loewner evolution (SLEκ), is a family of random planar curves that have been proven to be the scaling limit of a variety of two-dimensional lattice models in statistical mechanics. Given a parameter κ and a domain in the complex plane U, it gives a family of random curves in U, with κ controlling how much the curve turns. There are two main variants of SLE, chordal SLE which gives a family of random curves from two fixed boundary points, and radial SLE, which gives a family of random curves from a fixed boundary point to a fixed interior point. These curves are defined to satisfy conformal invariance and a domain Markov property. It was discovered by Oded Schramm as a conjectured scaling limit of the planar uniform spanning tree (UST) and the planar loop-erased random walk (LERW) probabilistic processes, and developed by him together with Greg Lawler and Wendelin Werner in a series of joint papers. Besides UST and LERW, the Schramm–Loewner evolution is conjectured or proven to describe the scaling limit of various stochastic processes in the plane, such as critical percolation, the critical Ising model, the double-dimer model, self-avoiding walks, and other critical statistical mechanics models that exhibit conformal invariance. The SLE curves are the scaling limits of interfaces and other non-self-intersecting random curves in these models. The main idea is that the conformal invariance and a certain Markov property inherent in such stochastic processes together make it possible to encode these planar curves into a one-dimensional Brownian motion running on the boundary of the domain (the driving function in Loewner's differential equation). This way, many important questions about the planar models can be translated into exercises in Itô calculus. Indeed, several mathematically non-rigorous predictions made by physicists using conformal field theory have been proven using this strategy. (en)
- In teoria delle probabilità, l'evoluzione di Schramm-Loewner con parametro κ, nota anche come evoluzione di Loewner stocastica (SLEκ), è una famiglia di curve aleatorie del piano per le quali è stato dimostrato essere il limite di scaling di una varietà di modelli bidimensionali su reticolo in meccanica statistica. Dato un parametro κ e un dominio nel piano complesso U, fornisce una famiglia di curve random in U, con κ che controlla di quanto "gira" la curva. Esistono due varianti principali di SLE, SLE cordale che fornisce una famiglia di curve random dati due punti fissi limite e SLE radiale, che fornisce una famiglia di curve random da un punto fisso limite a un punto fisso interno. Queste curve sono definite in modo da soddisfare invarianza conforme e Markovianità del dominio. Fu scoperta da Oded Schramm nel 2000, ipotizzata come limite di scaling dell'albero ricoprente uniforme planare (UST) e dei processi probabilistici del loop-erased random walk nel piano (LERW), e sviluppato da lui insieme a Greg Lawler e Wendelin Werner in una serie di articoli congiunti. Oltre a UST e LERW, l'evoluzione di Schramm-Loewner è congetturata o dimostrata essere in grado di descrivere il limite di scaling di vari processi stocastici nel piano, come la percolazione critica, il modello di Ising critico, il modello a doppio dimero, le passeggiate autoevitanti e altri modelli critici di meccanica statistica che mostrano invarianza conforme. Le curve SLE sono i limiti di scaling delle interfacce e di altre curve casuali non auto-intersecanti presenti in questi modelli. L'idea principale è che l'invarianza conforme e una certa proprietà di Markov, inerente a tali processi stocastici, messe insieme rendono possibile esprimere queste curve planari in termini di un moto browniano unidimensionale che corre lungo la frontiera del dominio (la funzione di driving nell'). In questo modo, molti interrogativi importanti sui modelli nel piano possono essere tradotti in esercizi di calcolo alla Itō. In effetti, diverse previsioni matematicamente non rigorose effettuate dai fisici, che utilizzano la teoria dei campi conformi, sono state dimostrate utilizzando questa strategia. (it)
- 確率論では、パラメータ κ を持つシュラム・レヴナー発展(英: Schramm–Loewner evolution, SLE)は、確率論的レヴナー発展(SLEκ)としても知られている。統計力学の多くの 2次元格子モデルの中から(scaling limit)が既に証明されているランダムな平面曲線の族のことをいう。パラメータ κ と複素平面内の領域 U が与えられたとき、SLEは、どれくらい曲線が曲がるかを制御する κ を持つような U の中のランダムな曲線の族を与える。SLEには 2つの主要な変形があり、一つは両端を固定された境界点からランダムな曲線の族である弧状の SLE(chordal SLE)と、もう一つは固定された（領域の）内部の点を端点として持つランダムな曲線の族である放射状の SLE(radial SLE)がある。これらの曲線は、共形不変性と領域マルコフ性を満たすとして定義される。 シュラム・レヴナー発展は、オデッド・シュラムにより、平面の(uniform spanning tree,UST)や(loop-erased random walk,LERW)である確率過程のスケール極限となるであろうという予想として発見され、一連の(Greg Lawler)やウェンデリン・ウェルナー(Wendelin Werner)との共著論文で開拓されてきた。 UST と LERW に対してのシュラム・レヴナー発展とは、平面上の様々な確率過程の(scaling limit)が記述できることが証明されているか、または予想されているものを言う。例を挙げると、(critical percolation)や、臨界イジングモデルや、二重ダイマーモデルや、(self-avoiding walk,SAW)や、その他の共形不変性をもつ臨界統計力学モデルがある。SLE曲線はこれらのモデルの境界面や自分と交わらないランダム曲線のスケール極限である。主要なアイデアは、共形不変性と一種のマルコフ性が、（レヴナーの微分方程式からの駆動函数(driving function)を使い）確率過程に遺伝して、領域の境界上での 1次元ブラウン運動の中へこれらの平面曲線の情報をエンコードすることが可能となる。この方法では、多くの平面モデルの重要な問題が、(Itō calculus)を応用した問題へと翻訳される。実際、この戦略の下、いくつかの数学的に非自明な予言が、物理学者により共形場理論を使い証明された。 (ja)
- Em teoria das probabilidades, a evolução de Schramm-Loewner com parâmetro (ESL), também conhecida como evolução estocástica de Loewner, é uma família de curvas planas aleatórias, tendo sido provado que são o limite escalar de uma variedade de modelos de reticulados bidimensionais em mecânica estatística. Dados um parâmetro e um domínio no plano complexo , tem-se uma família de curvas aleatórias em , com controlando o quanto a curva gira. Há duas variantes principais da evolução de Schramm-Loewner: a evolução cordal, que dá uma família de curvas aleatórias a partir de dois pontos fixos no limites, e a evolução radial, que dá uma família de curvas aleatórias a partir de um ponto fixo no limite até um ponto fixo no interior. Estas curvas são definidas a fim de satisfazer à invariância conforme e à propriedade de Markov de um domínio. Foi descoberta por Oded Schramm como um limite escalar conjeturado dos processos probabilísticos da árvore geradora uniforme (uniform spanning tree ou UST, na sigla em inglês) plana e do passeio aleatório de loop apagado (loop-erased random walk ou LERW, na sigla em inglês). Em seguida, foi desenvolvida por ele junto com Greg Lawler e Wendelin Werner em uma série de artigos em conjunto. Além da UST e do LERW, é possível conjeturar ou provar que a evolução de Schramm-Loewner descreve o limite escalar de vários processos estocásticos no plano, tal como a percolação crítica, o Modelo Ising crítico, o modelo de dímero-duplo, caminhos autoevitantes e outros modelos críticos da mecânica estatística que exibem invariância conforme. As curvas da ESL são os limites escalares de interfaces e outras curvas aleatórias que não se interseccionam nestes modelos. A ideia principal é de que a invariância conforme e uma certa propriedade de Markov inerente a tais processos estocásticos juntas tornam possível codificar estas curvas planas em um movimento browniano unidimensional que percorre o limite do domínio (a função diretora da equação diferencial de Loewner). Desta forma, muitas questões importantes sobre modelos planos podem ser traduzidas em exercícios em cálculo de Itō. De fato, várias previsões matemáticas não rigorosas feitas por físicos usando a teoria do campo conformal foram provadas com o uso desta estratégia. (pt)
- 在概率论中，施拉姆-勒夫纳演变（Schramm–Loewner evolution，SLE）是一个平面曲线的家族以及统计力学模特的缩放极限。 (zh)
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- 在概率论中，施拉姆-勒夫纳演变（Schramm–Loewner evolution，SLE）是一个平面曲线的家族以及统计力学模特的缩放极限。 (zh)
- Die Schramm-Löwner-Evolution (SLE, auch Stochastische Löwner Evolution, wobei im Englischen meist Loewner geschrieben wird) aus dem Gebiet der stochastischen Geometrie bezeichnet eine einparametrige Familie von ebenen Kurven, die mit einem Zufallsgesetz gebildet werden. Sie sind konform invariant, was Verbindungen zur komplexen Analysis schafft, und ermöglichten Fortschritte in der strengen Behandlung vieler Modelle der statistischen Mechanik und ihres Verhaltens am kritischen Punkt (Ising-Modell, Perkolationstheorie, Selbstmeidende Pfade, verschiedene Random Walk Varianten wie Loop Erased Random Walk, LERW), dem sogenannten Skalierungsgrenzfall, der einen Phasenübergang beschreibt, in dem das Modell skaleninvariant und damit konform invariant wird. Die Kurven sind Beispiele für Fraktale. (de)
- In probability theory, the Schramm–Loewner evolution with parameter κ, also known as stochastic Loewner evolution (SLEκ), is a family of random planar curves that have been proven to be the scaling limit of a variety of two-dimensional lattice models in statistical mechanics. Given a parameter κ and a domain in the complex plane U, it gives a family of random curves in U, with κ controlling how much the curve turns. There are two main variants of SLE, chordal SLE which gives a family of random curves from two fixed boundary points, and radial SLE, which gives a family of random curves from a fixed boundary point to a fixed interior point. These curves are defined to satisfy conformal invariance and a domain Markov property. (en)
- In teoria delle probabilità, l'evoluzione di Schramm-Loewner con parametro κ, nota anche come evoluzione di Loewner stocastica (SLEκ), è una famiglia di curve aleatorie del piano per le quali è stato dimostrato essere il limite di scaling di una varietà di modelli bidimensionali su reticolo in meccanica statistica. Dato un parametro κ e un dominio nel piano complesso U, fornisce una famiglia di curve random in U, con κ che controlla di quanto "gira" la curva. Esistono due varianti principali di SLE, SLE cordale che fornisce una famiglia di curve random dati due punti fissi limite e SLE radiale, che fornisce una famiglia di curve random da un punto fisso limite a un punto fisso interno. Queste curve sono definite in modo da soddisfare invarianza conforme e Markovianità del dominio. (it)
- 確率論では、パラメータ κ を持つシュラム・レヴナー発展(英: Schramm–Loewner evolution, SLE)は、確率論的レヴナー発展(SLEκ)としても知られている。統計力学の多くの 2次元格子モデルの中から(scaling limit)が既に証明されているランダムな平面曲線の族のことをいう。パラメータ κ と複素平面内の領域 U が与えられたとき、SLEは、どれくらい曲線が曲がるかを制御する κ を持つような U の中のランダムな曲線の族を与える。SLEには 2つの主要な変形があり、一つは両端を固定された境界点からランダムな曲線の族である弧状の SLE(chordal SLE)と、もう一つは固定された（領域の）内部の点を端点として持つランダムな曲線の族である放射状の SLE(radial SLE)がある。これらの曲線は、共形不変性と領域マルコフ性を満たすとして定義される。 シュラム・レヴナー発展は、オデッド・シュラムにより、平面の(uniform spanning tree,UST)や(loop-erased random walk,LERW)である確率過程のスケール極限となるであろうという予想として発見され、一連の(Greg Lawler)やウェンデリン・ウェルナー(Wendelin Werner)との共著論文で開拓されてきた。 (ja)
- Em teoria das probabilidades, a evolução de Schramm-Loewner com parâmetro (ESL), também conhecida como evolução estocástica de Loewner, é uma família de curvas planas aleatórias, tendo sido provado que são o limite escalar de uma variedade de modelos de reticulados bidimensionais em mecânica estatística. Dados um parâmetro e um domínio no plano complexo , tem-se uma família de curvas aleatórias em , com controlando o quanto a curva gira. Há duas variantes principais da evolução de Schramm-Loewner: a evolução cordal, que dá uma família de curvas aleatórias a partir de dois pontos fixos no limites, e a evolução radial, que dá uma família de curvas aleatórias a partir de um ponto fixo no limite até um ponto fixo no interior. Estas curvas são definidas a fim de satisfazer à invariância conf (pt)
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