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- The Palais–Smale compactness condition, named after Richard Palais and Stephen Smale, is a hypothesis for some theorems of the calculus of variations. It is useful for guaranteeing the existence of certain kinds of critical points, in particular saddle points. The Palais-Smale condition is a condition on the functional that one is trying to extremize. In finite-dimensional spaces, the Palais–Smale condition for a continuously differentiable real-valued function is satisfied automatically for proper maps: functions which do not take unbounded sets into bounded sets. In the calculus of variations, where one is typically interested in infinite-dimensional function spaces, the condition is necessary because some extra notion of compactness beyond simple boundedness is needed. See, for example, the proof of the mountain pass theorem in section 8.5 of Evans. (en)
- La condition de Palais–Smale (ou condition de compacité de Palais–Smale), nommée ainsi en l'honneur de Richard Palais et Stephen Smale, est une hypothèse utile pour démontrer certains théorèmes du calcul des variations en l'absence de compacité. Elle garantit l'existence de certains types de points critiques, en particulier de points col. La condition porte sur la fonctionnelle dont on cherche à montrer l’existence d’un extremum. Dans les espaces de dimension infinie, la condition de Palais–Smale pour une fonction de classe C1 à valeurs réelles est automatiquement satisfaite pour les applications propres qui, dans ce cas, sont les fonctions pour lesquelles l’image réciproque d’un sous-ensemble borné est bornée. En calcul des variations, où l'on s'intéresse généralement aux espaces fonctionnels de dimension infinie, une condition supplémentaire de compacité est nécessaire car les bornés ne sont plus nécessairement précompacts. Voir, par exemple, la preuve du théorème du col dans la section 8.5 d'Evans. (fr)
- In matematica, la condizione di Palais-Smale o condizione di compattezza di Palais-Smale è un'ipotesi utilizzata in molti teoremi di calcolo delle variazioni, utile per garantire l'esistenza di punti critici di certi funzionali. Prende il nome da e Stephen Smale. (it)
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- In matematica, la condizione di Palais-Smale o condizione di compattezza di Palais-Smale è un'ipotesi utilizzata in molti teoremi di calcolo delle variazioni, utile per garantire l'esistenza di punti critici di certi funzionali. Prende il nome da e Stephen Smale. (it)
- The Palais–Smale compactness condition, named after Richard Palais and Stephen Smale, is a hypothesis for some theorems of the calculus of variations. It is useful for guaranteeing the existence of certain kinds of critical points, in particular saddle points. The Palais-Smale condition is a condition on the functional that one is trying to extremize. (en)
- La condition de Palais–Smale (ou condition de compacité de Palais–Smale), nommée ainsi en l'honneur de Richard Palais et Stephen Smale, est une hypothèse utile pour démontrer certains théorèmes du calcul des variations en l'absence de compacité. Elle garantit l'existence de certains types de points critiques, en particulier de points col. La condition porte sur la fonctionnelle dont on cherche à montrer l’existence d’un extremum. (fr)
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- Condition de Palais-Smale (fr)
- Condizione di Palais-Smale (it)
- Palais–Smale compactness condition (en)
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