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- في الهندسة الإقليدية، مبرهنة ميكيل (بالإنجليزية: Miquel's theorem)هي مبرهنة تخص تقاطع 3 دوائر تمر برؤوس مثلثٍ ما. ورياضياً: إذا كان مثلثاً واختيرت النقاط على أضلاعه فإنَّ الدوائر المحيطة بالمثلثات تُسمّى دوائرَ ميكيل، وهي دوائرٌ متلاقية في نقطة وحيدة تُسمّى نقطة ميكيل. ينطبقُ عكس نظرية ميكيل أيضاً، وتُبرهن باستخدام خصائص الرباعيات الدائرية الناتجة عن تقاطع الدوائر مع بعضها بعضاً ومع المثلث. (ar)
- Der Satz von Miquel, benannt nach Auguste Miquel, macht eine Aussage über Schnittpunkte von drei Kreisen durch jeweils eine Ecke eines Dreiecks in der reellen Ebene (s. Bild):
* Es sei ein Dreieck mit den Eckpunkten , den Seiten und drei Punkten auf auf und auf . Dann gilt: Die 3 Kreise durch , und schneiden sich in einem Punkt . Der Beweis ergibt sich durch 3-malige Anwendung des Satzes über ein Kreisviereck: Vier Punkte liegen nur dann auf einem Kreis, wenn sich im Viereck gegenüber liegende Winkel zu 180 Grad ergänzen.Es sei der Schnittpunkt der beiden Kreise und und seien die Winkel im Dreieck . Dann ist der Winkel bei im Kreisviereck und der Winkel bei im Kreisviereck ist . Also ist der Winkel im Viereck bei gleich , d. h. die vier Punkte liegen auf einem Kreis. Beschreibt man die reelle Ebene in üblicher Weise mit den komplexen Zahlen (s. Gauß'sche Zahlenebene) und ergänzt die komplexen Zahlen um das Symbol , das auf allen Geraden liegen soll, so erhält man ein Modell der klassischen Geometrie der Kreise, die auch Möbius-Ebene genannt wird. Die gebrochen linearen Abbildungen , die Möbiustransformationen, bilden Kreise und komplettierte Geraden auf ebensolche ab. Bildet man die obige Miquel-Figur mit einer geeigneten Möbiustransformation so ab, dass die Seiten des Dreiecks auf richtige Kreise übergehen, erhält man den Satz von Miquel in allgemeiner Form:
* Kann man 8 Punkte so den Ecken eines Würfels zuordnen, dass die jeweils einer Seitenfläche zugeordneten Punkte 5-mal auf einem Kreis liegen, so ist dies auch für das 6. Viereck der Fall (s. Bild). Bedeutung des Satzes von Miquel: 1.
* Der Satz von Miquel spielt eine wichtige Rolle bei der Klassifizierung axiomatischer Möbius-Ebenen. 2.
* Den Satz von Miquel gibt es auch für Parabeln und Hyperbeln und spielt bei der Klassifizierung der Laguerre-Ebenen und Minkowski-Ebenen eine wichtige Rolle. Bemerkung:Mit Hilfe einer stereografischen Projektion überzeugt man sich, dass die klassische Möbiusebene zur Geometrie der Kreise auf der Einheitskugel isomorph ist. Hier gibt es nur Kreise (keine Geraden) und die allgemeine Form des Satzes von Miquel ist eine Aussage über 6 Kreise im . (de)
- En géométrie plane, les théorèmes de Miquel sont des théorèmes concernant des cercles concourants. (fr)
- Miquel's theorem is a result in geometry, named after , concerning the intersection of three circles, each drawn through one vertex of a triangle and two points on its adjacent sides. It is one of several results concerning circles in Euclidean geometry due to Miquel, whose work was published in Liouville's newly founded journal Journal de mathématiques pures et appliquées. Formally, let ABC be a triangle, with arbitrary points A´, B´ and C´ on sides BC, AC, and AB respectively (or their extensions). Draw three circumcircles (Miquel's circles) to triangles AB´C´, A´BC´, and A´B´C. Miquel's theorem states that these circles intersect in a single point M, called the Miquel point. In addition, the three angles MA´B, MB´C and MC´A (green in the diagram) are all equal, as are the three supplementary angles MA´C, MB´A and MC´B. The theorem (and its corollary) follow from the properties of cyclic quadrilaterals. Let the circumcircles of A'B'C and AB'C' meet at Then hence BA'MC' is cyclic as desired. (en)
- De pivoteerpuntstelling van Miquel is een stelling uit de meetkunde, afgeleid van een publicatie van de Franse wiskundige in 1838. (nl)
- Теорема Микеля — утверждение в планиметрии, связанное с пересечением трёх окружностей, построенных вокруг вершин треугольника. Названа в честь французского математика . Эта теорема — один из нескольких результатов, касающийся окружностей в геометрии, полученный Микеле и опубликованных им в Journal de mathématiques pures et appliquées. (ru)
- Теорема Мікеля — твердження в планіметрії, пов'язане з перетином трьох кіл, кожне з яких проходить через вершину трикутника і дві точки на прилеглих до неї сторонах. Названо на честь французького математика . Ця теорема — один з декількох отриманих Мікелем результатів, що стосуються кіл у геометрії, і опублікованих ним у . (uk)
- 密克定理（英語：Miquel's theorem）是几何学中關於相交圆的定理。1838年，奧古斯特·密克敘述並證明了數條相關定理。许多有用的定理可由其推出。 (zh)
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- Miquel Five Circles Theorem (en)
- Miquel Pentagram Theorem (en)
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- في الهندسة الإقليدية، مبرهنة ميكيل (بالإنجليزية: Miquel's theorem)هي مبرهنة تخص تقاطع 3 دوائر تمر برؤوس مثلثٍ ما. ورياضياً: إذا كان مثلثاً واختيرت النقاط على أضلاعه فإنَّ الدوائر المحيطة بالمثلثات تُسمّى دوائرَ ميكيل، وهي دوائرٌ متلاقية في نقطة وحيدة تُسمّى نقطة ميكيل. ينطبقُ عكس نظرية ميكيل أيضاً، وتُبرهن باستخدام خصائص الرباعيات الدائرية الناتجة عن تقاطع الدوائر مع بعضها بعضاً ومع المثلث. (ar)
- En géométrie plane, les théorèmes de Miquel sont des théorèmes concernant des cercles concourants. (fr)
- De pivoteerpuntstelling van Miquel is een stelling uit de meetkunde, afgeleid van een publicatie van de Franse wiskundige in 1838. (nl)
- Теорема Микеля — утверждение в планиметрии, связанное с пересечением трёх окружностей, построенных вокруг вершин треугольника. Названа в честь французского математика . Эта теорема — один из нескольких результатов, касающийся окружностей в геометрии, полученный Микеле и опубликованных им в Journal de mathématiques pures et appliquées. (ru)
- Теорема Мікеля — твердження в планіметрії, пов'язане з перетином трьох кіл, кожне з яких проходить через вершину трикутника і дві точки на прилеглих до неї сторонах. Названо на честь французького математика . Ця теорема — один з декількох отриманих Мікелем результатів, що стосуються кіл у геометрії, і опублікованих ним у . (uk)
- 密克定理（英語：Miquel's theorem）是几何学中關於相交圆的定理。1838年，奧古斯特·密克敘述並證明了數條相關定理。许多有用的定理可由其推出。 (zh)
- Der Satz von Miquel, benannt nach Auguste Miquel, macht eine Aussage über Schnittpunkte von drei Kreisen durch jeweils eine Ecke eines Dreiecks in der reellen Ebene (s. Bild):
* Es sei ein Dreieck mit den Eckpunkten , den Seiten und drei Punkten auf auf und auf . Dann gilt: Die 3 Kreise durch , und schneiden sich in einem Punkt .
* Kann man 8 Punkte so den Ecken eines Würfels zuordnen, dass die jeweils einer Seitenfläche zugeordneten Punkte 5-mal auf einem Kreis liegen, so ist dies auch für das 6. Viereck der Fall (s. Bild). Bedeutung des Satzes von Miquel: (de)
- Miquel's theorem is a result in geometry, named after , concerning the intersection of three circles, each drawn through one vertex of a triangle and two points on its adjacent sides. It is one of several results concerning circles in Euclidean geometry due to Miquel, whose work was published in Liouville's newly founded journal Journal de mathématiques pures et appliquées. The theorem (and its corollary) follow from the properties of cyclic quadrilaterals. Let the circumcircles of A'B'C and AB'C' meet at Then hence BA'MC' is cyclic as desired. (en)
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- مبرهنة ميكيل (ar)
- Satz von Miquel (de)
- Théorème de Miquel (fr)
- 미켈 정리 (ko)
- Miquel's theorem (en)
- Pivoteerpuntstelling van Miquel (nl)
- Теорема Микеля (ru)
- 密克定理 (zh)
- Теорема Мікеля (uk)
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