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- Milü (Chinese: 密率; pinyin: mìlǜ; "close ratio"), also known as Zulü (Zu's ratio), is the name given to an approximation to π (pi) found by Chinese mathematician and astronomer Zu Chongzhi in the 5th century. Using Liu Hui's algorithm (which is based on the areas of regular polygons approximating a circle), Zu famously computed π to be between 3.1415926 and 3.1415927 and gave two rational approximations of π, 22/7 and 355/113, naming them respectively Yuelü (Chinese: 约率; pinyin: yuēlǜ; "approximate ratio") and Milü. 355/113 is the best rational approximation of π with a denominator of four digits or fewer, being accurate to six decimal places. It is within 0.000009% of the value of π, or in terms of common fractions overestimates π by less than 1/3748629. The next rational number (ordered by size of denominator) that is a better rational approximation of π is 52163/16604, still only correct to six decimal places and hardly closer to π than 355/113. To be accurate to seven decimal places, one needs to go as far as 86953/27678. For eight, 102928/32763 is needed. The accuracy of Milü to the true value of π can be explained using the continued fraction expansion of π, the first few terms of which are [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...]. A property of continued fractions is that truncating the expansion of a given number at any point will give the "best rational approximation" to the number. To obtain Milü, truncate the continued fraction expansion of π immediately before the term 292; that is, π is approximated by the finite continued fraction [3; 7, 15, 1], which is equivalent to Milü. Since 292 is an unusually large term in a continued fraction expansion (corresponding to the next truncation introducing only a very small term, 1/292, to the overall fraction), this convergent will be especially close to the true value of π: An easy mnemonic helps memorize this useful fraction by writing down each of the first three odd numbers twice: 1 1 3 3 5 5, then dividing the decimal number represented by the last 3 digits by the decimal number given by the first three digits. Alternatively, 1/π ≈ 113⁄355. Zu's contemporary calendarist and mathematician invented a fraction interpolation method called "harmonization of the divisor of the day" (Chinese: zh:调日法; pinyin: diaorifa) to increase the accuracy of approximations of π by iteratively adding the numerators and denominators of fractions. Zu Chongzhi's approximation π ≈ 355/113 can be obtained with He Chengtian's method. (en)
- 밀률(密率)은 조충지에 의해 제시된 원주율의 근삿값으로 355/113이다. 소수 6째자리까지 정확하다. 밀률보다 더 정확한 분수 근삿값을 쓰려면 밀률보다 분모가 아주 커지는데, 이는 원주율의 연분수 표기에서 큰 값을 빼고 그 전까지의 값을 취한 값이기 때문으로 이해할 수 있다. (ko)
- Il termine Milü (密率S, mìlǜP, letteralmente "frazione dettagliata"), noto anche come Zulü (祖率S, ZǔlǜP, letteralmente "frazione di Zu"), fu dato dal matematico giapponese alla seguente frazione, approssimazione di π, attribuita al matematico e astronomo cinese Zu Chongzhi: Si tratta della migliore approssimazione frazionaria di con denominatore a non più di 4 cifre e con una accuratezza che arriva alla sesta cifra decimale. Per trovare un'approssimazione frazionaria di ancora migliore bisogna ricorrere alla frazione 52163⁄16604 con 5 cifre a denominatore. (it)
- O nome Milü (chinês: 密 率, pinyin: mì lǜ; "relação detalhada"), também conhecido como Zulü (razão de Zu), é dado a uma aproximação de (pi) encontrada pelo matemático e astrônomo chinês Zǔ Chōngzhī (祖 沖 之). Ele computou para estar entre 3.1415926 e 3.1415927 e deu duas aproximações racionais de , e , Nomeando-os respectivamente Yuelü 约 率 (relação aproximada) e Milü. é a melhor aproximação racional de com um denominador de quatro dígitos ou menos, com precisão de 6 casas decimais. Está dentro de 0.000009% do valor de , ou em termos de frações comuns superestima em menos de . O próximo número racional (ordenado pelo tamanho do denominador) que é uma melhor aproximação racional de é , ainda apenas corrigir para 6 casas decimais e pouco mais perto de do que . Para ser preciso com 7 casas decimais, é preciso ir até . Para 8, precisamos de . Uma mnemônica fácil ajuda a memorizar esta fração útil, anotando cada um dos três primeiros números ímpares duas vezes: 1 1 3 3 5 5, dividindo o número decimal representado pelos últimos 3 dígitos pelo número decimal dado pelos três primeiros dígitos. Alternativamente, . O matemático contemporâneo de Zu, (何承天), inventou um método de interpolação de frações chamado "harmonização do divisor do dia" para obter uma melhor aproximação adicionando iterativamente os numeradores e denominadores de uma fração "fraca" e uma fração "forte". Aproximação de Zu Chongzhi pode ser obtida a partir do método de He Chengtian. (pt)
- 密率即355/113，是圆周率比较精确的一个分数近似值。出自《隋书·律历志上》：“密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。”由南北朝数学家祖冲之发现。 密率355/113是π的一个渐近分数（参见连分数），是分母小于16604的所有既约分数中最接近π的一个（参见最佳逼近）。它的小数点后六位皆与π相同，与其仅有0.000009%的差距，即小于1/3748629。更加精确的分数近似值，则是52163/16604，也仍然只有小数点后六位数字相同。而要达到7位数字相同，则要86953/27678才得以实现。
* 参考值： (zh)
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- 밀률(密率)은 조충지에 의해 제시된 원주율의 근삿값으로 355/113이다. 소수 6째자리까지 정확하다. 밀률보다 더 정확한 분수 근삿값을 쓰려면 밀률보다 분모가 아주 커지는데, 이는 원주율의 연분수 표기에서 큰 값을 빼고 그 전까지의 값을 취한 값이기 때문으로 이해할 수 있다. (ko)
- Il termine Milü (密率S, mìlǜP, letteralmente "frazione dettagliata"), noto anche come Zulü (祖率S, ZǔlǜP, letteralmente "frazione di Zu"), fu dato dal matematico giapponese alla seguente frazione, approssimazione di π, attribuita al matematico e astronomo cinese Zu Chongzhi: Si tratta della migliore approssimazione frazionaria di con denominatore a non più di 4 cifre e con una accuratezza che arriva alla sesta cifra decimale. Per trovare un'approssimazione frazionaria di ancora migliore bisogna ricorrere alla frazione 52163⁄16604 con 5 cifre a denominatore. (it)
- 密率即355/113，是圆周率比较精确的一个分数近似值。出自《隋书·律历志上》：“密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。”由南北朝数学家祖冲之发现。 密率355/113是π的一个渐近分数（参见连分数），是分母小于16604的所有既约分数中最接近π的一个（参见最佳逼近）。它的小数点后六位皆与π相同，与其仅有0.000009%的差距，即小于1/3748629。更加精确的分数近似值，则是52163/16604，也仍然只有小数点后六位数字相同。而要达到7位数字相同，则要86953/27678才得以实现。
* 参考值： (zh)
- Milü (Chinese: 密率; pinyin: mìlǜ; "close ratio"), also known as Zulü (Zu's ratio), is the name given to an approximation to π (pi) found by Chinese mathematician and astronomer Zu Chongzhi in the 5th century. Using Liu Hui's algorithm (which is based on the areas of regular polygons approximating a circle), Zu famously computed π to be between 3.1415926 and 3.1415927 and gave two rational approximations of π, 22/7 and 355/113, naming them respectively Yuelü (Chinese: 约率; pinyin: yuēlǜ; "approximate ratio") and Milü. (en)
- O nome Milü (chinês: 密 率, pinyin: mì lǜ; "relação detalhada"), também conhecido como Zulü (razão de Zu), é dado a uma aproximação de (pi) encontrada pelo matemático e astrônomo chinês Zǔ Chōngzhī (祖 沖 之). Ele computou para estar entre 3.1415926 e 3.1415927 e deu duas aproximações racionais de , e , Nomeando-os respectivamente Yuelü 约 率 (relação aproximada) e Milü. (pt)
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