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- Majorisierung bezeichnet in der Mathematik die Quasiordnung im Vektorraum der reellen Zahlen. Ein Vektor wird in dieser Quasiordnung durch dargestellt, bei dem die Komponenten des Vektors gleich bleiben, diese aber in absteigender Reihenfolge sortiert sind. Wenn zwei Vektoren gegeben sind, dann majorisiert den Vektor schwach von unten (geschrieben als ), dann und nur dann, wenn Äquivalent kann diese Bedingung auch formuliert werden als wird vom Vektor von unten schwach majorisiert, geschrieben als . Andersherum majorisiert den Vektor schwach von oben, geschrieben als dann und nur dann, wenn Wieder dazu äquivalent ist die Aussage, dass der Vektor von von oben schwach majorisiert wird, geschrieben als . Wenn zusätzlich zu den oben genannten Bedingungen gilt, dass , dann majorisiert den Vektor , geschrieben als . Äquivalent dazu ist die Schreibweise , gesprochen als wird durch majorisiert. Es lässt sich zeigen, dass gilt . Die Sortierung der Majorisierung hängt nicht von der Sortierung der Vektoren und ab. Wichtig ist, dass aus und nicht folgt, dass ist. Zwar sind alle Komponenten der Vektoren gleich, allerdings nicht notwendigerweise in der gleichen Anordnung. Verwirrenderweise werden in der Literatur teilweise Definitionen verwendet, bei denen die Notation genau umgekehrt verwendet wird, das heißt wird durch ersetzt, während in neueren Versionen (sogar der Literatur, die die hier nicht genannte Definition verwenden) auf die hier im Artikel aufgeführte Definition zurückgreifen. Eine Funktion heißt Schur-konvex, wenn aus folgt, dass . Analog heißt Schur-konkav, wenn aus folgt, dass Für eine Verteilungsfunktion lässt sich die Majorisierung zur verallgemeinern. (de)
- En matemáticas, la mayorización es un preorden en vectores de números reales. Para un vector , denotamos por el vector con los mismos componentes, pero ordena en orden descendente. Dado , decimos que débilmente mayoriza (o domina) a desde abajo escrito como si y sólo si: donde y son los elementos of y , respectivamente, ordenados en orden decreciente. De manera equivalente, se dice que débilmente mayoriza (o domina) por desde abajo, denotando como . Similarmente, decimos que: débilmente mayoriza desde abajo escrito como si y sólo si: De manera equivalente, decimos que es débilmente mayorizado por desde abajo, denotado como . Si y además decimos que mayoriza (o domina) escrito como .De manera equivalente, decimos que es mayoritariazado (o dominado) por , denotado como . Es fácil ver que si y solo si y . Tenga en cuenta que el orden mayorización no dependen del orden de las componentes de los vectores o . La Mayorización no es un orden parcial, ya un y no implican un . Sólo implica que los componentes de cada vector son iguales, pero no necesariamente en el mismo orden. Lamentablemente, para confundir el asunto, algunas fuentes bibliográficas utilizan la notación inversa, por ejemplo, se sustituye con . Sobre todo, en Horn y Johnson, el análisis de la matriz (Cambridge Univ. Press, 1985), Definición 4.3.24, mientras que los mismos autores cambiar a la notación tradicional, introducido aquí, más adelante en sus temas de matriz de Topics in Matrix Analysis (1994), y la segunda Matrix analysis (2013). Una función se dice que es Schur convexo cuando implica . Similarmente, es Schur cóncavo cuando implica El orden parcial de la mayoría en los conjuntos finitos, que se describe aquí, se puede generalizar al orden de Lorenz , un orden parcial en las funciones de distribución. (es)
- In mathematics, majorization is a preorder on vectors of real numbers. For a vector , we denote by the vector with the same components, but sorted in descending order. Given , we say that weakly majorizes (or dominates) from below written as iff Equivalently, we say that is weakly majorized (or dominated) by from below, written as . If and in addition , we say that majorizes (or dominates) , written as . Equivalently, we say that is majorized (or dominated) by , written as . Note that the majorization order does not depend on the order of the components of the vectors or . Majorization is not a partial order, since and do not imply , it only implies that the components of each vector are equal, but not necessarily in the same order. Note that the notation is inconsistent in the mathematical literature: some use the reverse notation, e.g., is replaced with . A function is said to be Schur convex when implies . Similarly, is Schur concave when implies The majorization partial order on finite sets, described here, can be generalized to the , a partial order on distribution functions. For example, a wealth distribution is Lorenz-greater than another iff its Lorenz curve lies below the other. As such, a Lorenz-greater wealth distribution has a higher Gini coefficient, and has more income inequality. (en)
- En mathématiques, on désigne par majorisation un certain préordre sur les éléments de l'espace vectoriel de dimension d sur les nombres réels. Ce préordre a de nombreuses applications dans diverses branches des mathématiques. (fr)
- Мажорирование — математический термин из теории множеств. (ru)
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- En mathématiques, on désigne par majorisation un certain préordre sur les éléments de l'espace vectoriel de dimension d sur les nombres réels. Ce préordre a de nombreuses applications dans diverses branches des mathématiques. (fr)
- Мажорирование — математический термин из теории множеств. (ru)
- En matemáticas, la mayorización es un preorden en vectores de números reales. Para un vector , denotamos por el vector con los mismos componentes, pero ordena en orden descendente. Dado , decimos que débilmente mayoriza (o domina) a desde abajo escrito como si y sólo si: donde y son los elementos of y , respectivamente, ordenados en orden decreciente. De manera equivalente, se dice que débilmente mayoriza (o domina) por desde abajo, denotando como . Similarmente, decimos que: débilmente mayoriza desde abajo escrito como si y sólo si: Es fácil ver que si y solo si y . (es)
- Majorisierung bezeichnet in der Mathematik die Quasiordnung im Vektorraum der reellen Zahlen. Ein Vektor wird in dieser Quasiordnung durch dargestellt, bei dem die Komponenten des Vektors gleich bleiben, diese aber in absteigender Reihenfolge sortiert sind. Wenn zwei Vektoren gegeben sind, dann majorisiert den Vektor schwach von unten (geschrieben als ), dann und nur dann, wenn Äquivalent kann diese Bedingung auch formuliert werden als wird vom Vektor von unten schwach majorisiert, geschrieben als . Für eine Verteilungsfunktion lässt sich die Majorisierung zur verallgemeinern. (de)
- In mathematics, majorization is a preorder on vectors of real numbers. For a vector , we denote by the vector with the same components, but sorted in descending order. Given , we say that weakly majorizes (or dominates) from below written as iff Equivalently, we say that is weakly majorized (or dominated) by from below, written as . If and in addition , we say that majorizes (or dominates) , written as . Equivalently, we say that is majorized (or dominated) by , written as . A function is said to be Schur convex when implies . Similarly, is Schur concave when implies (en)
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