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- مثلث لايبنز المتناسق (بالإنجليزية: Leibniz harmonic triangle) هو ترتيب مثلثي لكسور وحدة (أي كسور بسطهن يساوي واحدا)
* بوابة نظرية الأعداد
* بوابة رياضيات (ar)
- Das Harmonische Dreieck oder Leibnizsches Harmonisches Dreieck von Gottfried Wilhelm Leibniz ist analog zum Pascalschen Dreieck aufgebaut:
* Die n-te Zeile beginnt und schließt am Rand mit
* Jede Zahl ist die Summe der beiden unter ihr stehenden Zahlen Die Einträge werden mit dem Symbol bezeichnet, wobei die Nummerierung der Zeilen und Spalten mit 1 beginnt (dies wird in der Literatur nicht einheitlich gehandhabt (bei 0 bzw. bei 1 beginnend)). Es gilt die Rekursion Ein Zusammenhang mit den Binomialkoeffizienten des Pascalschen Dreiecks ist gegeben durch , d. h. die Einträge sind Stammbrüche. Wegen ergibt sich somit für die Summe der Nenner in der n-ten Zeile . Beispiel: . Für die Summe einer Diagonale ergibt sich wegen die Teleskopsumme Wegen der Stammbrüche folgt durch Grenzübergang die Reihe von Leibniz: für bzw. für (de)
- El triángulo armónico de Leibniz es una ordenación triangular de fracciones unitarias cuyas diagonales exteriores están formadas por los inversos de los sucesivos números de fila y cada uno de los elementos interiores es igual a la diferencia entre el elemento superior izquierdo y el elemento directamente a la izquierda y la celda situada directamente a su izquierda. En notación algebraica, L(f, 1) = 1/f (where f es el número de fila, empezando por 1, y c es el número de columna, nunca superior a f) y L(f, c) = L(f − 1, c − 1) − L(f, c − 1). (es)
- The Leibniz harmonic triangle is a triangular arrangement of unit fractions in which the outermost diagonals consist of the reciprocals of the row numbers and each inner cell is the cell diagonally above and to the left minus the cell to the left. To put it algebraically, L(r, 1) = 1/r (where r is the number of the row, starting from 1, and c is the column number, never more than r) and L(r, c) = L(r − 1, c − 1) − L(r, c − 1). (en)
- Le triangle harmonique de Leibniz est un tableau triangulaire de fractions unitaires dans lequel les termes des diagonales extérieures sont les inverses du numéro de la ligne et dont chaque terme intérieur est la différence du terme au-dessus à gauche et du terme à sa gauche. Les huit premières lignes en sont : Les dénominateurs sont listés dans la suite de l'OEIS. (fr)
- ライプニッツの調和三角形（ライプニッツのちょうわさんかっけい、英: Leibniz harmonic triangle）とは、有理数をある一定の規則で三角形状に並べたものである。ゴットフリート・ライプニッツが、級数の和に関連して研究した。パスカルの三角形に類似した性質をいくつか有する。 (ja)
- De harmonische driehoek (van Leibniz), ook kortweg driehoek van Leibniz, is een driehoekige rangschikking in rijen van breuken met teller 1 (stambreuken), waarbij aan het begin en einde van een rij de omgekeerden van de rijnummers staan en elk andere breuk op die rij de som is van de twee getallen die er direct links- en rechtsonder staan. De driehoek is genoemd naar de Duitse wiskundige Gottfried W. Leibniz (1646–1716), die de driehoek voor het eerst gebruikte. Het woord harmonisch slaat op de verschillen tussen de opeenvolgende termen van de harmonische rij. (nl)
- 莱布尼茨三角形是一種將分數以等腰三角形排列的一種排列方式，三角形二側最外層的數字是其行編號的倒數，其中間的數字是其左側數字和左上方數字差的絕對值。若用代數方式表示： L(r, 1) = 1/r（r為行編號，最小編號為1）L(r, c) = |L(r − 1, c − 1) − L(r, c − 1)|（c為為列編號，不會大於r） 莱布尼茨三角形是數學家戈特弗里德·莱布尼茨在1714年提出。莱布尼茨三角形的前幾列為： 莱布尼茨三角形的分母列在（OEIS數列）中，其分子均為1。 在楊輝三角形中，每一項都是其左上方和右上方數字的和．而在莱布尼茨三角形中，每一項都是其左下方和右下方數字的和，例如在第五行中的1/30是第六行二個1/60的和。 楊輝三角形可以用二項式係數來計算，而莱布尼茨三角形也可以用二項式係數來計算：。而且可以用楊輝三角形中的項次來計算莱布尼茨三角形：「每一行的各項是第一項除以楊輝三角形中對應項次的結果」。 若將莱布尼茨三角形中第n行的所有分母相加，其結果會是。例如第3行的分母和為3 + 6 + 3 = 12 = 3 × 22。 特別是的莱布尼茨三角形中的各項可以用以下的積分式表示： (zh)
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- مثلث لايبنز المتناسق (بالإنجليزية: Leibniz harmonic triangle) هو ترتيب مثلثي لكسور وحدة (أي كسور بسطهن يساوي واحدا)
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- El triángulo armónico de Leibniz es una ordenación triangular de fracciones unitarias cuyas diagonales exteriores están formadas por los inversos de los sucesivos números de fila y cada uno de los elementos interiores es igual a la diferencia entre el elemento superior izquierdo y el elemento directamente a la izquierda y la celda situada directamente a su izquierda. En notación algebraica, L(f, 1) = 1/f (where f es el número de fila, empezando por 1, y c es el número de columna, nunca superior a f) y L(f, c) = L(f − 1, c − 1) − L(f, c − 1). (es)
- The Leibniz harmonic triangle is a triangular arrangement of unit fractions in which the outermost diagonals consist of the reciprocals of the row numbers and each inner cell is the cell diagonally above and to the left minus the cell to the left. To put it algebraically, L(r, 1) = 1/r (where r is the number of the row, starting from 1, and c is the column number, never more than r) and L(r, c) = L(r − 1, c − 1) − L(r, c − 1). (en)
- Le triangle harmonique de Leibniz est un tableau triangulaire de fractions unitaires dans lequel les termes des diagonales extérieures sont les inverses du numéro de la ligne et dont chaque terme intérieur est la différence du terme au-dessus à gauche et du terme à sa gauche. Les huit premières lignes en sont : Les dénominateurs sont listés dans la suite de l'OEIS. (fr)
- ライプニッツの調和三角形（ライプニッツのちょうわさんかっけい、英: Leibniz harmonic triangle）とは、有理数をある一定の規則で三角形状に並べたものである。ゴットフリート・ライプニッツが、級数の和に関連して研究した。パスカルの三角形に類似した性質をいくつか有する。 (ja)
- De harmonische driehoek (van Leibniz), ook kortweg driehoek van Leibniz, is een driehoekige rangschikking in rijen van breuken met teller 1 (stambreuken), waarbij aan het begin en einde van een rij de omgekeerden van de rijnummers staan en elk andere breuk op die rij de som is van de twee getallen die er direct links- en rechtsonder staan. De driehoek is genoemd naar de Duitse wiskundige Gottfried W. Leibniz (1646–1716), die de driehoek voor het eerst gebruikte. Het woord harmonisch slaat op de verschillen tussen de opeenvolgende termen van de harmonische rij. (nl)
- 莱布尼茨三角形是一種將分數以等腰三角形排列的一種排列方式，三角形二側最外層的數字是其行編號的倒數，其中間的數字是其左側數字和左上方數字差的絕對值。若用代數方式表示： L(r, 1) = 1/r（r為行編號，最小編號為1）L(r, c) = |L(r − 1, c − 1) − L(r, c − 1)|（c為為列編號，不會大於r） 莱布尼茨三角形是數學家戈特弗里德·莱布尼茨在1714年提出。莱布尼茨三角形的前幾列為： 莱布尼茨三角形的分母列在（OEIS數列）中，其分子均為1。 在楊輝三角形中，每一項都是其左上方和右上方數字的和．而在莱布尼茨三角形中，每一項都是其左下方和右下方數字的和，例如在第五行中的1/30是第六行二個1/60的和。 楊輝三角形可以用二項式係數來計算，而莱布尼茨三角形也可以用二項式係數來計算：。而且可以用楊輝三角形中的項次來計算莱布尼茨三角形：「每一行的各項是第一項除以楊輝三角形中對應項次的結果」。 若將莱布尼茨三角形中第n行的所有分母相加，其結果會是。例如第3行的分母和為3 + 6 + 3 = 12 = 3 × 22。 特別是的莱布尼茨三角形中的各項可以用以下的積分式表示： (zh)
- Das Harmonische Dreieck oder Leibnizsches Harmonisches Dreieck von Gottfried Wilhelm Leibniz ist analog zum Pascalschen Dreieck aufgebaut:
* Die n-te Zeile beginnt und schließt am Rand mit
* Jede Zahl ist die Summe der beiden unter ihr stehenden Zahlen Die Einträge werden mit dem Symbol bezeichnet, wobei die Nummerierung der Zeilen und Spalten mit 1 beginnt (dies wird in der Literatur nicht einheitlich gehandhabt (bei 0 bzw. bei 1 beginnend)). Es gilt die Rekursion Ein Zusammenhang mit den Binomialkoeffizienten des Pascalschen Dreiecks ist gegeben durch , d. h. die Einträge sind Stammbrüche. (de)
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- مثلث لايبنز المتناسق (ar)
- Harmonisches Dreieck (de)
- Triángulo armónico de Leibniz (es)
- Triangle harmonique de Leibniz (fr)
- Leibniz harmonic triangle (en)
- ライプニッツの調和三角形 (ja)
- Harmonische driehoek (nl)
- 莱布尼茨三角形 (zh)
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