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- In set theory, a branch of mathematics, Kunen's inconsistency theorem, proved by Kenneth Kunen, shows that several plausible large cardinal axioms are inconsistent with the axiom of choice. Some consequences of Kunen's theorem (or its proof) are:
* There is no non-trivial elementary embedding of the universe V into itself. In other words, there is no Reinhardt cardinal.
* If j is an elementary embedding of the universe V into an inner model M, and λ is the smallest fixed point of j above the critical point κ of j, then M does not contain the set j "λ (the image of j restricted to λ).
* There is no ω-huge cardinal.
* There is no non-trivial elementary embedding of Vλ+2 into itself. It is not known if Kunen's theorem still holds in ZF (ZFC without the axiom of choice), though showed that there is no definable elementary embedding from V into V. That is there is no formula J in the language of set theory such that for some parameter p∈V for all sets x∈V and y∈V: Kunen used Morse–Kelley set theory in his proof. If the proof is re-written to use ZFC, then one must add the assumption that replacement holds for formulas involving j. Otherwise one could not even show that j "λ exists as a set. The forbidden set j "λ is crucial to the proof. The proof first shows that it cannot be in M. The other parts of the theorem are derived from that. It is possible to have models of set theory that have elementary embeddings into themselves, at least if one assumes some mild large cardinal axioms. For example, if 0# exists then there is an elementary embedding from the constructible universe L into itself. This does not contradict Kunen's theorem because if 0# exists then L cannot be the whole universe of sets. (en)
- En théorie des ensembles, une branche des mathématiques, le théorème d'inconsistance de Kunen, démontré par Kenneth Kunen (1971), montre que plusieurs axiomes plausibles faisant usage des grands cardinaux sont incompatibles avec l'axiome du choix. Leur ajout conduit à des contradictions. Selon certaines conséquences du théorème de Kunen, il s'ensuit que :
* Il n'y a pas de plongement élémentaire non trivial de l'univers dans lui-même. En d'autres termes, il n'y a pas de (en).
* Si est un plongement élémentaire de l'univers dans un modèle intérieur , et est le plus petit point fixe de au-dessus du point critique de , alors ne contient pas l'ensemble (l'image de limitée à ).
* Il n'y a pas de (en).
* Il n'y a pas de plongement élémentaire non triviale de dans lui-même. On ne sait pas si le théorème de Kunen s'applique aussi dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel sans l'axiome du choix, bien que Suzuki (1999) a montré qu'il n'y a pas de plongement élémentaire définissable de dans , c'est-à-dire qu'il n'y a pas de formule dans le langage de la théorie des ensembles et des paramètres telles que pour tous ensembles on a . Kunen a utilisé la théorie des ensembles de Morse-Kelley dans sa preuve. Si la preuve est réécrite pour utiliser ZFC, alors il faut ajouter l'hypothèse que l'axiome de remplacement vaut également pour les formules impliquant . Sinon on ne pourrait même pas montrer que existe en tant qu'ensemble. L'ensemble interdit est crucial pour la preuve. La preuve montre d'abord qu'il ne peut pas être dans . Les autres parties du théorème suivent de ce développement. Il est possible d'avoir des modèles de théorie des ensembles qui ont des plongements élémentaires en eux-mêmes, du moins si l'on suppose des axiomes de grand cardinaux. Par exemple, si (en) existe, alors il y a un plongement élémentaire de l'univers constructible en lui-même. Cela ne contredit pas le théorème de Kunen car si existe, alors ne peut pas être l'univers entier des ensembles. (fr)
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- In set theory, a branch of mathematics, Kunen's inconsistency theorem, proved by Kenneth Kunen, shows that several plausible large cardinal axioms are inconsistent with the axiom of choice. Some consequences of Kunen's theorem (or its proof) are: It is not known if Kunen's theorem still holds in ZF (ZFC without the axiom of choice), though showed that there is no definable elementary embedding from V into V. That is there is no formula J in the language of set theory such that for some parameter p∈V for all sets x∈V and y∈V: (en)
- En théorie des ensembles, une branche des mathématiques, le théorème d'inconsistance de Kunen, démontré par Kenneth Kunen (1971), montre que plusieurs axiomes plausibles faisant usage des grands cardinaux sont incompatibles avec l'axiome du choix. Leur ajout conduit à des contradictions. Selon certaines conséquences du théorème de Kunen, il s'ensuit que : (fr)
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