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- Die geometrische Quantisierung ist der Versuch, eine Abbildung zwischen klassischen und Quanten-Observablen zu definieren, die einerseits wie jede Quantisierung den untenstehenden drei Axiomen Paul Diracs entspricht und andererseits in Begriffen der Differentialgeometrie formuliert ist (insbesondere unabhängig von der Wahl bestimmter Koordinaten). (de)
- In mathematical physics, geometric quantization is a mathematical approach to defining a quantum theory corresponding to a given classical theory. It attempts to carry out quantization, for which there is in general no exact recipe, in such a way that certain analogies between the classical theory and the quantum theory remain manifest. For example, the similarity between the Heisenberg equation in the Heisenberg picture of quantum mechanics and the Hamilton equation in classical physics should be built in. (en)
- En física matemática, la cuantización geométrica (CG) es un procedimiento matemático para construir una teoría cuántica correspondiente a una determinada teoría clásica a partir del formalismo simpléctico. La CG es un prociedimiento de cuantización, para el que no hay un algoritmo general o receta exacta. La idea de CG es hacer manifiestas que ciertas analogías entre la teoría clásica y la teoría cuántica. Por ejemplo, la similitud entre la ecuación de Heisenberg en la representación de Heisenberg para la evolución temporal y las ecuaciones de Hamilton de la física clásica debe introducirse manualmente. Uno de los primeros intentos de cuantización fue la cuantización de Weyl, propuesto por Hermann Weyl en 1927. Aquí, se asocia a cada observable de la mecánica cuántica (un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert) con una función real en el espacio de fases clásico. La posición y el momento en este espacio de fases están asociados a los generadores del grupo de Heisenberg y en el espacio de Hilbert aparecen como una representación de grupo del grupo de Heisenberg. En 1946, H. J. Groenewold, consideró el producto de un par de esos observables, y se preguntó cuál sería la función correspondiente en el espacio de fases clásico. Esto le llevó a descubrir el de un par de funciones. Más en general, esta técnica conduce a la , donde el producto ★ se toma como una distorsión del álgebra de funciones en una variedad simpléctica o de Poisson. Sin embargo, como un esquema de cuantización natural (un funtor), la aplicación de Weyl no es satisfactoria. Por ejemplo, la aplicación de Weyl del momento angular clásico al cuadrado, no es sólo el operador cuántico de momento angular al cuadrado, sino que además contiene el término constante 3ħ2/2. (Este término adicional es de hecho físicamente significativo, ya que representa el momento angular no nulo de la órbita del estado fundamental en el átomo de hidrógeno del modelo de Bohr. Sin embargo, como un cambio de la mera representación, la aplicación de Weyl subyace en la formulación alternativa del espacio de fases en mecánica cuántica convencional. El procedimiento de cuantización geométrica se divide en los siguientes tres pasos: precuantización, polarización y corrección metaplectica.
* La precuantización de una variedad simpléctica proporciona una representación de elementos del álgebra de Poisson de funciones reales lisas en , por los operadores diferenciales de primeros orden , en secciones de un complejo línea fibrado . Según la fórmula de precuantización Kostant- Souriau, estos operadores se expresan a través de una conexión en cuya forma de curvatura , obedece a la condición de precuantización .
* Por polarización se entiende, una distribución maximal integrable en tal que para todas las . Integrable significa para (secciones de T). El álgebra cuántica de una variedad simpléctica consta de los operadores de funciones cuyo campo vectorial hamiltoniano satisface la condición .
* De conformidad con la corrección metapléctica, los elementos del álgebra cuántica actúan en el espacio prehilbertiano de media-forma con valores en el paquete de línea precuantizado, en una variedad simpléctica . La cuantización es simplemente donde es la derivada de Lie de media-forma, respecto a un campo vectorial X. También se desarrolla la cuantización geométrica de variedades de Poisson y foliaciones simplécticas. Por ejemplo, este es el caso de sistemas hamiltonianos y super integrables y mecánicas no autónomas. (es)
- En physique mathématique, la quantification géométrique est une approche formelle du passage de la mécanique classique à la mécanique quantique fondée sur la géométrie symplectique. Par exemple, des liens peuvent être tissés entre :
* l'équation de Hamilton et l'équation de Heisenberg;
* le crochet de Poisson et le commutateur quantique. Physiquement parlant, la quantification géométrique consiste à mettre un chapeau sur les observables classiques d'une variété symplectique donnée.Mathématiquement parlant, la quantification géométrique consiste à définir un monomorphisme d'algèbres allant de l'algèbre de Poisson d'une variété symplectique à l'algèbre d'endomorphismes autoadjoints d'un espace de Hilbert. Le programme de quantification géométrique fut initié par Jean-Marie Souriau vers 1960.Le but, à terme, est de définir la quantification de Dirac dans un contexte géométrique, i.e. où les coordonnées locales ne jouent qu'un rôle auxiliaire.Ce faisant, la quantification géométrique n'utilise que des concepts géométriques e.g. des variétés symplectiques, des fibrés, des sections de fibrés, des dérivées covariantes, etc.L'intérêt d'une telle construction géométrique de la mécanique quantique vient, en particulier, du fait que la relativité générale est fondée sur la géométrie différentielle. La quantification géométrique fut l'un des principaux moteurs de recherche en géométrie symplectique des années '60 aux années '80. Remarque : Dans l'exposé qui suit, la convention de signe employée pour le crochet de Poisson est celle utilisée par Landau et Lifschitz , Souriau , Kirillov , Woodhouse puis McDuff et Salamon et non celle employée par Dirac, Arnold , Goldstein et de Gosson . (fr)
- 수리물리학에서 기하학적 양자화(幾何學的量子化, 영어: geometric quantization)는 해밀턴 역학으로 나타내어지는 고전적 계를 주로 심플렉틱 기하학을 통해 양자화하는 체계적인 방법이다. 1970년대에 수학자 베르트람 콘스탄트(Bertram Kostant)과 장-마리 수리오(Jean-Marie Souriau)가 정립했다. (ko)
- Геометрическое квантование — метод квантования классических теорий и моделей физических систем, при котором построение квантовых аналогов происходит исходя из геометрии пространств состояний (фазовых пространств) соответствующих классических объектов. Геометрическое квантование возникло из стремления распространить методы квантования простых механических систем на более общие системы и фазовые пространства, а также достижения в теории унитарных представлений. В основе геометрического квантования, как и многих других методов квантования, лежит предположение о том, что классическая и квантовая теории являются разными реализациями одной и той же системы математических структур (принцип соответствия Дирака). Основными компонентами этой схемы часто являются алгебры наблюдаемых и пространства состояний. (ru)
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- Die geometrische Quantisierung ist der Versuch, eine Abbildung zwischen klassischen und Quanten-Observablen zu definieren, die einerseits wie jede Quantisierung den untenstehenden drei Axiomen Paul Diracs entspricht und andererseits in Begriffen der Differentialgeometrie formuliert ist (insbesondere unabhängig von der Wahl bestimmter Koordinaten). (de)
- In mathematical physics, geometric quantization is a mathematical approach to defining a quantum theory corresponding to a given classical theory. It attempts to carry out quantization, for which there is in general no exact recipe, in such a way that certain analogies between the classical theory and the quantum theory remain manifest. For example, the similarity between the Heisenberg equation in the Heisenberg picture of quantum mechanics and the Hamilton equation in classical physics should be built in. (en)
- 수리물리학에서 기하학적 양자화(幾何學的量子化, 영어: geometric quantization)는 해밀턴 역학으로 나타내어지는 고전적 계를 주로 심플렉틱 기하학을 통해 양자화하는 체계적인 방법이다. 1970년대에 수학자 베르트람 콘스탄트(Bertram Kostant)과 장-마리 수리오(Jean-Marie Souriau)가 정립했다. (ko)
- En física matemática, la cuantización geométrica (CG) es un procedimiento matemático para construir una teoría cuántica correspondiente a una determinada teoría clásica a partir del formalismo simpléctico. El procedimiento de cuantización geométrica se divide en los siguientes tres pasos: precuantización, polarización y corrección metaplectica. donde es la derivada de Lie de media-forma, respecto a un campo vectorial X. (es)
- En physique mathématique, la quantification géométrique est une approche formelle du passage de la mécanique classique à la mécanique quantique fondée sur la géométrie symplectique. Par exemple, des liens peuvent être tissés entre :
* l'équation de Hamilton et l'équation de Heisenberg;
* le crochet de Poisson et le commutateur quantique. La quantification géométrique fut l'un des principaux moteurs de recherche en géométrie symplectique des années '60 aux années '80. (fr)
- Геометрическое квантование — метод квантования классических теорий и моделей физических систем, при котором построение квантовых аналогов происходит исходя из геометрии пространств состояний (фазовых пространств) соответствующих классических объектов. Геометрическое квантование возникло из стремления распространить методы квантования простых механических систем на более общие системы и фазовые пространства, а также достижения в теории унитарных представлений. В основе геометрического квантования, как и многих других методов квантования, лежит предположение о том, что классическая и квантовая теории являются разными реализациями одной и той же системы математических структур (принцип соответствия Дирака). Основными компонентами этой схемы часто являются алгебры наблюдаемых и пространства со (ru)
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